Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Vom Jordan-Inhalt zum Lebesgue-Maß

To-Do:

"Jordan-Maß" in Jordan-Inhalt" ändern

Probleme mit dem Jordan-Inhalt

To-Do:

Weshalb werden diese Mengen verwendet? Wieso sind sie nicht messbar?

Die Mengen $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ und $\biguplus _{n=1}^{\infty }(0,1]\times \left(0,{\frac {1}{2^{n}}}\right]$ sind nicht messbar, sollten aber anschaulich den Flächeninhalt 0 bzw 2 haben. Woran liegt es? Die Jordan-Messbarkeit ist nicht abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen.

Übergang vom Jordan-Inhalt zum Lebesgue-Maß

To-Do:

genauer erörtern: Übergang vom Inhalt zum Maß

Lebesgue wählte deshalb schon in der Definition des äußeren Maßes (und inneren Maßes) abzählbare Überdeckungen (und Ausschöpfungen) und erhielt wie erhofft, dass auch abzählbare Vereinigungen messbarer Mengen messbar sind! Da wir unendlich viele Rechtecke verwenden, um die krummlinige Fläche auszufüllen, haben wir keine endliche Summe ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\ldots }$, sondern eine Reihe ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ldots }$. Da wir zur Bestimmung des Flächeninhalts einer Überdeckung eine Summe bzw. eine Reihe über die Flächeninhalte der Rechtecke berechnen müssen, beschränken wir die Überdeckung auf maximal abzählbar unendliche viele Rechtecke. Schließlich ist eine Summe/Reihe mit maximal abzählbar vielen Summanden definiert.

Lebesgue formalisierte sein Verfahren, welches wir hier nur skizziert haben, und bewies, dass sein gefundenes Maß die Eigenschaften aufweist, die ein Maß nach unserer Intuition besitzen soll. So wurde eine Antwort auf das Maßproblem gefunden.

Das äußere Maß und eine Gleichung sind ausreichend

To-Do:

Was ist die Grundidee der Caratheodory-Bedingung? Diese können wir hier verwenden...

To-Do:

Was ist Caratheodorys Beweis? Kommt dieser in späteren Kapiteln vor? Zu diesem Zeitpunkt unklar.

Lebesgues Beweis ist jedoch sehr umfangreich. Caratheodory hat gezeigt, dass man keine "guten" Mengen verliert und dasselbe Maß erhält, wenn man einen anderen Weg beschreitet: Man bestimmt die "minimale" Überdeckung mit Rechtecken und erhält ein "äußeres Maß". Man betrachtet im Folgenden nur Mengen, die bzgl. des äußeren Maßes eine bestimmte Gleichung erfüllen (die für "gute" Mengen zwangsläufig erfüllt sein muss). Caratheodorys Beweis ist kürzer und wir werden seine Bedingung plausibilisieren. Da die Theorie auch so noch umfangreich genug ist, folgen wir Caratheodorys Weg.

Charakteristische Eigenschaften messbarer Mengen

To-Do:

Diese Eigenschaften sollten auch motiviert werden -> Wieso kommt man darauf, dass wir uns über diese Eigenschaften Gedanken machen? Wie finden wir aus der Liste der Eigenschaften die charakteristischen Eigenschaften für messbare Mengen? Das ist letzlich eine Konsequenz des Maßerweiterungssatzes, für DIESE Mengensysteme und SOLCHE Funktionen kann man den Fortsetungssatz zeigen.

Die Grundmenge und die leere Menge

Haben die "guten" Mengen nun besondere Eigenschaften? Ja, das ist der Fall. Die Grundmenge ist immer eine "gute" Menge. In unserem Fall ist es die ganze Ebene. Und obwohl diese kein Rechteck ist, kann ihr der Flächeninhalt unendlich zugewiesen werden. Ein Wert von Unendlich ist nichts Ungewöhnliches in der Maßtheorie. Zudem wird der leeren Menge die Fläche Null zugeordnet. Sie ist die kleinste Menge und daher sollte man ihr den Wert Null zuordnen. Das geht gar nicht anders, wie wir weiter unten sehen werden.

Das Komplement

Hat man eine "gute" Menge gegeben, so ist das Komplement ebenfalls eine "gute" Menge: das kann man sich so vorstellen, als ob man aus einem DIN A4-Papier die "gute" Menge ausschneidet und den Rest abwiegt und durch das Gewicht automatisch die Fläche bestimmt.

Die abzählbare Vereinigung

Hat man abzählbar unendlich viele "gute" Mengen gegeben, so ist ihre abzählbare Vereinigung wieder eine "gute" Menge. Das rührt daher, dass wir bei der Bestimmung der "guten" Mengen mit nur abzählbar unendlich vielen Rechtecken überdeckt haben, damit die Summe definiert war.

Der abzählbare Schnitt

Da abzählbare Vereinigungen und Komplemente "guter Mengen" wieder gute Mengen sind, ist auch der abzählbare Schnitt mit folgender Darstellung

${\begin{array}{rcl}\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}\right)^{C}\end{array}}$

eine "gute Menge".

Die Differenz

Da Komplemente und Schnitte von "guten Mengen" wieder "gute Mengen sind", ist auch die Differenz eine "gute Menge" wegen folgender Darstellung

$A\backslash B=A\cap B^{C}$

Charakteristische Eigenschaften für das Maß

To-Do:

Wieso wählt man nur einige Eigenschaften als charakteristische Eigenschaften und lässt die restlichen Eigenschaften in der Definition weg? Wie findet man diese?

Das Maß ist abzählbar additiv

Hat die Maßfunktion nun besondere Eigenschaften? Ja. Sie operriert auf einer Sigma-Algebra von "guten Mengen" und bildet auf nicht-negative Zahlen inklusive Unendlich ab

$m:S\rightarrow [0,\infty ]$

Das Maß ordnet dabei einer abzählbaren disjunkten Vereinigung "guter" Mengen die Summe der Maße der Einzelmengen zu, in mathematischer Schreibweise

${\text{Maß }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }{\text{gute Menge}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Maß (gute Menge}}_{i})$

Etwas Ähnliches kennen wir schon von den Rechtsfiguren, denen wurde die Summe der Flächen der Einzelrechtecke zugewiesen. Unser Maß verallgemeinert die Eigenschaft nur.

Das Maß der leeren Menge ist Null

Die Maßfunktion ordnet automatisch der leeren Menge den Wert Null zu. Das geht gar nicht anders, da wir zu jeder Menge die leere Menge disjunkt vereinigen können

${\begin{aligned}A=A\uplus \emptyset \end{aligned}}$

Das Maß angewendet auf beide Seiten ergibt mit der sigma-Additivität

${\begin{array}{rcl}m(A)&=&m(A\uplus \emptyset )\\&{\stackrel {m{\text{ (sigma-)additiv }}}{=}}&m(A)+\underbrace {m(\emptyset )} _{=0}\end{array}}$

Wäre z.B. $m(\emptyset )=1$ und $m(A)$ endlich, so könnte man auf beiden Seiten $m(A)$ abziehen und es ergäbe sich $0=1$, ein Widerspruch. Daher muss der leeren Menge der Wert Null zugeordnet werden, damit das Maß definiert ist.

Daher kann man die Forderung $\mu (\emptyset )=0$ durch die äquivalente Bedingung ersetzen, dass ein $A\in {\mathcal {A}}$ existiert mit $\mu (A)<\infty$.

Das Maß ist monoton

Das Maß ordnet "größeren" Mengen größere Werte zu: Ist die Menge $A$ enthalten in der Menge $B$, d.h. $A\subseteq B$, so gilt

$m(A)\leq m(B)$

Das entspricht unserer Intuition für eine Funktion, die Größen misst.

To-Do:

Wieso?

Das Lebesgue-Maß des Einheitsrechtecks ist Eins

Das Quadrat mit den Seitenlängen $1$ hat den Flächeninhalt $1$. Durch diese Forderung legen wir für eine konkrete Fläche (das Einheitsquadrat) den Flächeninhalt fest. Dadurch legen wir einen Richtwert für andere Flächeninhalte fest.

Das Lebesgue-Maß ist translationsinvariant

Der Raum soll speziell für das Lebesgue-Maß in allen Richtungen gleich aussehen: wird ein Rechteck oder eine beliebige Fläche im Raum verschoben oder gedreht, so soll sich ihr Lebesguemaß nicht ändern.