Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Energiemethode für die Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Taylorreihe darstellen lassen. Dararaufhin haben wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung

mittels der Greenschen Funktion ermittelt und die Greensche Funktion für den Halbraum und die Kugel hergeleitet.

In diesem Kapitel lernen wir die Energiemethode kennen, die Minimierung eines Funktionals. Gerne hätten wir mehr solche Hilbertraummethoden gezeigt, aber dazu müssen wir erst noch die nötige Funktionalanalysis erschaffen.

Das Dirichlet-Prinzip[Bearbeiten]

Definition

Sei offen, . Dann ist das Dirichlet-Funktional definiert durch

Beide Integrale sind durch die Voraussetzungen definiert: Wegen gilt .

Satz (Dirichlet-Prinzip)

Sei beschränkt und offen mit -Rand und und

Dann gilt:

Eine Funktion ist ein Minimierer von auf genau dann wenn in und auf .

Der Beweis, dass dieses Minimum existiert, benötigt die Theorie von Sobolevräumen und schwachen Lösungen, d.h. Methoden der Variationsrechnung.

Beweis (Dirichlet-Prinzip)

:

Wir wollen zeigen:

Sei daher beliebig. Betrachte

Durch Einsetzen von in und auf und mit partieller Integration, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes folgt

Da beliebig gewählt war, ist ein Minimierer von

:

Sei nun ein Minimierer von . Dann gilt für alle und alle

Die Idee ist, dass in jeder Richtung minimal ist im Punkt . Das heißt, wir bilden für beliebiges die Ableitung der Veränderung um in Richtung . Betrachte dazu die Funktion

Als Polynom in ist stetig differenzierbar auf und wegen

nimmt es sein Minimum in an. Damit folgt , d.h.

und somit

Mit partieller Integration ergibt sich, da h auf dem Rand Null wird

Damit folgt

wie folgt: Annahme es gibt ein mit

Da offen ist und stetig ist, gibt es ein sodass

Betrachte dann eine unendlich differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger auf wie wir sie im Kapitel des Satzes von Stokes Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes konstruiert haben, dann folgt

Ein Widerspruch.