Die Maßfortsetzung – Mathe für Nicht-Freaks

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Dies ist das technischste und wichtigste Kapitel der Maßtheorie. Endlich definieren wir uns unser Ziel: Maße als sigma-additive, nicht-negative Funktionen von einer Sigma-Algebra nach . Wir geben uns eine sigma-additive, nicht-negative Abbildung von einem RING nach vor und suchen die Fortsetzung auf die von dem Ring erzeugte Sigma-Algebra . Dazu konstruieren wir uns ein äußeres Maß auf ALLEN Teilmengen von als minimale Überdeckung mit abzählbar vielen Elementen aus dem Ring. Je feiner wir dabei die überdeckenden Quader wählen und je weniger sich die überdeckenden Mengen überschneiden, umso besser wird die Näherung sein, wie man an folgenden Überdeckungen eines Fünfecks sieht.

Erstaunlicherweise wird dieses äußere Maß zu einem Maß auf den Teilmengen, die ALLE Teilmengen von bzgl dem äußeren Maß additiv aufteilen, diese Teilmengen bilden sogar eine Sigma-Algebra . Wir rechnen nun nach, dass die Elemente des Ringes in dieser Sigma-Algebra enthalten sind, damit ist die erzeugte Sigma-Algebra ebenfalls in enthalten und das äußere Maß dort ein Maß. Wir überprüfen als Letztes, dass das äußere Maß auf dem Ring denselben Wert annimmt wie die sigma-additive Funktion auf dem Ring, mit der wir gestartet sind - damit ist die Maßfortsetzung gefunden. Die Eindeutigkeit lässt sich beweisen, wenn sich der Raum mit abzählbar vielen Mengen endlichen Maßes ausschöpfen lässt, was bei der Fall ist. Damit ist das angekündigte eindeutige Lebesguemaß gefunden und dieses lebt sogar auf einer größeren Sigma-Algebra als . Nun behandeln wir bisher nur das Lebesguemaß, wo bleiben die anderen Beispiele? Mit dem Integralbegriff können wir später aus jeder messbaren, nicht-negativen Funktion aus dem Lebesguemaß neue Maße erzeugen und erhalten beliebig viele neue Maße.

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Definition (Maß)

Sei eine Sigma-Algebra. Eine nicht-negative Abbildung

mit 

heißt Maß.

Wie bei den sigma-additiven Funktionen gezeigt, müssen wir für die Wohldefiniertheit fordern.

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Satz (Rechenregeln für Maße)

Die Rechenregeln für additive und sigma-additive Abbildungen auf Ringen gelten genauso für Maße. Siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_sigma-additive_Funktionen

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Beweis (Rechenregeln für Maße)

Wir zeigen: Eine Sigma-Algebra ist insbesondere ein Ring. Nach Voraussetzung gilt

Seien . Dann gilt

da sogar abzählbare Vereinigungen in sind

da Komlemente und Schnitte wieder in sind.

Auf einem Ring definieren wir eine additive Funktion intuitiv und beweisen dann die Sigma-Additvität. Ziel ist nun die Fortsetzung zu einem Maß auf die von erzeugte Sigma-Algebra .

Existenz der Maßfortsetzung

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Satz

Sei endlich additiv auf einem Ring . Wir nähern die Fläche von einem beliebigen von außen durch abzählbar viele Elemente und wählen die kleinste solche Überdeckung. Das äußere Maß sei

mit , wenn es keine Folge in gibt mit .

Weil das Minimum eventuell nicht existiert, benutzt man das Infimum (das immer existiert)

Für gilt:

  1. Das äußere Maß der leeren Menge ist Null:
  2. Das äußere Maß ist monoton: Für gilt
  3. Das äußere Maß einer abzählbaren Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der äußeren Maße der Einzelmengen:

Das ist schon ziemlich dicht an den Eigenschaften einer sigma-additiven Funktion dran.

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Beweis

Von den Ringeigenschaften und der Additivität von wird nur verwendet, dass und . Mehr nicht.

1.):

Da alle größer gleich Null sind, ist auch das Infimum größer gleich Null und die Abbildung definiert.

Da  und  gilt

2.):

Da , ist jede Überdeckung von eine für .

Das Infimum der Überdeckungen für wird also über mehr Mengen gebildet als für . Deshalb gilt:

3.):

Da als Infimum definiert ist, kann man eine Folge wählen, die bis auf genau herankommt man den Wert des äußeren Maßes .

Es gilt also mit:

Die abzählbare Vereinigung der wird dann insbesondere von den Vereinigungen der überdeckt

Das ist eine abzählbare Überdeckung. Da als Infimum definiert ist, gilt

Da beliebig gewählt war, folgt

Jetzt müssen wir eine Sigma-Algebra konstruieren auf der sigma-additiv ist. Dabei müssen wir und aufeinander abstimmen:

soll mindestens additiv werden für Elemente aus . Eine Forderung wäre z.B. "Betrachte für nur Elemente aus , für die gilt"

Das ist fast richtig. Wir wollen noch das Komplement einbringen. Damit mit auch das Komplement von in ist, muss die Beziehung symmetrisch in und sein. Dazu verwenden wir, dass sich jede beliebige Menge disjunkt aufteilen lässt gemäß

Wegen ist die Forderung symmetrisch in und

Jetzt haben wir disjunkte Mengen und lassen die geforderte Additivität von einfließen, indem wir Elemente in zulassen, für die für ALLE gilt:

Das ist schon alles. Wir rechnen gleich nach; Die Mengen , die bezüglich alle anderen Mengen additiv aufteilen, bilden eine Sigma-Algebra. Allein die Wahl von und die Konstruktion von bedingt das, es geht nur und ein in den Beweis. Der Ring und die Additivität spielen noch keine Rolle.

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Satz

ist eine Sigma-Algebra.

Die Definition kombiniert Additivität und Komplementbildung.

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Beweis

1.) :

Da

gilt

2.) Aus folgt :

ist genau so definiert, dass das gilt

3.) Aus folgt :

Seien . Da , gilt folgende Beziehung

Wir benutzen, dass sind, setzen obige gerade erhaltene Gleichung ein und erhalten

Damit ist gezeigt

Nach 2.) sind Komplemente wieder in und wir haben gerade gezeigt, dass Schnitte wieder in sind. Damit folgt

4.) Zeige :

Wir benötigen in 5.) folgende Beziehung

und verwenden Induktion, um sie zu zeigen.

n=2:

Da und disjunkt sind, liegt ganz im Komplement von und es gilt

Unter Verwendung der ersten Formel von 3.) mit und berechnen wir

Das zeigt den Fall .

n n+1: Nun wenden wir einfache Induktion an, da die Vereinigung disjunkt ist

und erhalten die Behauptung.

5.) Für gilt :

Nach Definition von müssen wir zeigen, dass

Für den Beweis der Gleichheit, zeigen wir kleiner gleich und größer gleich.

Da endliche Vereinigungen wieder in liegen, berechnen wir mit der in 4.) extra gezeigten Formel

Mit

und der Monotonie des äußeren Maßes folgt

Im Grenzwert bleibt das Größergleich-Zeichen erhalten und mit der dritten Eigenschaft des äußeren Maßes folgt

Das war die eine zu beweisende Ungleichung.

Die umgekehrte Ungleichung gilt, da als Infimum definiert ist: Wegen

gilt mit der dritten Eigenschaft des äußeren Maßes 

Insgesamt folgt

6.):

Da für auch , ist durchschnittsstabil. Wir haben nachgerechnet, dass ein Dynkinsystem ist, somit ist eine Sigma-Algebra.

Die passende Sigma-Algebra haben wir gefunden, denn

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Satz (Auf ist ein Maß.)

ist ein Maß.

Erneut geht nur und ein in den Beweis. Die Ringeigenschaft und die Adidtivität von werden immer noch nicht benötigt.

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Beweis (Auf ist ein Maß.)

:

Wir haben schon gezeigt:

In 5.) des letzten Beweises haben wir gezeigt, dass gilt

Setze für nun ein, so erhält man die andere Ungleichung

Wie groß ist nun die konstruierte Sigma-Algebra ? Zum Glück groß genug, dass es die von erzeugte Sigma-Algebra enthält!

Bis hier haben wir die Ringeigenschaft und die Additivität von nicht benötigt: es floss nur ein und für alle .

Nun gehen die Ringeigenschaften und die endliche Additivität von ein in den Beweis. Die Sigma-Additivität wird nicht benutzt.

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Satz

Ist additiv auf dem Ring , so ist die von dem Ring erzeugte Sigma-Algebra in enthalten.

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Beweis

Wir müssen zeigen, dass für alle gilt

Das Gleichheitszeichen zeigen wir in zwei Schritten: kleiner gleich und größer gleich.

Seien und beliebig. Mit der Darstellung

gilt mit der dritten Eigenschaft des äußeren Maßes

Das war kleiner gleich. Nun zeigen wir größer gleich.

Sei eine beliebige Überdeckung von mit Elementen aus

Diese Beziehung können wir schneiden mit und und erhalten Überdeckungen von und mit Elementen aus (!), da abgeschlossen ist unter Vereinigungen, Schnitten und

Da als Infimum der Überdeckungen definiert ist und mit der Additivität von erhalten wir

Da eine beliebige Überdeckung von war, folgt

Insgesamt ist die Gleichheit gezeigt für .

d.h.

Da die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt

Auf haben wir ein Maß gefunden. Wir zeigen nun, dass es immer noch auf mit unserem sigma-additiven übereinstimmt, d.h. ist die Fortsetzung auf .

Erst bei diesem Beweis geht die Sigma-Additivität von m ein.

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Satz

Ist m sigma-additiv, so ist eine Fortsetzung von auf

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Beweis

:

Zeige: :

ist eine Überdeckung von mit Elementen aus und ist das Infimum über alle solche Überdeckungen, damit gilt

Zeige: :

Für eine beliebige Überdeckung von ist

eine Überdeckung von mit Elementen aus . Es gilt mit der Sigma-Additivität und der Monotonie von

Da das Infimum über alle solchen Überdeckungen ist, gilt

Eindeutigkeit der Fortsetzung

Die Existenz einer Maßfortsetzung haben wir nun gezeigt. Nun stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit. Wenn es eine monoton steigende Folge von Mengen der Sigma-Algebra endlichen Maßes gibt, deren abzählbare Vereinigung die ganze Grundmenge ist - wir nennen diese Eigenschaft sigma-endlich -, lässt sich die Eindeutigkeit zeigen.

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Definition (sigma-endliche Maße)

Ein Maß auf heißt sigma-endlich genau dann wenn es eine monoton steigende Folge von Mengen in gibt, deren Maß endlich ist und deren abzählbare Vereinigung die ganze Grundmenge ergibt. In Formeln

Schneidet man alle zu betrachtenden Mengen mit einer festen Menge endlichen Maßes, erhält man ein neues Maß, das endlich ist.

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Satz

Ist ein Maß auf und mit endlichem Maß

so ist

eine endliches Maß auf , d.h.

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Beweis

Die Eigenschaften eines Maßes folgen direkt aus den Maß-Eigenschaften von

Jetzt können wir schon den Eindeutigkeitssatz beweisen.

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Satz (Eindeutigkeit von Maßen)

Das Erzeugendensystem sei durchschnittsstabil.

und seien zwei Maße auf , die auf dem Erzeugendensystem übereinstimmen und es gebe eine sigma-endliche Folge im Erzeugendensystem , d.h.

Dann gilt auf

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Beweis (Eindeutigkeit von Maßen)

Wie für Maße nicht anders zu erwarten, geht der Beweis über ein Dynkinsystem, da dieses an Maße optimal angepasst ist,

1.):

Zeige: Die Mengen aus , die nach Schnitt mit einem dasselbe Maß haben, d.h.

bilden ein Dynkinsystem.

Wir rechnen die Eigenschaften nach:

a) : Da die Maße auf dem Erzeugendensytem nach Voraussetzung übereinstimmen und folgt

b) Aus folgt :

Da  ein endliches Maß ist, gilt da  nach Voraussetzung in  ist 

c) Aus folgt :

Da ein Maß ist und da die nach Voraussetzung in liegen, folgt

2.):

Sei beliebig. Wegen und da die Maße auf gleich sind, gilt

Das ist aber genau die Definition für die Zugehörigkeit von zu !

Somit sind alle in , d.h.

Da ein Dynkinsystem ist, das nun das Erzeugendensytsem enthält und da das kleinste Dynkinsystem ist, das enthält, folgt

Da das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, folgt mit dem letzten Satz des vorgen Kapitels, dass

Das ergibt natürlich

Mit der Stetigkeit von unten (die nach dem letzten Kapitel gleichwertig ist zur Sigma-Additivität von ) folgt für alle

und die beiden Maße und sind gleich auf .

Mit diesem Satz folgt in einem ganz kurzen Beweis die Eindeutigkeit unseres Lebesguemaßes

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Satz

Eindeutigkeit von

Es gibt eine eindeutige Fortsetzung der sigma-additiven Volumenfunktion auf die Borelsche Sigma-Algebra . Diese nennen wir Lebesguemaß.

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Beweis

Der gerade bewiesene Satz läßt sich anwenden, da die (verallgemeinerten) Quader monoton steigend sind und ganz ausschöpfen. Ihr Maß bleibt aber jeweils endlich, in Formeln: