Definition der komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir werden hier die komplexen Zahlen formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.

Herleitung für die formale Definition komplexer Zahlen[Bearbeiten]

Herleitung der Tupelschreibweise[Bearbeiten]

Komplexe Zahlen haben die Form , wobei reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit die Gleichung erfüllt. Jedoch fehlt uns eine formale Definition für diese neue Zahlenform. Diese wollen wir nun herleiten.

Eine komplexe Zahl wird durch die zwei reelle Zahlen und beschrieben. Außerdem kann man komplexe Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen. ist dabei die -Koordinate des Punktes und der imaginäre Anteil gibt die -Koordinate wieder:

Komplexe Zahlen sind Punkte auf der Ebene

Nun können Punkte der Ebene als Tupel der Menge beschrieben werden. Wir können also einem Tupel in die komplexe Zahl zuordnen. Es soll also sein. Dadurch identifizieren wir die komplexe Zahlenmenge mit der Ebene .

Da Tupel ein exakt definiertes mathematische Konzept ist, können wir diese für die formale Definition der komplexen Zahlen hernehmen. Hierzu sagen wir, dass komplexe Zahlen Tupel sind. Für diese müssen wir zusätzlich noch definieren, wie wir diese addieren und multiplizieren können.

Herleitung der Rechenregeln[Bearbeiten]

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition in der Ebene.

Wir wollen mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen können. Hierzu müssen wir definieren, wie komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden können. Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen und . Das Ergebnis soll wieder eine komplexe Zahl, d.h. von der Form , sein. Hierfür addieren wir die beiden komplexen Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern aus:

Das Ergebnis ist wieder von der Form . Dabei werden jeweils die reellen und die imaginären Anteile summiert. Zur formalen Definition der Addition nutzen wir die Tupelschreibweise in benutzen. Dort gilt die Identifizierung . Damit übersetzen wir obige Rechnung in die Tupelschreibweise:

Wir sehen, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in ist. Das ist genau die Vektoraddition in der Ebene . Die Multiplikation komplexer Zahlen ist umständlicher. Wir betrachten hierzu das Produkt von zwei komplexen Zahlen und und multiplizieren diese aus:

Diese Rechnung übersetzen wir in unsere Tupelschreibweise:

Formale Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in mit der passenden Addition und Multiplikation.

Definition (Die komplexen Zahlen )

Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als Menge zusammen mit zwei Verknüpfungen. Komplexe Zahlen sind also Tupel , wobei und reelle Zahlen sind. Die Addition und die Multiplikation sind definiert über

Definition von Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl , kann als Punkt in der Ebene beschrieben werden. Dieser ist eindeutig über seine Koordinaten und definiert. Diese Koordinaten haben spezielle Namen. ist der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Definition (Real- und Imaginärteil)

Für eine komplexe Zahl mit setzen wir und . Wir nennen den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl .

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper[Bearbeiten]

Wir können mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen. Die Addition entspricht dabei der Vektoraddition in . Damit erbt sie alle Eigenschaften der Addition in einem Vektorraum und erfüllt so beispielsweise das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz . Auch die Multiplikation in den komplexen Zahlen hat ähnliche Eigenschaften wie die Multiplikation in den reellen Zahlen.

Wie auch in den reellen Zahlen können wir in Brüche der Form bilden. Hierzu müssen wir zu einer komplexen Zahl ihre Reziprokes bilden. Diese reziproke Zahl muss die Gleichung erfüllen. Wir müssen also so wählen, dass ist. Wir werden sehen, dass dieses Gleichungssystem für alle eindeutig lösbar ist.

Insgesamt erfüllen die Addition und die Multiplikation die sogenannten Körperaxiome, die auch die reellen Zahlen erfüllen. Damit ist das Rechnen in ähnlich zu dem, was uns vom Rechnen mit reellen Zahlen bekannt ist.

Satz

Sei die Menge der komplexen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation:

Diese Menge erfüllt alle Körperaxiome.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir wollen nun nacheinander die Gültigkeit der Körperaxiome in den komplexen Zahlen überprüfen. Hierfür werden wir von den genannten Definitionen der Addition und der Multiplikation in ausgehen und die Eigenschaften der reellen Zahlen ausnutzen.

Betrachten wir beispielsweise die Kommutativität der Multiplikation. Um diese nachzuweisen, müssen wir folgende Gleichung beweisen:

Welche Umformungsschritte müssen wir nun ausführen, um von der linken Seite der Gleichung auf die rechte zu gelangen? Zunächst ist es hilfreich, die Definition der Multiplikation in den komplexen Zahlen anzuwenden, d. h. und . So erhalten wir

Auf diese Weise ist von links und rechts schon der Großteil des Beweises aufgefüllt. Was nun noch zu zeigen ist, ist die Gleichheit , die wir unmittelbar aus den Eigenschaften von erhalten: Da aus dem Körper der reellen Zahlen sind, wissen wir aufgrund der Kommutativität der Multiplikation, dass und gilt. Damit sind wir schon fertig und haben die Kommutativität der Multiplikation in den komplexen Zahlen bewiesen. Auf ganz ähnliche Weise lassen sich auch die übrigen Körperaxiome für die komplexen Zahlen zeigen.

Neben der Assoziativität und Kommutativität der Addition und der Multiplikation müssen wir für den Beweis außerdem noch die Existenz des neutralen und inversen Elementes der Addition bzw. Multiplikation in nachweisen. Dies tun wir, indem wir ein solches konstruieren und durch Nachrechnen zeigen, dass es die in den Körperaxiomen geforderten Eigenschaften besitzt.

Das neutrale Element der Addition ist nicht schwer zu finden: Es ist zu erwarten, dass der Ursprung der komplexen Ebene, welche auch die Null der reellen Zahlenachse ist, der Null in der komplexen Zahlenebene entspricht. Der Punkt sollte also die komplexe Null sein. Auch aus der Definition der Addition ist schnell zu erkennen, dass gelten muss, damit erfüllt ist.

Das additiv Inverse können wir leicht bestimmen, indem wir zu einer komplexen Zahl jeweils die additiv Inversen der beiden reellen Zahlen bestimmen. Wir erhalten , was wir durch Nachrechnen zeigen können.

Bezüglich des neutralen Elements der Multiplikation vermuten wir, dass wie schon beim neutralen Element der Addition eine Analogie zu den reellen Zahlen gilt. Auf der reellen Zahlenachse ist die Eins das neutrale Element der Multiplikation, in der Zahlenebene entspricht dies dem Punkt mit den Koordinaten . Wir können durch Nachrechnen leicht zeigen, dass tatsächlich die gewünschten Eigenschaften besitzt.

Wir müssen nun noch die multiplikative Inverse finden. Das ist etwas schwerer als die additive Inverse, weil die Multiplikation komplizierter definiert ist als die Addition. Für ein gegebenes mit suchen eine komplexe Zahl mit . Dabei ist die bereits gefundene „Eins“ in den komplexen Zahlen.

Was für Bedingungen muss als Inverse von erfüllen? Nach der Definition der Multiplikation ist . Damit muss gelten . Folgende Gleichungen müssen also erfüllt sein:

Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, nämlich und , sowie zwei Gleichungen. Wir können nun versuchen dieses Gleichungssystem zu lösen, also die Gleichungen nach und nach aufzulösen. Nimm dir Stift und Papier sowie 10 Minuten Zeit und versuche selbst die Gleichungen nach und umzuformen.

Wir präsentieren hier eine elegante Lösung, bei der keinerlei Fallunterscheidung wegen Division durch Null nötig sind. Sie ist aber nicht intuitiv und die Wenigsten würden den Beweis beim ersten Versuch so durchführen. Als Erstes multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit :

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten:

Nun multiplizieren wir „anders herum“, also die erste Gleichung mit und die zweite mit :

Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung die Erste, so erhalten wir:

Wir haben also als Inverse von gefunden. Im Beweis werden wir Proberechnen, dass wirklich ist.

Beweis

Wir müssen alle nachweisen. Seien dafür beliebig.

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Addition

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Addition

Beweisschritt: Existenz der Null

Die Null in ist gegeben durch . Es ist nämlich

Beweisschritt: Existenz des additiven Inversen

Im ist , denn es ist

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Multiplikation

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Multiplikation

Beweisschritt: Existenz der Eins

Die Eins in ist die Zahl . Es gilt nämlich und

Beweisschritt: Existenz des multiplikativen Inversen

Sei eine komplexe Zahl mit . Das Inverse dieser Zahl ist . Diese Zahl ist wohldefiniert, da und deshalb . Und es gilt

Beweisschritt: Distributivgesetz

als Unterkörper von [Bearbeiten]

Wir identifizieren die komplexen Zahlen mit der Ebene . Dabei ist die in der komplexen Ebene liegende -Achse die reelle Zahlengerade. So ergibt es Sinn, dass die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

Außerdem wissen wir, dass sowohl als auch Körper sind. Es ist sinnvoll, wenn ein Unterkörper von ist. Dafür müssen wir mehr zeigen, als dass eine Teilmenge von ist. Wir müssen zusätzlich beweisen, dass die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen in erhalten bleibt. Wir wollen also zwei Aussagen zeigen: ist eine Teilmenge von und die Rechenoperationen aus den reellen Zahlen bleiben in erhalten.

Betrachten wir zunächst die erste Aussage: ist Teilmenge . Diese stimmt nicht direkt, da dies bedeuten würde, dass für alle auch gilt. Nun ist eine Menge von Tupeln reller Zahlen, womit die Elemente von und von verschieden sind.

Dies ist kein großes Problem. Wir können nämlich die reellen Zahlen mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren, die sich ähnlich wie verhält. Um diese Teilmenge zu finden, nutzen wir die Anschauung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die Teilmenge, die wir suchen, ist in unserer Anschauung die reelle Achse in der komplexen Ebene. Eine komplexe Zahl liegt genau dann auf dieser Achse, wenn ihr Imaginärteil gleich Null ist, wenn ist. Die reelle Achse ist somit die Menge .

Wir wollen zeigen, dass wir mit den reellen Zahlen identifizieren können. Dafür brauchen wir eine eins-zu-eins-Beziehung (bijektive Abbildung) von zu . Genauso gut können wir eine injektive Abbildung mit Bild definieren. Dann bildet die reellen Zahlen bijektiv auf ab.

Aber das reicht uns noch nicht. Wir wollen zusätzlich, dass die gleiche Struktur wie die reellen Zahlen hat. Unsere Abbildung soll die Struktur von in der Abbildung erhalten. Das bedeutet, Summen in sollen von auf Summen in abgebildet werden und genauso mit Produkten. Auch sollen die neutralen Elemente und aus den reellen Zahlen auf die entsprechenden neutralen Elemente in den komplexen Zahlen abgebildet werden. Eine Abbildung mit solchen Eigenschaften heißt Körperhomomorphismus.

Wie sollen wir wählen? Betrachten wir wieder unsere Anschauung der komplexen Ebene. Wir wollen die reelle Zahlengerade auf die reelle Achse abbilden. Am einfachsten geht das, wenn wir den Zahlenstrahl in die zweidimensionale Ebene einbetten. Also eine reelle Zahl nach schicken:

Definition (Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen)

Die Funktion mit der Funktionsvorschrift ist die Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen.

Es bleibt zu zeigen, dass unsere Abbildung die Eigenschaften eines injektiven Körperhomomorphismus erfüllt. Ein solcher injektiver Körperhomohorphismus wird Körpermonomorphismus genannt:

Satz (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Die Einbettung mit ist ein Körpermonomorphismus (= injektiver Körperhomomorphismus)

Wie kommt man auf den Beweis? (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Um zu zeigen, dass eine beliebige Funktion zwischen zwei Körper und ein Körperhomomorphismus ist, müssen folgende Eigenschaften nachgewiesen werden:

  • Die neutralen Elemente bzgl. der jeweiligen auf dem Körper definierten Verknüpfungen müssen auf die neutralen Elemente aus dem Körper abgebildet werden, d.h.

    Dabei ist und das neutrale Element der Addition in der Menge und bzw. sind jeweils die neutralen Elemente aus .

  • Linearität bzgl. der ersten Verknüpfung, d.h. für alle gilt:

  • Linearität bzgl. der zweiten Verknüpfung, d.h. für alle gilt:

Diese Eigenschaften müssen wir für nachweisen. Hierfür gehen wir so vor, dass wir zunächst die zu überprüfenden Eigenschaften in den Fall von übersetzen. Aus der Formel wird beispielsweise:

Wir müssen also die Gleichung die Gleichung beweisen. Hier können wir zunächst die Definition von einsetzen. Damit ist folgende Gleichungskette zu zeigen:

Durch Ausrechnen von kann diese Gleichungskette bewiesen werden. Analog kann auch bei den anderen Eigenschaften vorgegangen werden. Auch der Beweis der Injektivität kann durch eine ähnliche Vorgehensweise erfolgen.

Beweis (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Seien . Desweiteren ist wie oben bereits definiert das neutrale Element der Multiplikation in , sowie das neutrale Element der Addition in . Es ist:

Beweisschritt: erhält neutrale Elemente

Die neutralen Elemente der jeweiligen Verknüpfungen aus , werden auf die neutralen Elemente aus abgebildet:

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Beweisschritt: ist injektiv

Seien mit . Folglich gilt , also . Daraus folgt, dass sein muss. Somit ist die Abbildung injektiv.

Somit stellt die Abbildung einen injektiven Körperhomomorphismus bzw. einen Körpermomomorphismus dar.

Durch die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus bleibt die Struktur eines Körpers im Bild der Abbildung erhalten. Einfach gesagt erfüllt das Bild des Körpermonomorphismus die Körperaxiome und definiert somit wieder einen Körper. Da das Bild der Abbildung eine Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen ist, können wir das Bild als Unterkörper von auffassen. Ferner ist durch die Abbildung ein Körperisomorphismus, d.h. ein bijektiver Körperhomomorphismus zwischen dem Körper und dem Körper gegeben. Dies rechtfertigt die Bezeichnung und wir übersetzen fortan alle reellen Zahlen in die komplexe Zahl .

Definition der Schreibweise [Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl, die wir als schreiben möchten, ist nach unserer formalen Definition mit das Tupel . Um Rechnungen zu vereinfachen, möchten wir die Schreibweise ohne Tupel einführen. Hierzu müssen wir formal definieren. Da in der komplexen Ebene auf der -Achse bei der Zahl liegt, wählen wir :

Definition (imaginäre Einheit)

Wir setzen und dürfen den Buchstaben nun auch formal als komplexe Zahl benutzen.

Anfangs haben wir die Lösung der Gleichung gesucht und mit eine dieser Lösungen gefunden. Deshalb rechnen wir nach, dass in der Tat für erfüllt ist:

Wir haben dabei die Einbettung der reellen Zahlen in und die Schreibweise für benutzt. Es gilt also wirklich . Nun zeigen wir, dass wir unsere Schreibweise für verwenden dürfen. Unter Verwendung von für zeigen wir . Dank diesem Beweis können anschließend mit den komplexen Zahlen so rechnen, wie wir es wollen:

Satz

Für alle gilt .

Beweis

Sei . Dann ist

ist kein geordneter Körper [Bearbeiten]

Es wäre angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können. Sprich: eine Größer/Kleiner-Relation für komplexe Zahlen einzuführen. Betrachten wir die Zahlen und . Wir stellen fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand besitzen:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild vom Einheitskreis mit den Punkten und

Ist nun , oder ? Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn beiden Zahlen haben den gleichen Betrag. Wie sieht es mit und aus? Die Zahl ist weiter von der Null entfernt als die Zahl . Gilt dann auch ? Kann das Produkt einer negativen Zahl mit der imaginären Einheit wirklich größer als eine positive Zahl sein?

An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass die Anordnung der komplexen Zahlen schwierig ist. Tatsächlich ist dies nicht möglich. Dies beweist der folgende Satz:

Satz

Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen , die die Ordnung der reellen Zahlen erhält.

Beweis

Wir betrachten die beiden Zahlen und . In einer Ordnung muss entweder oder oder gelten (Trichotomie der Positivität). Diese drei Aussagen werden wir nun schrittweise widerlegen:

Fall 1:

Nach der Definition der imaginären Einheit ist . ↯

Fall 2:

Angenommen es gilt . Damit ist eine positive Zahl. Nun können beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, ohne dass deren Ordnung geändert wird. Aus und folgt (Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation). Damit müssen wir beide Seiten von mit multiplizieren können. Wir erhalten . Dieses Ergebnis ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen und somit ist unsere Annahme nicht richtig. ↯

Fall 3:

Sei nun , dann ziehen wir auf beiden Seiten der Ungleichung ab und erhalten . Erneut können wir aufgrund der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation die rechte Seite mit multiplizieren und es folgt . Auch diese Ungleichung ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen, womit nicht gelten kann. ↯

Es ist weder noch noch . Damit kann kein geordneter Körper sein, der die Ordnung von erhält.

ist algebraisch abgeschlossen[Bearbeiten]

Wir haben mit einen Körper konstruiert, in dem die Gleichung lösbar ist bzw. das Polynom eine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen gilt sogar wesentlich mehr: Jedes Polynom (mit Koeffizienten in ) vom Grad größer gleich besitzt mindestens eine Nullstelle. Dies schließt nur konstante Polynome aus, die natürlich (bis auf das Nullpolynom) keine Nullstellen besitzen. Diese Eigenschaft gilt in den reellen Zahlen nicht. So besitzt keine reellen Nullstellen.

Diese Eigenschaft der komplexen Zahlen heißt algebraische Abgeschlossenheit und wird in der Algebra behandelt. Die algebraische Abgeschlossenheit von wird in einem Satz mit dem gewichtig klingenden Namen Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe

Finde das Ergebnis folgender Produkte

Lösung

Wir erhalten: