Die Transformationsformel – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir zeigen, dass man mit einer Funktion ein Bildmaß im Raum erzeugen kann. Sei . Dann ist es egal, ob man im Bildraum mit integriert oder verknüpft mit im Raum mit integriert: es kommt dasselbe heraus.

Dann zeigen wir, dass das Lebesguemaß verschiebungsinvariant ist und wie es sich ändert bei elementaren Zeilenumformungen. Bei Multiplikation einer Menge mit einer Matrix , tritt ein Faktor im Lebesguemaß auf. Das lässt sich punktweise verallgemeinern zum, Integral einer stetig differenzierbaren, umkehrbaren Funktion mit der Transformationsformel. Als letztes beweisen wir die Polarkoordinaten-Darstellung des Integrales. Die Transformationsformel werden wir beim Satz von Stokes benötigen für die Definition des Integrales auf Mannigfaltigkeiten.

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Satz

Gegeben seien

mit dem von erzeugten Maß

Es ist für den Wert des Integrales egal, ob man im Bildraum mit oder im Urbildraum mit integriert:

Für gilt

Weiter gilt

und in diesem Fall sind die Integrale wieder gleich.

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Beweis

Wir beweisen es erst für die Indikatorfunktion, dann für primitive Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für beliebige Funktionen. Dazu benötigen wir folgende Beziehung für Indikatorfunktionen, wobei

Beachte, dass 1_{f^{-1}( A_i)} auf W_1 lebt, 1_{ A_i} jedoch auf W_2.

1.) Die Indikatorfunktion:

Sei . WIr wenden die gerade gezeigte Beziehung für Indikatorfunktinen an und benutzen die Definition von m_f. Das ergibt

2.) Primitive Funktionen:

Sei . Wir benutzen 1.) und die Linearität der Integrale über m und m_f.

3.) nicht-negative messbare Funktionen:

Sei und mit . Da die und monoton steigend gegen und gehen, gilt nach Definition des Integrales und 2.)

4.) messbare Funktionen:

Wegen 3.) gilt

Sind beide endlich, so sind h, bzw h\circ f integrierbar

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Satz

ändert sich nicht bei Verschiebungen:

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Beweis

Für Intervalle bzw. Rechtecke bzw. (verallgemeinerte) Quader gilt.

Damit gilt GLeichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

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Satz

Für Zeilenumformungen in gilt

wobei das -fache der -ten zur -ten Zeile addiert, -te und -te Zeile vertauscht und die -te Zeile mit multipliziert.

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Beweis

sind linear, also stetig und messbar, d.h. die linke Seite ist definiert. Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

1.):

Dann gilt addiert das -fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile

Sei

Dann ist

umkehrbar mit

Damit gilt

und somit

2.):

Da

folgt

3.):

Da

gilt

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Satz

Sei B eine umkehrbare -Matrix. Dann gilt

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Beweis

Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

Es gibt einfache Zeilenumformungen und mit

Da B umkehrbar ist, gilt und somit

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Satz

Sei differenzierbar. Dann gilt

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Beweis

ist differenzierbar und für gilt

Mit dem Mittelwertsatz folgt

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Satz

Seien offen und umkehrbar mit stetig differenzierbar. Dann gilt

a) gilt

b) Für alle messbaren gilt

c) ist integrierbar ist integrierbar.

Dann gilt

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Beweis

1.):

Da gilt

Sei

Da auf [a,b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind, wähle so klein, daß

Wähle eine Zerlegung von in Quader für mit Seitenlänge . Dann gilt

Wähle für ein mit

und setze

Mit

gilt

Mit

gilt

und da invariant gegen Verschiebungen ist, ergibt sich

Mit

ergibt summieren über

Da beliebig war, gilt

Da Erzeugendensystem von ist, gilt

da die rechte Seite ein Maß ist.

2.):

Für alle messbar gilt}

Begründung: Sei und . Dann gilt

Für primitive Funktionen gilt

und für

3.):

Für alle gilt}

Begründung: Mit und statt und gilt

d.h.

Für und gilt es, also auch für . Wegen

gilt

Damit können wir die Formel für die Polarkoordinaten beweisen, die in der Physik schon in dem ersten Semester verwendet wird.

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Satz

Sei und

Für mit gilt

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Beweis

Sei

Die Abbildung

ist stetig differenzierbar und umkehrbar und

ist stetig differenzierbar.

Entwicklung der Determinante liefert

Das ist dieselbe Form wie in der ersten Zeile. Induktion ergibt also

Da eine Nullmenge ist, gilt

und somit