Lineare Abbildung: Bild – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Motivation[Bearbeiten]

Der Begriff des Bildes einer Abbildung ist uns bereits bekannt. Kennt man das Bild einer Abbildung, so kann man entscheiden, ob diese surjektiv ist. Bisher haben wir Bilder von beliebigen Abbildungen betrachtet. Im Folgenden untersuchen wir das Bild von linearen Abbildungen genauer. Wir führen eine exakte Schreibweise für das Bild ein:

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir das Bild von .

Das Bild ist ein Untervektorraum[Bearbeiten]

Nun zeigen wir, dass das Bild ein Untervektorraum des Zielvektorraums ist:

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:

Da L eine lineare Abbildung ist, gilt . Somit ist folglich ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Hierzu seien gegeben. Dann gibt es Vektoren und aus mit und . Um zu zeigen, dass gilt, müssen wir einen Vektor aus finden, der von auf abgebildet wird. Es gilt:

Wegen und ist im Bild von .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt .

Sei und . Dann gibt es einen Vektor mit . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in gibt, der auf abgebildet wird. Es gilt:

Weil ist, gilt .

Der Zusammenhang zwischen der Surjektivität und dem Bild einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Die Hauptaussage dieses Abschnitts kennen wir bereits. Sie ist bei beliebigen Abbildungen gültig. Der folgende Satz dient also zur Erinnerung.

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist genau dann surjektiv, wenn . Für einen endlich-dimensionalen Zielvektorraum ist genau dann surjektiv, wenn gilt.

Beweis

Beweisschritt: :

Sei surjektiv. Dann gibt es für alle Vektoren ein mit . Somit ist .

Beweisschritt: :

Sei . Dann gibt es nach Definiton von zu jedem einen Vektor mit . Also ist surjektiv.

Für jeden Untervektorraum ist genau dann, wenn ist. Damit ist, wenn surjektiv ist und umgekehrt.

Beispiele zum Bestimmen des Bildes[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Diesen Abschnitt löschen und durch einen neuen ersetzen

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Hier werden Dinge verwendet, die noch nicht unbedingt bekannt sind (Rang, implizit die Dimensionsformel). Diese können evtl. umgangen werden, indem man alle Spalten der darstellenden Matrix nimmt (diese bilden nach einer Folgerung aus dem Prinzip von der linearen Fortsetzung ein Erzeugendensystem des Bildes). Dann kann man noch ausrechnen, welche man evtl. wegen linearer Abhängigkeit weglassen kann (das tut wieder der Gauß-Jordan-Algorithmus). Es sollte unbedingt erklärt werden, warum diese "Lösungsmethode" funktioniert.

Lösungsmethode[Bearbeiten]

Wenn wir nun das Bild einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien und endlich-dimensionale Vektorräume und eine lineare Abbildung. Wir möchten nun das Bild von bestimmen:

  1. Die darstellende Matrix von aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
  2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
  3. bestimmen, das ist die Anzahl der benötigten Vektoren
  4. So viele linear unabhängige Vektoren aus der darstellenden Matrix finden wie nötig. Das ist dann die Basis für

Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Jetzt wollen wir an Beispielen zeigen, wie man das Bild einer linearen Abbildung konkret bestimmen kann.

Wir beginnen mit einem einfachem Beispiel

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung, mit . Das ist eine Projektion der Vektoren auf die . Anschaulich betrachtet wäre also die und damit .

Wir bestimmen das Bild aber trotzdem nochmal rechnerisch: Zuerst stellen wir die darstellende Matrix von bezüglich der Standardbasis auf. Diese lautet

.

Wir sehen, dass und damit hat die Basis von nur ein Element. Also können wir einen Vektor aus der Matrix entnehmen und dann ist bzw. .

Ein weiteres Beispiel:

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung mit der darstellenden Matrix

.

Die Matrix bringen wir nun mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in obere Dreiecksform. Wir ziehen das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile ab, dann erhalten wir

.

Jetzt subtrahieren wir das 1,5-fache der 1. Zeile vom 2-fachem der 2. Zeile. Dadurch entsteht die Matrix

.

Hier sehen wir schon, dass die 2. und 3. Zeile gleich sind. Wir ziehen die 2. von der 3. Zeile ab und bekommen

.

Wir sehen, dass der Zeilenrang dieser Matrix 2 ist. Damit ist auch . Also besteht die Basis des Bildes aus zwei Vektoren.

Für diese Basis wählen wir nun zwei linear unabhängige Spaltenvektoren unserer Ausgangsmatrix . Zum Beispiel und .

Also ist .

Nun ein etwas komplizierteres Beispiel.

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung, mit .

Zuerst stellen wir wieder die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis auf. Es gilt und sowie .

Also sieht unsere Matrix folgendermaßen aus:

.

Nun wenden wir wieder den Gauß-Jordan-Algorithmus an, um die Matrix in eine Dreiecksform zu bringen. Erst ziehen wir von der 3. Zeile die 1. und 2. Zeile ab, dann erhalten wir

.

Dann subtrahieren wir das 2-fache der 1. Zeile von der 2. Zeile. So entsteht die Matrix

.

Nun addieren wir die 2. Zeile zur 4. Zeile.

.

Jetzt ziehen wir das 0,5-fache der 2. Zeile und das 2-fache der 4. Zeile von der 3. Zeile ab. Dann erhalten wir

.

Zum Schluss tauschen wir noch die 3. und 4. Zeile. Das ergibt

.

Den Rang dieser Matrix kann man leicht ablesen: . Also brauchen wir drei Vektoren für die Basis von . Dafür nehmen wir die drei Spaltenvektoren von , da wir nun wissen, dass diese linear unabhängig sind, weil auch der Rang von drei beträgt und damit maximal ist).

Somit ist .

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Nachdem wir nun einige Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.

Beispiel

Unser Ziel ist, das Bild der linearen Abbildung der Ableitung von Polynomen über zu bestimmen. Die Menge ist eine Basis von . Die Ableitungsfunktion ist durch für alle definiert.

Wir behaupten, dass diese Abbildung surjektiv ist. Da das Bild ein Untervektorraum von ist, reicht es zu zeigen, dass die Basisvektoren von im Bild enthalten sind. Für alle ist . Außerdem ist . Somit sind alle Basisvektoren im Bild enthalten und folglich ist .