Konstruktion von Maßen und des Maßintegrals – Mathe für Nicht-Freaks

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Motivation der Maßtheorie[Bearbeiten]

Nach dem Banach Tarski Paradoxon, kann man eine Kugel so geschickt in Teilmengen zerlegen, dass man diese Teilmengen verschieben kann und daraus zwei neue Kugeln desselben Volumens erhält. Dieses Paradoxon steht im Konflikt mit unserer Vorstellung eines Volumens. Wenn man einen Körper im Raum aufteilt, die Einzelteile verschiebt und rotiert und wieder zusammensetzt, so bleibt die Summe der einzelnen Volumina gleich -> Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon ist diese Vorstellung nicht haltbar.

Ein Quader im
  • Was machen wir? Die Lösung ist, dass wir nicht mehr probieren, allen Teilmengen des ein Volumen zuzuordnen. Wir unterteilen die Mengen des in zwei Kategorien: die "guten" und die "schlechten" Mengen. Die "guten" Mengen sind ausreichend schön, dass man ihnen ein Volumen zuordnen kann und wir nennen sie deswegen "messbar", bei den "schlechten" Mengen ist dies unmöglich und sie heißen "nicht messbar". Solange man nur mit den "guten" Mengen arbeitet, funktioniert unsere Vorstellung von Volumina. Sobald man "schlechte" Mengen erzeugt, können Paradoxien wie beim Banach-Tarski-Paradoxon auftreten.
  • Welchen Mengen können wir sofort anschaulich ein Volumen im zuordnen? Bestimmt den Quadern: deren Volumen soll das Produkt Ihrer Seitenlängen sein.
  • Das Volumen einer beliebigen Menge nähern wir nun "von außen", indem wir die Menge mit abzählbar vielen Quadern überdecken und das Volumen der dafür benötigten Quader addieren. Je feiner wir dabei die überdeckenden Quader wählen und je weniger sich die überdeckenden Mengen überschneiden, umso besser wird die Näherung sei, wie man an folgenden Überdeckungen eines Fünfecks sieht.

Wir definieren als "äußeres Maß", d.h. als von außen genähertes Volumen, den kleinsten Wert solcher Näherungen durch Überdeckungen. Wir wählen dabei nur abzählbar viele Quadermengen zur Überdeckung, weil die Summe nur für abzählbar viele Elemente definiert ist.

  • Die zu erzeugende Volumenfunktion sollte nun positiv sein (negative Volumina machen keinen Sinn). Wenn man eine "gute" Menge in "gute" Mengen zerlegt, sollte das Gesamtvolumen das Volumen der Einzelteile sein, d.h. die Volumenfunktion sollte abzählbar additiv werden und für disjunkte (= sich nicht überschneidende) Mengen sollte somit gelten
durch Überlappung verringert sich das Volumen
  • Auf den Quadern haben wir eine klare Vorstellung vom Volumen. Es stellt sich heraus, dass wir allen "guten" Mengen ein eindeutiges "gutes" Volumen zuordnen können, die wir aus den Quadern konstruieren können durch Komplementbildung oder abzählbare Vereinigung. Das ist der Begriff der Sigma-Algebra.
  • Auf dieser von den Quadern erzeugten Sigma-Algebra existiert nun eine eindeutige Fortsetzung des Volumenbegriffes! Dieser Satz wird uns einige Mühe machen, aber es lohnt sich.

Konstruktionsweg der Maße[Bearbeiten]

Wie schon beschrieben, können wir ein Volumen für Quader im Raum definieren als Produkt der Seitenlängen. Das Volumen endlich vieler disjunkter (sich nicht überschneidender) Quader, soll die Summe der Volumina der einzelnen Quader sein

Wenn sich die Quader überschneiden, ist die Gesamtfläche/das Gesamtvolumen anschaulich kleiner als die Summe der Flächen der Quader. Daher fordern wir oben die Disjunktheit der Quader. Mehr noch, das Volumen soll sogar abzählbar additiv werden: wird eine Menge aus abzählbar vielen "guten" Mengen disjunkt zusammengésetzt, so soll ihr Volumen Summe der Volumina der Einzelteile sein, in mathematischer Schreibweise:

Deshalb bietet sich eine Summen-Schreibweise für disjunkte Mengen an:

Wie können wir nun zu allgemeinen Mengen übergehen? Wir nähern dazu von außen: Wir betrachten für eine beliebige (!) Menge die Überdeckungen mit abzählbar vielen Quadern, in mathematischer Schreibweise ist das

Diese Überdeckungen gibt es bestimmt im : wähle z.B. die Quader für . Jeder beliebige Punkt hat feste Koordinaten . Für liegt der Punkt in . Da der Punkt beliebig gewählt war, gilt die Behauptung.

Nun betrachten wir die Überdeckung(en) mit der kleinsten Summe der Volumina der Quader. Da wir nicht wissen, ob das Minimum angenommen wird, verwenden wir in der Definition das Infimum (die größte untere Schanke), das imer existiert

Wir zeigen nun, dass wir mit eine Funktion auf allen (auch den "schlechten") Teilmengen gefunden haben, die wir äußeres Maß nennen, die folgendes erfüllt: Sie ist nicht-negativ, da das Infimum über nicht-negative Zahlen genommen wird und das äußere Maß der leeren Menge ist 0.

Größeren Mengen wird auch ein größeres äußeres Maß zugeordnet.

Das äußere Maß einer abzählbaren Vereinigung beliebiger Mengen ist kleiner gleich der Summe der einzelnen äußeren Maße.

Das ist noch nicht ganz das, was wir wollen. Das muss noch (auf den guten Mengen) abzählbar additiv werden, d.h. es soll gelten

Dazu definieren wir uns ein Teilmengensystem, das ALLE anderen Teilmengen bzgl. additiv aufteilt, das werden die "guten" Mengen sein. Wenn man eine Menge in zwei disjunkte Teile zerlegt, sollte das Volumen die Summe der Volumnia der beiden Einzelteile sein, das motiviert folgende Definition eines Mengensystems:

Wir zeigen, dass unsere disjunkten Vereinigungen von Quadern das erfüllen und dass folgende weitere aus Quadern konstruierte Mengen auch in sind: Die Komplemente und die abzählbaren Vereinigungen.

Mengensysteme mit dieser Eigenschaft nennen wir Sigma-Algebra. Der letzte erlösende Schritt zeigt: ist auf den Mengen von ein Maß, d.h. es gilt tatsächlich

Die Eindeutigkeit lässt sich beweisen für Maße, für die eine Folge von Mengen existiert, die W von innen heraus ausschöpfen und für die gilt

Die Mengen in werden nun bzgl. m messbare Mengen genannt.

Der Raum heißt messbarer Raum.

Messbare Abbildungen[Bearbeiten]

Wir nennen eine Abbildung messbar, wenn sie zwischen den vermittelt:

und schreiben dann

Gibt es nun genügend interessante messbare Abbildungen? Ja. Stetige Abbildungen sind messbar, die Identität:, die konstanten Abbildungen und z.B. für die Indikatorfunktionen

sind alle messbar.

Indikatorfunktion.svg

Im Bild die Indikatorfunktion zu

Wie bei den stetigen Funktionen in der Analysis I sind auch die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient messbarer Funktionen soweit definiert messbar, zudem das Supremum, das Infimum, der Limes superior, der Limes inferior und - wenn existent - der Limes einer Folge messbarer Funktionen.

Am meisten interessiert uns, was wir aus der Indikatorfunktion machen können.

Wir betrachten die Menge der primitiven Funktionen, d.h. der nichtnegativen (!) Linearkombinationen von Indikatorfunktionen

Wir beweisen dann den entscheidenden Satz, dass sich jede nicht-negative messbare Funktion als (monoton steigende) Folge von primitiven Funktionen darstellen lässt. Das hilft uns entscheidend für den

Konstruktionsweg des Integrals[Bearbeiten]

Wir gelangen naheliegend zum Integralbegriff: Wir schreiben im Folgenden m für die eindeutige Fortsetzung .

Das Integral der Indikatorfunktion definieren wir als einzig plausiblen Wert als

Das Integral der Treppenfunktionen definieren wir plausibel als nicht-negative Linearkombination

Die nächste entscheidende Definition ist die des Integrals einer positiven messbaren Funktion . Wir hatten gesehen, dass eine Folge von Treppenfunktionen existiert, die monoton steigend gegen geht. Jetzt definieren wir das Integral von als Grenzwert von Integralen der

und zeigen, dass diese Definition unabhängig von der gewählten Folge der ist. Damit ist die Definition eindeutig.

Dieses Integral ist additiv, positive Faktoren kann man herausziehen und es ist monoton, d.h. es gilt

Wir erhalten den ersten entscheidenden Satz für die Anwendung, die Vertauschung von Integral und Grenzwert unter sehr allgemeinen Bedingungen:

Satz von der monotonen Konvergenz: Es gilt für eine monoton steigende Folge nicht-negativer messbarer Funktionen

Wir definieren dann integrierbare Funktion als jene messbaren Funktionen, bei denen das Integral des positiven Teiles von f und des negativen Teiles von f jeweils endlich sind. Das Integral wird dann naheliegend definiert als Differenz beider Teile

Wir zeigen dann, dass es linear und monoton ist

und gelangen zum wichtigen

Satz von der majorisierten Konvergenz: Bei einer Folge messbarer Funktionen , die punktweise einen Grenzwert hat und für die alle nach oben und unten beschränkt sind durch ein integrierbares (Majorante), lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen

Diese beiden Vertauschungssätze für Grenzwert und Integral benötigen wir in der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie, in der Statistik, in der Funktionalanalysis und in den partiellen Differentialgleichungen