Der Satz von Stokes – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir setzen den Umkehrsatz aus der Analysis II und die regulären Flächen, Tangentialvektoren, Tangentialräume, Normalenvektoren und die Orientierbarkeit aus der Differentialgeometrie voraus. Die Verallgemeinerung der regulären Flächen sind Mannigfaltigkeiten mit Rand. Der Rand einer solchen Mannigfaltigkeit ist zum Glück wieder eine Mannigfaltigkeit mit um Eins reduzierter Dimension.

Wir zeigen dann, dass es eine unendlich oft differenzierbare Zerlegung der Eins gibt durch Funktionen, die nur auf Kartengebieten definiert sind. Damit können wir eine kompakte Mannigfaltigkeit durch endlich viele Karten überdecken.

Mit der Transformationsformel der Maßtheorie können wir beweisen, dass das Integral einer FUnktion definiert ist: schließlich ist der Definitionsbereich nur bis auf Kartenwechsel definiert und die Transformationsformel berücksichtigt genau die Änderung durch den Kartenwechsel.

Der Satz von Stokes sagt dann anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. In der Anwendung werden wir i.A. eine Volumenfunktion über die Kugel integrieren und ihre Ableitung über den Rand der Kugel integrieren.

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To-Do:

Die ersten 5-10 Kapitel meiner Differentialgeometrie zur Verfügung stellen.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

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Definition

a) Der Halbraum von ist

Das sind alle , deren erste Komponente im linken Halbraum liegt.

b) heißt offen genau dann wenn

Es gibt ein offenes mit, dessen Schnitt mit dem Halbraum ergibt

Offen bedeutet eigentlich, dass um jeden Punkt eine kleine Kugel noch ganz in liegt. Das geht auf dem Rand des Halbraums (bei zwangsläufig nicht. Man behilft sich nun mit dieser Definition, dass es eine in offen Menge gibt, deren Schnitt mit dem Halbraum ergibt.

c) Sei offen. Eine Funktion heißt differenzierbar genau dann wenn

es gibt ein offenes mit ,es gibt eine differenzierbare Funktion

mit

Erneut definiert man auf einem in offenen und betrachtet dann die Einschränkung auf . Man definiert

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Beweis

Der Halbraum reicht, um Folgen zu konstruieren, die gegen gehen und damit die Differenzierbarkeit zu beweisen.

Damit ist eindeutig durch festgelegt und damit gilt für das Differential von

Wir verallgemeinern die regulären Flächen zu Mannigfaltigkeiten mit Rand

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Definition

ist eine -dimensionale reguläre Mannigfaltigkeit mit regulärem Rand genau dann wenn

Es gibt offene Mengen und Parametrisierungen

mit

1.) alle sind injektiv

2.) ist die Vereinigung der Bilder der :

3.) Für alle Paare für die sich die Bilder der Parametrisierungen schneiden sind die Urbilder des Schnittes offen in und die Verknüpfungen der Parametrisierungen differenzierbar

d.h. es liegt folgendes kommutierende Diagramm vor

4.) Die Familie ist maximal bzgl. 1.)-3.), d.h. man hat alle möglichen Parametrisierungen aufgenommen.

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Definition

a) Ein Punkt heisst im Rand von

Für eine (und damit jede) Parametrisierung um p gilt

d.h. die Parametrisierung bildet Randpunkt von auf Randpunkte von ab.

b) Die Menge der Randpunkte ist .

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Beweis

Wir zeigen mit dem Umkehrsatz über einen Widerspruchsbeweis, dass die Definition eines Punktes am Rand nicht von der Parametrisierung abhängt.

Seien Parametrisierungen um mit

und . Nach Voraussetzung ist

umkehrbar differenzierbar.

Wegen gibt es ein sodass eine ganze Kugel in dem Definitionsbereich der Parametrisierung enthalten ist

d.h. die -Achse wird nicht geschnitten. Mmt gilt für die Verknüpfung der Parametrisierungen

da die Parametrisierungen injektiv sind (dann hat das Differential vollen Rang)

Mit dem Umkehrsatz damit existiert ein offenes , sodass

umkehrbar differenzierbar ist. Dann existiert aber eine ganze Umgebung von in und somit auch Punkte mit

Das kann nach Definition von nicht sein. Ein Widerspruch. Damit muss gegolten haben.

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Satz

a) Sei eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand . Dann ist eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.

b) Ist M orientierbar, so erzeugt M eine Orientierung auf

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Beweis

a):

Sei ein Randpunkt der Mannigfaltigkeit und eine Parametrisierung um . Dann ist die erste Komponente des Urbildes von p Null

Betrachte die Projektion

die einen Vektor aus dem einfach auf den einschränkt. Wir benötigen nun Definitionsbereiche für unsere Parametrisierungen von . Wir zeigen, dass wir die Projektionen der verwenden können. Behauptung:

Beweis: Sei . Nach Definition von gibt es ein mit

Da offen ist, gibt es eine ganze -Kugel um in

Diese wird durch abgebildet auf eine Kugel

denn für mit erster Koordinate gilt

und somit liegen alle im Bild von .

Damit ist offen. Wir benötigen noch Parametrisierungen für den Rand, die wir uns durch Einschränkung verschaffen

Da differenzierbar ist, ist

differenzierbar. Betrachte nur jene Indizes, für die die Kartenbilder den Rand von schneiden.

Dann ist die Familie maximal für .

b):

Wähle eine Orientierung für M, d.h. nur mit

Mit

gilt

Somit ändert sich nicht auf der Einschränkung , wenn man ändert, d.h.

Da und in einer Umgebung von p, gilt

Nun können wir die Determinante des Differentials hinschreiben, die wegen der Orientierbarkeit größer als Null ist.

Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile liefert mit und der Definition der Determinante des Differentials von

Damit ist orientierbar.

Differenzierbare Zerlegung der Eins

Die Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen nicht durch eine Parametrisierung überdeckt werden. Die konstante Funktion mit Wert ist immer nur auf einem Kartengebiet definiert. Das ist unpraktisch. Wir zerlegen jetzt diese Einsfunktion in Funktionen, die nur auf den ungleich Null sindund gemeinsam addiert über alle Kartengebiete genau eins ergeben. Dann können wir Beweise auf den Kartengebieten führen und im letzten Schritt mit der Zerlegung der Eins auf die ganze Mannigfaltigkeit ausdehnen. Das ist uns einige Vorarbeit wert.

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Satz

Die folgenden Hilfsfunktion

ist unendlich oft differenzierbar. Sie ist ein Buckel, der nur auf dem Intervall größer Null ist und sich an den Rändern in den Punkten und sanft der Null annähert.

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Beweis

Sei . Dann ist identisch Null und somit unendlich oft differenzierbar.

Sei . Dann ist die Verknüpfung der unendlich oft differenzierbaren Funktionen und und Addition und damit unendlich oft differenzierbar.

Sei : Die linksseitige Ableitung in und die rechtsseitige Ableitung in sind identisch Null, da dort die Nullfunktion ist.

Nun betrachten wir den Grenzwert der Ableitungen im Inneren des Intervalles . Dazu müssen wir per Induktion berechnen, dass die -te Ableitung die Form hat

Induktionsanfang :

Das ist von der angegebenen Form.

Induktionsschritt: . Nach Vorausstzung ist die -te Ableitung von der angegebenen Form

Das ist wieder von der angegebenen Form.

Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion gilt

gelten

Damit ist auch in den Punkten unendlich oft differenzierbar.

Das war die Buckelfunktion im . Jetzt bauen wir daraus eine Plateau-Funktion um den Nullpunkt im .

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Satz

Es existiert eine differenzierbare Funktion

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Beweis

Mit

ist auch

unendlich oft differenzierbar, denn im Nenner steht eine Zahl größer Null und der Zähler wir nach einlaigem Ableiten , das unendlich oft differenzierbar ist.

Da g_ auf (-1,0] konstant gleich 1 ist und die Wurzel aus der Summe von Quadraten unendlich oft differenzierbar ist,

ist die Verknüpfung dieser Fnktionen

wieder unendlich oft differenzierbar.

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Satz

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und

eine Parametrisierung um p.

Dann gibt es eine Parametrisierung um p mit

Man verschiebt einfach den Definitionsbereich der Parametrisierung mittels einer vorgeschalteten Abbildung um .

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Beweis

Sei der Punkt, der auf abgebildet wird. Da offen ist, gibt es eine -Kugel in

Die Verschiebung um

und ihre Umkehrung sind als eine Differenz/Summe automatisch unendlich oft differenzierbar. Die Erweiterung auf

und ihre Umkehrung sind als Skalarmultiplikation ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Damit gilt

Da H und T umkehrbar sind, ist

definiert und wieder unendlich oft differenzierbar.

Nach diesen Vorarbeiten kommen wir zur Zerlegung der Einsfunktion auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

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Satz (Zerlegung der Eins)

Sei eine kompakte Mannigfaltigkeit und eine Überdeckung von durch Kartenumgebungen. Dann existieren differenzierbare Funktionen und Karten sodass gilt:

a)

b) Die Werte der liegen im Intervall

c) Der Träger der liegt in :

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Beweis (Zerlegung der Eins)

Für alle betrachte die im Satz vorher konstruierte Parametrisierung mit . Auf

ist die Funktion konstant Eins.

Da kompakt, offen und

wird von endlich vielen überdeckt überdeckt

Dann sind

unendlich oft differenzierbar, da Null auf und der Träger der liegt in .

Definiere durch

Als Quotient und Summe ist wieder unendlich joft differenzierbar, da definiert.

Das Integral einer n-Form

Das definieren wir einfach als das Integral über den Koeffizienten der n-Form. Dazu müssen wir zeigen, dass es unabhängig von der Kartenwahl ist.

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Definition

Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit und

eine n-Form auf U_1. Dann heißt

das Integral von w.

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Beweis

Seien Parametrisierungen und

Dann erhalten wir eine neue n-Form auf mit Koeffizienten :

Aus der Transformationsformel für Mehrfachintegrale im folgt, da f umkehrbar und da durch die Orientiertheit

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Definition

Sei M eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit und eine Zerlegung der Eins. Das Integral von w ist

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Beweis

Da die Träger der in sind macht es Sinn zu schreiben:

Sei eine Überdeckung mit derselben Orientierung wie und sei </math> eine zugehörige differenzierbare Zerlegung der Eins.

Dann ist eine Überdeckung von M und ist eine zugeordnete Zerlegung der Eins und

Das letzte Gleichheitszeichen verwendet, dass für jedes i die Funktionen in definiert sind.

Der Satz von Stokes Wir benötigen Hilfsaussage, dass der Abstand zwischen einer kompakten Menge und einer abgeschlossenen Menge, die sich nicht schneiden, echt größer Null ist

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Satz

Sei abgeschlossen und kompakt mit . Dann ist der Abstand zwischen beiden Mengen echt größer Null

für jede Metrik .

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Beweis

1.) Die Funktion ist stetig

Mit der Definition der Metrik gilt

folgt durch Infimumbildung auf beiden Seiten, die das Kleiner-Gleich-Zeichen erhält

Mit vertauschten Rollen von und gilt auch

Für beliebiges wähle und es folgt

und das ist die Definition der Stetigkeit.

2.) dist(K,A)>0

Da K kompakt ist, nimmt die stetige Funktion ihr Minimum an auf K in einem Punkt, in Formeln

Da abgeschlossen ist, ist offen und da , gibt es eine ganze -Kugel um in

Damit folgt

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Satz

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, kompakt und orientiert und eine differenzierbare -Form auf und sei

d.h. es gilt

Dann gilt:

In lokalen Koordinaten

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Beweis

Die -Form hat die allgemeine Form

wobei die differenzierbar sind. Nach Definition gilt für die Ableitung

Man tauscht an vorbei und erhält wegen

einen Faktor . Dadurch tritt in der Summanden ein Teilterm auf, der aber Null ist und diese Summanden fallen weg (weil dann zwei Zeilen der Determinante gleich sind), in Formeln

Im letzten Satz des Kapitels über Differentialformen

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Differentialformen

haben wir schon gezeigt, dass gilt

1.) Sei eine Parametrisierung, deren Bild den Träger von enthält (das konstruieren wir uns später durch eine unendlich differenzierbare Zerlegung der Eins, die wir an dranmultiplizieren)

a) Das Bild der Parametrisierung schneide nicht den Rand:

Da der Träger von in liegt nach Voraussetzung, gilt

Damit gilt, dass

und das Integral über die Untermannigfaltigkeit über wird automatisch Null

Erweitere die Funktionen von ihrem jetzigen Defnitionsbereich auf ganz durch Fortsetzen mit Null

Mit dem kompakten Träger der Zerlegung der Eins gilt da abgeschlossen mit dem letzten Hilfssatz

Damit ist in einem Quader enthalten, dessen Abstand von echt größer Null ist.

Die sind auf dem Rand des Quaders Null: Für gilt

Damit folgt durch partielle Integration über die jeweils -te Koordinate

b) Die Parametrisierung schneidet den Rand der Mannigfaltigkeit:

Wie in a) erweitern wir die Funktionen auf und betrachten einen Quader , der in der ersten Koordinate nur Elemente kleiner gleich 0 erfasst, der den kompakten Träger von enthält. Jetzt wir ein Term bei der partiellen Integration ungleich Null

2.) Benutze die unendlich oft differenzierbare Zerlegung der Eins

Sei eine Überdeckung von durch Koordinatenumgebungen die mit der Orientierung verträglich ist.

Sei eine untergeordnete differenzierbare Zerlegung der Eins.

Die Formen erfüllen Fall 1.) und es gilt

Da gilt . Es ergibt sich

Jetzt wollen wir die Versionen des Satz von Stokes für zwei und drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten beweisen, wie sie in der Anwendung, insbesondere der Physik und den partiellen Differentialgleichungen verwendet werden.

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Definition

Wir definieren uns die folgenden Abbildungen, die wir schon aus der Analysis II kennen


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Satz (Der Integralsatz von Stokes)

Sei offen, ein differenzierbares Vektorfeld auf und orientierte kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand.

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Beweis (Der Integralsatz von Stokes)

Mit einer Zerlegung der Eins genügt es in einem Kartengebiet zu rechnen. Sei eine Parametrisierung

Die positive -Richtung zeigt aus U heraus. Wähle deshalb

Der Tangentialvektor ist eine Basis von . Sei die zu gehörige duale Basis (sie besteht nur aus zwei Elementen, da wir eine zweideimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand betrachten). Aus der kanonischen -Form (ein Vorfaktor würde sich in der Endformel wegkürzen)

erhalten wir durch Einsetzen des differenzierbaren a eine 1-Form (diese ist weiterhin linear in v)

Diese lässt sich nach der ersten Zeile entwickeln

und an dieser Darstellung sieht man wegen des nach Voraussetzung differenzierbaren a, dass w eine n-Form ist.

Daraus berechnen sich gemäß dem letzten Kapitel und wegen

Das ergibt für die beiden Integrale nach dem gerade bewiesenen Satz von Stokes

und mit dem auf in senkrechten Vektor

Mit einer Zerlegung der Eins lässt sich die Aussage auf ganz und fortsetzen.

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Satz (Der Gaußsche Integralsatz)

Sei offen und differenzierbares Vektorfeld auf X. Sei kompakte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. ist durch den orientiert.

Sei das nach außen gerichtete Einheitsnormalenfeld auf . Dann gilt

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Beweis (Der Gaußsche Integralsatz)

Mit einer Zerlegung der Eins genügt es, in Kartengebieten zu rechnen.

Sei Parametrisierung mit

Die positive -Richtung zeigt aus dem Kartengebiet . Wähle deshalb

Sei die duale Basis zu

Aus der kanonischen n-Form (ein Vorfaktor würde sich bei der Endformel herauskürzen)

erhält man durch Einsetzen von eine -Form (Multilinearität in den Zeilen und Null, wenn zwei Zeilen gleich sind, bleiben dabei erhalten)

wie man durch Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile sieht, da nach Voraussetzung differenzierbar ist.

Das ergibt

und somit

und

Mit einer Zerlegung der Eins gilt die Aussage für ganz M.

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Satz (Satz von Green)

Sei offen, kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand und differenzierbar. Dann gilt

Die partielle Integration ist mit gegeben durch

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Beweis (Satz von Green)

a) Setze:

b)

c)

d)