Definition der komplexen Zahlen – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir werden hier die komplexen Zahlen formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.

Herleitung für die formale Definition komplexer Zahlen[Bearbeiten]

Herleitung der Tupelschreibweise[Bearbeiten]

Komplexe Zahlen haben die Form , wobei reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit die Gleichung erfüllt. Jedoch fehlt uns eine formale Definition für diese neue Zahlenform. Diese wollen wir nun herleiten.

Eine komplexe Zahl wird durch die zwei reelle Zahlen und beschrieben. Außerdem kann man komplexe Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen. ist dabei die -Koordinate des Punktes und der imaginäre Anteil gibt die -Koordinate wieder:

Komplexe Zahlen sind Punkte auf der Ebene

Nun können Punkte der Ebene als Tupel der Menge beschrieben werden. Wir können also einem Tupel in die komplexe Zahl zuordnen. Es soll also sein. Dadurch identifizieren wir die komplexe Zahlenmenge mit der Ebene .

Da Tupel ein exakt definiertes mathematische Konzept ist, können wir diese für die formale Definition der komplexen Zahlen hernehmen. Hierzu sagen wir, dass komplexe Zahlen Tupel sind. Für diese müssen wir zusätzlich noch definieren, wie wir diese addieren und multiplizieren können.

Herleitung der Rechenregeln[Bearbeiten]

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition in der Ebene.

Wir wollen mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen können. Hierzu müssen wir definieren, wie komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden können. Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen und . Das Ergebnis soll wieder eine komplexe Zahl, d.h. von der Form , sein. Hierfür addieren wir die beiden komplexen Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern aus:

Das Ergebnis ist wieder von der Form . Dabei werden jeweils die reellen und die imaginären Anteile summiert. Zur formalen Definition der Addition nutzen wir die Tupelschreibweise in benutzen. Dort gilt die Identifizierung . Damit übersetzen wir obige Rechnung in die Tupelschreibweise:

Wir sehen, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in ist. Das ist genau die Vektoraddition in der Ebene . Die Multiplikation komplexer Zahlen ist umständlicher. Wir betrachten hierzu das Produkt von zwei komplexen Zahlen und und multiplizieren diese aus:

Diese Rechnung übersetzen wir in unsere Tupelschreibweise:

Formale Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in mit der passenden Addition und Multiplikation.

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Definition (Die komplexen Zahlen )

Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als Menge zusammen mit zwei Verknüpfungen. Komplexe Zahlen sind also Tupel , wobei und reelle Zahlen sind. Die Addition und die Multiplikation sind definiert über

Definition von Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl , kann als Punkt in der Ebene beschrieben werden. Dieser ist eindeutig über seine Koordinaten und definiert. Diese Koordinaten haben spezielle Namen. ist der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl.

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Definition (Real- und Imaginärteil)

Für eine komplexe Zahl mit setzen wir und . Wir nennen den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl .

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper[Bearbeiten]

Wir müssen zeigen, dass wir mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen können. Die Addition entspricht dabei der Vektoraddition in . Damit gelten für die Addition die gleichen Regeln wie bei der Addition in einem Vektorraum. So erfüllt die Addition das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz . Auch gibt es eine Null , die bei der Addition eine Zahl nicht verändert (, und jede Zahl besitzt ein negatives . Diese Eigenschaften sind charakteristisch für die Addition in den reellen Zahlen.

Wie sieht es mit der Multiplikation aus? Wir werden sehen, dass auch die Assoziativität und die Kommutativität der Multiplikation bewiesen werden kann. Auch das Distributivgesetz kann aus den entsprechenden Gesetzen in den reellen Zahlen gefolgt werden. In den reellen Zahlen gibt es mit der eine besondere Zahl, die bei Multiplikation eine Zahl nicht verändert. Als reelle Zahl gibt es diese auch in den komplexen Zahlen. Sie entspricht dort dem Tupel . Wir werden sehen, dass auch diese Zahl in der Multiplikation eine Zahl nicht verändert.

Wie auch in den reellen Zahlen können wir in Brüche der Form bilden. Hierzu müssen wir zu einer komplexen Zahl ihre Reziprokes bilden. Diese reziproke Zahl muss die Gleichung erfüllen. Wir müssen also so wählen, dass ist. Wir werden sehen, dass dieses Gleichungssystem für alle eindeutig lösbar ist.

Insgesamt erfüllen die Addition und die Multiplikation die sogenannten Körperaxiome, die auch die reellen Zahlen erfüllen. Damit ist das Rechnen in ähnlich zu dem, was uns aus beim Rechnen der komplexen Zahlen bekannt ist.

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Satz

Sei die Menge der komplexen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation:

Diese Menge erfüllt alle Körperaxiome.

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Wie kommt man auf den Beweis?

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To-Do:
  • Anfangstext schreiben: die meisten Eigenschaften folgen durch Nachprüfen und die Eigenschaften der reellen Zahlen
  • Formeln formatieren

Wir müssen nun noch die multiplikative Inverse finden. Das ist etwas schwerer als die additive Inverse, weil die Multiplikation komplizierter definiert ist als die Addition.

Für gegebenes suchen wir eine Inverse, also ein , sodass .

Beachte dabei, dass die "Eins" in den komplexen Zahlen ist.

Was für Bedingungen muss als Inverse von erfüllen? Die Definition der Multiplikation gibt uns . Also muss gelten . Schreiben wir die Gleichungen einzelnd auf, so erhalten wir

Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, nämlich und , sowie zwei Gleichungen. Wir können nun versuchen dieses Gleichungssystem zu lösen, also die Gleichungen nach und nach aufzulösen.

Es gibt viele Ansätze, die ans Ziel führen. Für dich ist es nun eine gute Übung, selbst eine Lösung zu finden. Nimm dir Stift und Papier und 10 Minuten Zeit, um die Gleichungen nach und umzuformen. Nimm dir selber 10 Minuten Zeit, um die Lösung zu finden.

Wir präsentieren hier eine elegante Lösung, bei der keinerlei Fallunterscheidung wegen Division durch Null nötig sind. Dafür ist sie nicht intuitiv, die wenigsten würden den Beweis beim ersten Versuch so durchführen.

Als erstes multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit :

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten

Nun multiplizieren wir "anders herum", also die erste Gleichung mit und die zweite mit :

Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung die Erste, so erhalten wir

Wir haben also als Inverse von gefunden. Wir können noch Proberechnen, dass wirklich . Das werden wir unten im Beweis machen.

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Beweis

Wir müssen alle nachweisen. Seien dafür beliebig.

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Addition

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Addition

Beweisschritt: Existenz der Null

Die Null in ist gegeben durch . Es ist nämlich

Beweisschritt: Existenz des additiven Inversen

Im ist , denn es ist

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Multiplikation

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Multiplikation

Beweisschritt: Existenz der Eins

Die Eins in ist die Zahl . Es gilt nämlich und

Beweisschritt: Existenz des multiplikativen Inversen

Sei eine komplexe Zahl mit . Das Inverse dieser Zahl ist . Diese Zahl ist wohldefiniert, da und deshalb . Und es gilt

Beweisschritt: Distributivgesetz

als Unterkörper von [Bearbeiten]

Wir identifizieren die komplexen Zahlen mit der Ebene . Dabei gibt uns die -Achse genau den reellen Zahlenstrahl. Die reellen Zahlen sind damit eine Achse in der komplexen Ebene. Weil diese Achse ein Teil der Ebene ist, ergibt es Sinn, dass die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

Außerdem wissen wir, dass sowohl als auch Körper bilden. Somit wäre es auch sinnvoll, wenn ein Unterkörper von ist. Dafür müssen wir mehr zeigen als ist Teilmenge von . Wir brauchen, dass die Addition und Multiplikation reeller Zahlen in erhalten bleibt. Die Struktur der reellen Zahlen soll auch in erhalten bleiben. Wir wollen also zwei Aussagen zeigen, nämlich ist eine Teilmenge von und die Rechenoperationen aus den reellen Zahlen bleiben in erhalten.

Betrachten wir zunächst die erste Aussage: ist Teilmenge . Jedoch stimmt das nicht ganz. Wir können nicht schreiben . Denn das würde bedeuten, für alle folgt . Aber ist eine Menge von Tupeln von reellen Zahlen. Also sind die Elemente von und von verschieden aufgebaut. Aber das ist kein großes Problem. Denn wir können die reellen Zahlen mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren, die sich ähnlich wie verhält. Um diese Teilmenge zu finden, nutzen wir die Anschauung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die Teilmenge, die wir suchen, ist in unserer Anschauung die reelle Achse in der komplexen Ebene. Eine komplexe Zahl liegt genau dann auf dieser Achse, wenn ihr Imaginärteil gleich Null ist, also wenn . Die reelle Achse ist also genau die Menge .

Wir wollen zeigen, dass wir mit den reellen Zahlen identifizieren können. Dafür brauchen wir eine eins-zu-eins-Beziehung von zu . Das heißt, wir geben eine bijektive Abbildung von den reellen Zahlen in an. Wir können genauso, eine injektive Abbildung mit Bild angeben. Dann bildet die reellen Zahlen bijektiv auf ab.

Aber das reicht uns noch nicht ganz. Wir wollen auch, dass die gleiche Struktur wie die reellen Zahlen hat. Das bedeutet, unsere Abbildung soll die Struktur von erhalten. Das bedeutet, Summen in sollen von auf Summen in abgebildet werden und genauso mit Produkten. Auch sollen die neutralen Elemente und aus den reellen Zahlen auf die entsprechenden neutralen Elemente in den komplexen Zahlen abgebildet werden. Eine Abbildung mit solchen Eigenschaften heißt Körperhomomorphismus.

Wie sollen wir wählen? Betrachten wir wieder unsere Anschauung der komplexen Ebene. Wir wollen den reellen Zahlenstrahl auf die reelle Achse abbilden. Am einfachsten geht das, wenn wir den Zahlenstrahl in die zweidimensionale Ebene einbetten. Also eine reelle Zahl nach schicken. Im nächsten Satz zeigen wir, dass diese Abbildung wirklich unsere gewünschten Eigenschaften erfüllt.

Wir definieren uns nun eine Funktion mit der Funktionsvorschrift: Es bleibt zu zeigen, dass unsere Abbildung die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus, also eines injektiven Körperhomomorphismus erfüllt.

Hierzu muss für eine beliebige Funktion , wobei und beliebige Körper definieren folgendes geprüft werden:


  • (1) Die neutralen Elemente bzgl. der jeweiligen auf dem Körper definierten Verknüpfungen müssen auf die neutralen Elemente aus dem Körper abgebildet werden, d.h.

  • (2) Linearität bzgl. der ersten Verknüpfung, d.h. für

  • (3) Linearität bzgl. der zweiten Verknüpfung, d.h.

Nun prüfen wir diese Eigenschaften für unsere Abbildung . Sei hierzu . Desweiteren ist wie oben bereits definiert das neutrale Element der Multiplikation in , sowie das neutrale Element der Addition in

  • zu (1)

Die neutralen Elemente der jeweiligen Verknüpfungen aus , werden also auf die neutralen Elemente aus abgebildet.

  • zu (2)

Was aus der Definition der Addition in den komplexen Zahlen folgt.

  • zu (3)

Was aus der Definition der Multiplikation in den komplexen Zahlen folgt.

Somit stellt die Abbildung einen Körperhomomorphismus dar.

Um die Injektivität zu zeigen, nehmen wir mit . Folglich gilt , also . Daraus folgt, dass sein muss. Somit ist die Abbildung injektiv.

Durch die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus bleibt die Struktur eines Körpers im Bild der Abbildung erhalten. Einfach gesagt erfüllt das Bild des Körpermonomorphismus die Körperaxiome und definiert somit wieder einen Körper. Da das Bild der Abbildung eine Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen ist, können wir Bild als Unterkörper von auffassen. Ferner ist durch die Abbildung ein Körperisomorphismus, d.h. ein bijektiver Körperhomomorphismus zwischen dem Körper und dem Körper gegeben.

Dies rechtfertigt die Bezeichnung und schreiben fortan für

Definition der Schreibweise [Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl, die wir als schreiben möchten, ist nach unserer formalen Definition mit das Tupel . Da die Rechnungen dadurch einfacher werden, möchten wir die Schreibweise ohne Tupel einführen. Ein Anfang wäre es, formal einzuführen. Wir wollen das zu zugehörige Tupel finden. Da wir uns auf der -Achse bei der vorstellen, wählen wir .

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Definition (Die konventionelle Schreibweise für )

Wir setzen und dürfen den Buchstaben nun auch formal als komplexe Zahl benutzen.


Anfangs haben wir die Lösung der Gleichung gesucht. Wir wollten, dass eine Lösung dieser Gleichung ist. Deshalb rechnen wir nach, dass in der Tat für erfüllt ist:

Wir haben dabei die Einbettung der reellen Zahlen in und die Schreibweise für . Es gilt also wirklich


Nun wollen wir noch zeigen, dass wir unsere Schreibweise für verwenden dürfen. Unter Verwendung von für zeigen wir .

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Satz

Für alle gilt .

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Beweis

Sei . Dann

.

Mit

ist der Beweis wasserdicht!


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To-Do:
  • Erwähnen: nun können wir ganz normal rechnen, wie wir es wollten (es ist genau so definiert, dass das funktioniert

ist kein geordneter Körper [Bearbeiten]

Es wäre angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können, also eine Größer/Kleiner-Relation dafür einzuführen. Betrachten wir jedoch die Zahlen und . Wir stellen fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand besitzen:

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To-Do:

Bild vom Einheitskreis mit den Punkten und

Ist nun , oder ? Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn beiden Zahlen haben den gleichen Betrag. Wie sieht es mit und aus? Die Zahl ist weiter von der Null entfernt als die Zahl . Gilt dann auch ? Kann das Produkt einer negativen Zahl mit der imaginären Einheit wirklich größer als eine positive Zahl sein?

An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass die Anordnung der komplexen Zahlen schwierig ist. Tatsächlich ist dies nicht möglich. Dies beweist der folgende Satz:

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Satz

Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen , die die Ordnung der reellen Zahlen erhält.

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Beweis

Wir betrachten die beiden Zahlen und . In einer Ordnung muss entweder oder oder gelten (Trichotomie der Positivität). Diese drei Aussagen werden wir nun schrittweise widerlegen:

  • Nach der Definition der imaginären Einheit ist .
  • Angenommen es gilt . Damit ist eine positive Zahl. Nun können beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, ohne dass deren Ordnung geändert wird. Aus und folgt (Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation). Damit müssen wir beide Seiten von mit multiplizieren können. Wir erhalten . Dieses Ergebnis ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen und somit ist unsere Annahme nicht richtig.
  • Sei nun , dann ziehen wir auf beiden Seiten der Ungleichung ab und erhalten . Erneut können wir aufgrund der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation die rechte Seite mit multiplizieren und es folgt . Auch diese Ungleichung ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen, womit nicht gelten kann.

Es ist weder noch noch . Damit kann kein geordneter Körper sein, der die Ordnung von erhält.

ist algebraisch abgeschlossen[Bearbeiten]

Wir haben mit einen Körper konstruiert, in dem die Gleichung lösbar ist bzw. das Polynom eine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen gilt sogar wesentlich mehr: Jedes Polynom (mit Koeffizienten in ) vom Grad größer gleich besitzt mindestens eine Nullstelle. Dies schließt nur konstante Polynome aus, die natürlich (bis auf das Nullpolynom) keine Nullstellen besitzen. Diese Eigenschaft gilt in den reellen Zahlen nicht. So besitzt keine reellen Nullstellen.

Diese Eigenschaft der komplexen Zahlen heißt algebraische Abgeschlossenheit und wird in der Algebra behandelt. Die algebraische Abgeschlossenheit von wird in einem Satz mit dem gewichtig klingenden Namen Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

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Aufgabe

Finde das Ergebnis folgender Produkte

Applications-office.svg

Lösung

Wir erhalten: