Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Produktmaße – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden. Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt.

Vorgehensweise

Wir hatten zu Anfang bewusst Rechtecke und Quader definiert, um damit Flächen und Volumina zu berechnen und z.B. ein eindeutiges Lebesguemaß auf $S(I^{2})$ und $S(I^{3})$ gefunden. Das Integral bezog sich bisher aber nur auf den eindimensionalen Fall. Das wollen wir nun ändern, wir wollen im mehrdimensionalen integrieren. Von einem Element aus der Sigma-Algebra auf dem $p$-dimensionalen Raum können wir den Schnitt betrachten und landen im Raum mit einer Dimension geringer. Erstaunlicherweise liegt dieser Schnitt in der Sigma-Algebra des Teilraumes. Ein Beispiel dazu bietet eine Fläche im $\mathbb {R} ^{2}$ (aus der Sigma-Algebra $S(I^{2})$, deren Schnitt automatisch in der Sigma-Algebra $S(I^{1})$ liegt. Mehr noch: Wir erhalten eine Funktion, indem wir eine messbare Fläche schneiden und die Länge des Schnitts als Funktionswert nehmen. Und diese FUnktion ist messbar! Man kann sie also integrieren. Das Integral darüber ergibt genau das bekannte Maß der Ursprungsfläche. Wir haben also einen Rechenweg gefunden, wie wir das Maß von messbaren Flächen oder auch Volumina ausrechnen können mittels Integration.

In diesem Kapitel seien $(W_{i},S_{i},m_{i})$ Maßräume. Auf dem Produktraum

$W:=W_{1}\times \ldots \times W_{n}$

soll ein Maß $m$ definiert werden, sodass für die verallgemeinerten Quader $A_{1}\times \ldots \times A_{n}$ mit $A_{i}\in S_{i}$ gilt:

$m(A_{1}\times \ldots \times A_{n})=m_{1}(A_{1})\cdot \ldots \cdot m_{n}(A_{n})$

Das ist genau das Produkt der Seitenlängen, eben gemessenen mit den Maßen $m_{i}$

Dazu betrachtet man die

Die Produkt-Sigma-Algebra

Definition (Produkt-Sigma-Algebra)

Die Produkt-Sigma-Algebra ist definiert als die von den einzelnen Mengen $A_{i}$ erzeugte Sigma-Algebra:

$S_{1}\otimes \ldots \otimes S_{n}:=S(\{W_{1}\times \ldots \times W_{i-1}\times A_{i}\times W_{i+1}\times \ldots \times W_{n}:A_{i}\in S_{i}\})$

Wenn die Erzeugendensysteme die Räume ausschöpfen, lässt sich die Produkt-Sigma-Algebra auch durch verallgemeinerte "endliche" Quader beschreiben:

Satz

Seien $E_{i}$ Erzeugendensysteme von $S_{i}$ und für $1\leq i\leq n$ gebe es eine Folge $(E_{ik})_{k}$ in $E_{i}$ mit $E_{ik}\uparrow W_{i}$. Dann gilt

$S_{1}\otimes \ldots \otimes S_{n}=S(\{B_{1}\times \ldots \times B_{n}:B_{i}\in E_{i}\})$

Beweis

Zeige: die jeweiligen Erzeugendensystem sind in der anderen Sigma-Algebra enthalten.

$\supset$:

${\begin{aligned}B_{1}\times \ldots \times B_{n}=&\bigcap _{i=1}^{n}\underbrace {W_{1}\times \ldots \times W_{i-1}\times B_{i}\times W_{i+1}\times \ldots \times W_{n}} _{\in S_{1}\otimes \ldots \otimes S_{n}}\\\in &S_{1}\otimes \ldots \otimes S_{n}\end{aligned}}$

$\subset$:

${\begin{aligned}&W_{1}\times \ldots \times W_{i-1}\times B_{i}\times W_{i+1}\times \ldots \times W_{n}\\=&\bigcup _{k=1}^{\infty }\underbrace {E_{1k}\times \ldots \times E_{i-1,k}\times B_{i}\times E_{i+1,k}\times \ldots \times E_{n,k}} _{\in S(\{B_{1}\times \ldots \times B_{n}:B_{i}\in E_{i}\})}\\\in &S(\{B_{1}\times \ldots \times B_{n}:B_{i}\in E_{i}\})\end{aligned}}$

Eindeutigkeit des Produktmaßes

Nun können wir den Eindeutigkeitssatz sofort anwenden:

Satz (Eindeutigkeit)

Die Erzeugendensysteme $E_{i}$ seien durchschnittsstabil und sigma-endlich, d.h. es gebe Folgen $(E_{i,k})_{k}$ endlichen Maßes, die ganz $W_{i}$ ausschöpfen, in Formeln

${\begin{aligned}&E_{i,k}\uparrow W_{i}\\&m_{i}(E_{i,k})<\infty \end{aligned}}$

Dann gibt es höchstens ein Maß auf $(W_{1}\times \ldots \times W_{n},S_{1}\otimes \ldots \otimes S_{n})$ mit

$\forall A_{i}\in E_{i}:\ m(A_{1}\times \ldots \times A_{n})=m_{1}(A_{1})\cdot \ldots \cdot m_{n}(A_{n})$

Beweis (Eindeutigkeit)

Setze als Erzeugendensytem

$E:=\{A_{1}\times \ldots \times A_{n}:A_{i}\in E_{i}\}$

Seien $A,B\in E$. Da die einzelnen Erzeugendesysteme $E_{i}$ durchschnittsstabil sind, gilt

${\begin{aligned}&(A_{1}\times \ldots \times A_{n})\cap (B_{1}\times \ldots \times B_{n})\\=&\underbrace {(A_{1}\cap B_{1})} _{\in E_{1}}\times \ldots \times \underbrace {(A_{n}\cap B_{n})} _{\in E_{n}}\in E\end{aligned}}$

und somit ist das Erzeugendensystem $E$ durchschnittsstabil: $A\cap B\in E$.

Sei $(w_{1}\,\ldots ,w_{n})\in W_{1}\times \ldots \times W_{n}$ beliebig. Da die $E_{i,k}$ ganz $W_{i}$ ausschöpfen, $E_{i,k}\uparrow W_{i}$ gibt es für jedes $E_{i}$ ein $k_{i}$, sodass $w_{i}\in E_{i,k}$. Für $k\geq \max _{i=1}^{n}k_{i}$ ist

$w_{1}\times \ldots \times w_{n}\in E_{1,k}\times \ldots \times E_{n,k}$

und somit wird $W$ ausgeschöpft durch

$E_{1k}\times \ldots \times E_{n,k}\uparrow W_{1}\times \ldots \times W_{n}$

Damit lässt ist das Maß eindeutig auf $S(E_{1}\times \ldots \times E_{n})$ fortsetzen.

Schnitte vertauschen mit Mengenoperationen

Satz

Für ein Element $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$ sind die Schnitte wieder in $S_{1}$ bzw $S_{2}$:

Sei $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$ beliebig. Seine Schnitte bei $w_{i}\in W_{i}$ seien

${\begin{aligned}Q_{w_{1}}:=&\{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\in Q\}\\Q_{w_{2}}:=&\{w_{1}\in W_{1}:(w_{1},w_{2})\in Q\}\end{aligned}}$

Dann lassen sich Komplementbildung und abzählbare Vereinigung mit dem Schnitt vertauschen und die $Q_{w_{i}}$ sind für alle $w_{i}\in W_{i}$ in der Sigma-Algebra $S_{j},j\neq i$.

${\begin{aligned}(Q_{w_{i}})^{C}=&(Q^{C})_{w_{i}}\\\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }Q_{k}\right)|_{w_{i}}=&\bigcup _{k=1}^{\infty }(Q_{k})_{w_{i}}\\\forall w_{1}:Q_{w_{1}}\in &S_{2}\\\forall w_{2}:Q_{w_{2}}\in &S_{1}\end{aligned}}$

Beweis

1.):

Sei $w_{1}\in W_{1}$ fest. Wegen der Darstellung

${\begin{aligned}\{(w_{1},w_{2})\in Q\}\uplus \{(w_{1},w_{2})\in W\backslash Q\}=&W_{1}\times W_{2}\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\{w_{2}\in W_{2}:\ (w_{1},w_{2})\in Q\}\uplus \{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\in W\backslash Q\}=&(W_{1}\times W_{2})|_{w_{1}}=W_{2}\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}(W\backslash Q)_{w_{1}}{\stackrel {Def}{=}}&\{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\not \in Q\}\\=&W_{2}\backslash \{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\in Q\}\\=&W_{2}\backslash Q_{w_{1}}\end{aligned}}$

2.):

Mit der Defintion und da die Vereinigung sagt, dass ein Element in einer der Mengen der Vereinigung liegt, gilt

${\begin{aligned}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }Q_{i}\right)_{w_{1}}=&\left\{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\in \bigcup _{i=1}^{\infty }Q_{i}\right\}\\=&\left\{w_{2}\in W_{2}|\exists i:(w_{1},w_{2})\in Q_{i}\right\}\\=&\bigcup _{i=1}^{\infty }\left\{w_{2}\in W_{2}:(w_{1},w_{2})\in Q_{i}\right\}\\=&\bigcup _{i=1}^{\infty }(Q_{i})_{w_{1}}\end{aligned}}$

3.):

Sei $w_{1}\in W_{1}$ beliebig. Dann konstruieren wir aus $S_{2}$ eine neue Sigma-Algebra $S'$ über $W$ durch

$S':=\{Q\subset W:Q_{w_{1}}\in S_{2}\}$

$W\in S'$, da

$(W_{1}\times W_{2})_{w_{1}}=W_{2}\in S_{2}$

Sei $Q\in S'$. Mit 1.) gilt

${\begin{aligned}(W\backslash Q)_{w_{1}}=W_{2}\backslash \underbrace {Q_{w_{1}}} _{\in S_{2}}\in S_{2}\end{aligned}}$

Es folgt, dass das Komplement in $S'$ ist: $Q^{C}\in S'$:

Seien $Q_{i}\in S'$. Mit 2.) gilt

${\begin{aligned}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }Q_{i}\right)_{w_{1}}=\bigcup _{i=1}^{\infty }\underbrace {(Q_{i})_{w_{1}}} _{\in S_{2}}\in S_{2}\end{aligned}}$

Es folgt, dass die Vereinigung in $S'$ ist: $\bigcup _{i=1}^{\infty }Q_{i}\in S'$:

Seien $A_{i}\in E_{i}$. Dann gilt

${\begin{aligned}(A_{1}\times A_{2})_{w_{1}}=&{\begin{cases}A_{2}&{\text{ falls }}w_{1}\in S_{1}\\\emptyset &{\text{ sonst}}\\\end{cases}}\\\in &S_{2}\end{aligned}}$

Damit ist das Erzeugendensystem von $S_{1}\otimes S_{2}$ in $S'$: $A_{1}\times A_{2}\in S'$.

Da $S_{1}\otimes S_{2}$, die Sigma-Algebra ist, die von $\{A_{1}\times A_{2}:A_{i}\in S_{i}\}$ erzeugt wird und $S'$ eine Sigma-Algebra ist, die das Erzeugendensystem $A_{1}\times A_{2}$ enthält, gilt

$S_{1}\otimes S_{2}\subset S'$

Insbesondere gilt die Behauptung für alle $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$

4.):

Analog für $w_{2}\in W_{2}$.

Die Länge der Schnitte ist eine messbare Funktion

Wir haben gerade gezeigt, dass die Schnitte bei $w_{i}$ in der Sigma-Algebra des Teilraumes $S_{j},j\neq i$ enthalten sind. Damit kann das Maß $m_{j}$ des Teilraumes darauf angewendet werden für jedes $w_{i}$. Wir erhalten also eine Funktion, die jedem $w_{i}$ einen Wert zuordnet. Wir zeigen jetzt: diese ist messbar. Im daraufolgenden Satz wollen wir diese messbare Funktion über $W_{i}$ integrieren und erhalten ein Maß auf $W$!

Satz

Gibt es für $m_{1},m_{2}$ sigma-endliche Folgen $B_{1,k}\uparrow W_{1}$ und $B_{2,k}\uparrow W_{2}$ mit $m_{1}(B_{1k})<\infty$ und $m_{2}(B_{2k})<\infty$ für alle $k$, so sind für alle $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$ die Funktionen

${\begin{aligned}f_{Q}:W_{1}\rightarrow [0,\infty ],w_{1}\mapsto m_{2}(Q_{w_{1}})\\g_{Q}:W_{2}\rightarrow [0,\infty ],w_{2}\mapsto m_{1}(Q_{w_{2}})\end{aligned}}$

$S_{1}$ bzw. $S_{2}$-messbar

Beweis

1.) Der endliche Fall $m_{2}(W_{2})<\infty :$:

Wir haben im letzten Satz gezeigt, dass $Q_{w_{1}}\in S_{2}$. Damit ist

$f_{Q}(w_{1})=m_{2}(Q_{w_{1}})$

definiert.

Da wir es mit einem Maß zu tun haben, konstruieren wir uns ein Dynkinsystem der Mengen $B$, sodass $f_{B}$ messbar ist.

$D:=\{B\in S_{1}\otimes S_{2}:f_{B}{\text{ ist messbar}}\}$

Wir zeigen dann, dass $D$ durchschnittstabil ist; damit ist es eine Sigma-Algebra. Danach zeigen wir, dass es das Erzeugendensystem von $S_{1}\otimes S_{2}$ enthält und somit enthält es die kleinste solche Sigma-Algebra $S_{1}\otimes S_{2}$.

Wir rechnen die Eigenschaften des Dynkinsystems nach: $W_{1}\times W_{2}\in D$: da die konstante Funktion messbar ist:

$f_{W_{1}\times W_{2}}=m_{2}((W_{1}\times W_{2})_{w_{1}})=m_{2}(W_{2})={\text{ konstant}}$

Aus $B\in D$ folgt $B^{C}\in D$: Da $f_{B}$ und die konstante Funktion messbar sind, ist auch $f_{B^{C}}$ messbar. Dabei wird verwendet, dass Komplement und Schnitt vertauschen:

${\begin{aligned}f_{B^{C}}=&m_{2}((B^{C})_{w_{1}})=m_{2}((B_{w_{1}})^{C})\\=&m_{2}(W_{2})-m_{2}(B_{w_{1}})=m_{2}(W_{2})-f_{B}\end{aligned}}$

Aus $B_{i}\in D$ folgt $\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}\in D$: Da $f_{B_{i}}\geq 0$ messbar ist, ist $\sum _{i=1}^{\infty }f_{B_{i}}$ messbar. Dabei wird verwendet, dass abzählbare Vereinigung und Schnitt vertauschen und dass $m$ sigma-aditiv ist.

${\begin{aligned}f_{\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}}=&m_{2}\left(\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)_{w_{1}}\right)=m_{2}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }{(B_{i})}_{w_{1}}\right)\\=&\sum _{i=1}^{\infty }m_{2}(({B_{i}})_{w_{1}})=\sum _{i=1}^{\infty }f_{B_{i}}\end{aligned}}$

Jetzt zeigen wir, dass das Erzeugendensystm von $S_{1}\otimes S_{2}$ in $D$ ist: Für $A_{i}\in S_{i}$ ist $A_{1}\times A_{2}\in D$. Dabei verwenden wir dass $1_{A_{1}}(w_{1})$ messbar ist wegen $A_{1}\in S_{1}$ und dass $m_{2}(A_{2})$ endlich ist.

${\begin{aligned}f_{A_{1}\times A_{2}}(w_{1})=&m_{2}((A_{1}\times A_{2})_{w_{1}})\\=&{\begin{cases}m_{2}(A_{2})&{\text{ für }}w_{1}\in A_{1}\\m_{2}(\emptyset )=0&{\text{ für }}w_{1}\not \in A_{1}\\\end{cases}}\\=&m_{2}(A_{2})1_{A_{1}}(w_{1})\end{aligned}}$

messbar. Da das Erzeugendensystem E durchschnittsstabil ist,

$(A_{1}\times A_{2})\cap (B_{1}\times B_{2})=(A_{1}\cap B_{1})\times (A_{2}\cap B_{2})\in D$

ist $D(E)$ durchschnittsstabil und damit eine Sigma-Algebra, die $E$ enthält, also insbesodnre $S_{1}\otimes S_{2}$ enthält.

${\begin{aligned}S_{1}\otimes S_{2}{\stackrel {Def}{=}}&S(\{A_{1}\times A_{2}:A_{i}\in S_{i}\})\\=&D(\{A_{1}\times A_{2}:A_{i}\in S_{i}\})\subset D\end{aligned}}$

d.h. für alle $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$ ist $f_{Q}$ $S_{1}$-messbar.

Für $g_{Q}$ geht der Beweis völlig analog.

2.) Der sigma-endliche Fall $\exists$ Folge $B_{2,k}\uparrow W_{2}$ in $S_{2}$ mit $m_{2}(B_{2k})<\infty$:

Wir schneiden alle Mengen erst mit den $B_{2,k}$, sodass wir ein endliches Maß erhalten, siehe unten im Kapitel der Eindeutigkeit der Maßfortsetzung. Wir erhalten also ein neues endliches Maß durch

$m_{2,k}:S_{2}\rightarrow [0,\infty ),A_{2}\mapsto m_{2}(A_{2}\cap B_{2,k})$

Das ist definiert, da $A_{2},B_{2,k}\in S$.

1.) wurde allgemein für endliches Maße bewiesen, also ist es auch gültig für $m_{2,k}$. Somit ist

$f_{Q,k}:W_{1}\rightarrow [0,\infty ],w_{1}\mapsto m_{2}(Q_{w_{1}}\cap B_{2,k})$

$S_{1}$-messbar. Das Supremum der messbaren Funktionen $f_{Q,k}$ ist wieder messbar und da die $B_{2,k}\ W_{2}$ ausschöpfen gleich $f_{Q}$

${\begin{aligned}\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{Q_{k}}=&\sup _{k\in \mathbb {N} }m_{2}(Q_{w_{1}}\cap B_{2,k})=m_{2}\left(Q_{w_{1}}\cap \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{2,k}\right)\\=&m_{2}(Q_{w_{1}}\cap W_{2})=m_{2}(Q_{w_{1}})=f_{Q}\end{aligned}}$

Damit ist $f_{Q}$ messbar.

Berechnungsformel für das Produktmaß

Wir haben jetzt die Messbarkeit der $f_{Q}\in P^{\ast }$ gezeigt und können diese nun integrieren. Damit erhalten wir eine explizite Berechnungsformel für das Maß auf $W_{1}\times W_{2},S_{1}\otimes S_{2}$ Die Eindeutigkeit haben wir schon bewiesen.

Satz (Existenz)

In $(W_{i},S_{i},m_{i}),i=1,2$ gebe es sigma-endliche Folgen $B_{i,k}\uparrow W_{i}$ mit $m_{i}(B_{i,k})<\infty$.

Dann gibt es genau ein Maß $m$ auf $S_{1}\otimes S_{2}$ mit

$m(A_{1}\times A_{2})=m_{1}(A_{1})\cdot m_{2}(A_{2})$

für $A_{i}\in S_{i}$ und für jede Menge $Q\in S_{1}\otimes S_{2}$ gilt:

$m(Q)=\int m_{2}(Q_{w_{1}})dm_{1}=\int m_{1}(Q_{w_{2}})dm_{2}$

und es gibt eine sigma-endliche Folge $C_{k}$ in $S_{1}\otimes S_{2}$ mit $C_{k}\uparrow W_{1}\times W_{2}$ und $m(C_{k})<\infty$

Dieses eindeutige Maß heißt Produktmaß.

Schreibweise: $m=m_{1}\otimes m_{2}$

Beweis (Existenz)

:

$Q\mapsto m_{2}(Q_{w_{1}})\geq 0$ ist $S_{1}$-messbar und deshalb ist die Funktion

$m:S_{1}\otimes S_{2}\rightarrow [0,\infty ],Q\mapsto \int m_{2}(Q_{w_{1}})dm_{1}$

definiert.

Wir zeigen $m$ ist ein Maß auf $S_{1}\otimes S_{2}:$. Seien $Q_{i}\in S_{1}\otimes S_{2}$. Wir rechnen die Eigenschaften des Maßes nach und verwenden, dass der Schnitt mit der abzählbaren Vereinigung vertauscht.

${\begin{aligned}m(Q)=&\int \underbrace {m_{2}(Q_{w_{1}})} _{\geq 0}dm_{1}\geq 0\\m(\emptyset )=&\int m_{2}(\emptyset _{w_{1}})dm_{1}=\int 0dm_{1}=0\\m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }Q_{i}\right)=&\int m_{2}\left(\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }Q_{i}\right)_{w_{1}}\right)dm_{1}=\int m_{2}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }{Q_{i}}_{w_{1}}\right)dm_{1}\\=&\int \sum _{i=1}^{\infty }m_{2}({Q_{i}}_{w_{1}})dm_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }\int m_{2}({Q_{i}}_{w_{1}})dm_{1}\\=&\sum _{i=1}^{\infty }m(Q_{i})\end{aligned}}$

Für $A_{1}\times A_{2}\in S_{1}\otimes S_{2}$ gilt

$m(A_{1}\times A_{2})=\int m_{2}(A_{2})1_{A_{1}}dm_{1}=m_{1}(A_{1})m_{2}(A_{2})$

Damit ist das Maß $\int m_{2}(Q_{w_{1}})dm_{1}$ das gesuchte. Die Eindeutigkeit haben wir schon ganz am Anfang des Kapitels gezeigt.

Analog ist

$m^{\ast }:S_{1}\otimes S_{2}\rightarrow [0,\infty ],Q\mapsto \int m_{1}(Q_{w_{2}})dm_{2}$

ein solches Maß. Nach der Eindeutigkeit folgt

$m=m^{\ast }$

Wir haben eine sigma-endliche Folge im Erzeugendensystem, für

$B_{1,k}\times B_{2,k}\uparrow W_{1}\times W_{2}$

gilt

$m(B_{1,k}\times B_{2,k})=m_{1}(B_{1,k})m_{2}(B_{2,k})<\infty$

Satz

Man erhält so erneut eine Konstruktion des Maßes auf $\mathbb {R} ^{2}$ aus dem Maß auf $\mathbb {R}$.

Beweis

$l^{2}((a,b])=\prod _{i=1}^{2}(b_{i}-a_{i})=\prod _{i=1}^{2}l((a_{i},b_{i}])$

Rechenregel zur Integration über das Produktmaß

Satz

Es ist egal, in welcher Reihenfolge man integriert:

Seien $(W_{i},S_{i},m_{i}),i=1,2$ mit sigma-endlichen Folgen $B_{i,k}\uparrow W_{i}$ mit $m_{i}(B_{i,k})<\infty$ und

$f:W_{1}\times W_{2}\rightarrow [0,\infty ]$

$S_{1}\otimes S_{2}$ messbar.

1.) Dann sind

${\begin{aligned}w_{2}\mapsto \int f(w_{1},w_{2})_{w_{2}}dm_{1}\\w_{1}\mapsto \int f(w_{1},w_{2})_{w_{1}}dm_{2}\end{aligned}}$

messbar und es gilt

$\int fd(m_{1}\otimes m_{2})=\int \left(\int f_{w_{2}}dm_{1}\right)dm_{2}=\int \left(\int f_{w_{1}}dm_{2}\right)dm_{1}$

2.) Ist $f$ integrierbar, so sind $f_{w_{i}}$ integrierbar für $m_{i}$-fast alle $w_{i}$ und es gilt dieselbe Gleichheit.

Beweis

:

Für die Indikatorfunktion haben wir es im letzten Satz gezeigt. Nun setzen wir es fort auf primitive, nicht-negative messbare und dann auf integrierbare Funktionen.

Für $f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\in P(W_{1}\times W_{2})$ gilt

$f_{w_{2}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i},w_{2}}\in P(W_{1})$

und somit

${\begin{aligned}\int \left(\int f_{w_{2}}dm_{1}\right)dm_{2}=&\int \left(\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i},w_{2}}dm_{1}\right)dm_{2}\\=&\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int m_{1}((A_{i})_{w_{2}})dm_{2}\\{\stackrel {s.o.}{=}}&\sum _{i=1}^{n}a_{i}m_{1}\otimes m_{2}(A_{i})\\=&\int fdm_{1}\otimes m_{2}\end{aligned}}$

Seien $u_{n}\in P(W_{1}\times W_{2}),u_{n}\uparrow f$. Dann ist $u_{n,w_{2}}\in P(W_{1})$ und $u_{n,w_{2}}\uparrow f_{w_{2}}$ Wir benutzen zweimal die Stetigkeit von unten und erhalten

${\begin{aligned}\int fdm_{1}\otimes m_{2}{\stackrel {Def}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int u_{n}dm_{1}\otimes m_{2}\\{\stackrel {u_{n}\in P}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int \underbrace {\left(\int u_{n,w_{2}}dm_{1}\right)} _{\geq {\text{, monoton }}\uparrow }dm_{2}\\=&\int \lim _{n\rightarrow \infty }\underbrace {\int u_{n,w_{2}}dm_{1}} _{\geq {\text{, monoton }}\uparrow }dm_{2}\\=&\int \left(\int \lim _{n\rightarrow \infty }u_{n,w_{2}}dm_{1}\right)dm_{2}\\=&\int \left(\int f_{w_{2}}dm_{1}\right)dm_{2}\end{aligned}}$

Analog für das andere Integral.

:

Betrag, Positivteil und Negativteil vertauschen mit dem Schnitt

${\begin{aligned}|f_{w_{i}}|=&|f|_{w_{i}}\\(f_{w_{i}})^{+}=&(f^{+})_{w_{i}}\\(f_{w_{i}})^{-}=&(f^{-})_{w_{i}}\end{aligned}}$

Nach 1.) gilt

$\int \left(\int |f_{w_{1}}|dm_{2}\right)dm_{1}=\int \left(\int |f_{w_{2}}|dm_{1}\right)dm_{2}=\int |f|dm<\infty$

Damit ist

$w_{1}\mapsto \int |f_{w_{1}}|dm_{2}$

integrierbar.

${\begin{aligned}\int \left(\int f_{w_{1}}dm_{2}\right)dm_{1}=&\int \left(\int f_{w_{1}}^{+}dm_{2}\right)dm_{1}-\int \left(\int f_{w_{1}}^{-}dm_{2}\right)dm_{1}\\{\stackrel {1.)}{=}}&\int f^{+}dm_{1}\otimes m_{2}-\int f^{-}dm_{1}\otimes m_{2}\\=&\int fdm_{1}\otimes m_{2}\end{aligned}}$