Messbare Abbildungen – Mathe für Nicht-Freaks

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Das Schwerste ist geschafft. Jetzt müssen sich die Abbildungen mit den Sigma-Algebren vertragen: dann nennen wir sie messbar. Wir benötigen als Erstes die Eigenschaft der Abbildung mit verschiedenen Mengenrelationen zu vertauschen. Damit zeigen wir, dass es genügt, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen.

Wie bei den stetigen Funktionen in der Analysis I bauen wir dann aus einfachen messbaren Funktionen weitere messbare Funktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Supremum, Infimum, Limes superior, Limes inferior, Limes (wenn existent). Es stehen damit genügend messbare Funktionen zur Verfügung, um Anwendungen zu beschreiben.

Die Abbildung [Bearbeiten]

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Definition (Die Abbildung )

Sei gegeben. Die Abbildung

ordnet jeder Menge aus dem Zielraum von jene zu, die von auf abgebildet werden.

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Beispiel

Sei und werde auf abgebildet, so gilt

Werden von zwei verschiedene von auf dasselbe abgebildet, das dritte aber auf so gilt

Die , die nicht von getroffen werden, sind unerheblich. Nimmt man hinzu, so ändert sich nichts

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Satz (Eigenschaften der Abbildung )

Ein wird von nach abgebildet genau dann wenn es in liegt

Die Abbildung vertauscht mit der Komplementbildung, beliebigen (disjunkten) Vereinigungen, beliebigem Schnitt und der Enthaltenrelation. In Formeln

und es gilt

Anschauung: 1.) Irgendwohin muss abbilden; wenn es in abbildet, also in nicht in , dann kann es nicht von gekommen sein. Da bleibt nur das Komplement .

2.) Betrachtet man die in und wählt ein in der Vereinigung , so muss das in mindestens einem der legen. Schaue ich also mit zurück, welche auf abgebildet wurden, so sind diese in . Wenn ich alle solchen erfassen will, muss ich alle der Vereinigung abdecken und rechts die Vereinigung der wählen.

3.) Wählt man ein im Schnitt der , so ist Element von allen . Die von auf abgebildeten sind also in allen enthalten, somit im Schnitt.

4.) Wie 2.), nur dass in genau einem liegt und damit die , die von auf abgebildet wurden, auch in GENAU einem liegen.

5.) Wenn in liegt, schaut welche auf abgebildet werden. Diese werden aber insbesondere auch in abgebildet, sind also in

6.) bildet von nach ab. Jedes landet also in . Schaut man zurück mit von , so erhält man alle in .

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Beweis (Eigenschaften der Abbildung )

Da nach Definition

folgt

Verneinung ergibt

1.:

Da wir als disjunkte Vereinigung von und schreiben können, gilt

Mit der obigen Aussage

folgt, da wir als disjunke Vereinigung von und schreiben können

2.):

Wir benutzen obige Aussage

und dass in der Vereinigung liegt genau dann wenn es in mindestens einem Element der Vereinigung liegt

3.):

Wir benutzen obige Aussage

und dass im Schnitt liegt genau dann wenn es in jedem Element des Schnittes liegt

4.):

Der Beweis läuft ganz analog zu 2.), nur dass in genau einem und nicht in mindestens einem Element der Vereinigung liegen

5.):

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten direkt

6.):

Da eine Abbildung von nach ist, wird jedes in abgebildet, in Formeln

Wir benutzen obige Aussage

und erhalten

Da die Elemente, die nach abgebildet wurden, nur aus stammen könnnen, folgt

Messbarkeit[Bearbeiten]

Seien im Folgenden Mengen und Sigma-Algebren mit

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Definition (Messbarkeit)

heißt messbar genau dann wenn

Schreibweise: .

Ist messbar, schreibt man auch

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Satz (Überprüfen der Messbarkeit)

  • erzeugt eine Sigma-Algebra auf

ist eine Sigma-Algebra.

  • Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen: Wird von erzeugt, d.h. , so gilt

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Beweis (Überprüfen der Messbarkeit)

1.:

a) Wir haben als Eigenschaft von gezeigt, dass gilt

Da folgt mit der Definition von , dass enthält.

b) Sei , d.h.

Da auch Komplemente enthält und da mit dem Komplement vertauscht, folgt

d.h. .

c): Seien , d.h.

Da wieder Vereinigungen enthält und da mit den Vereinigungen vertauscht, folgt

d.h.

2.:

"": Sei im Erzeugendensystem . Damit liegt es in der erzeugten Sigma-Algebra . Mit der Voraussetzung

gilt

"": Nach Voraussetzung gilt

und somit sind alle in

Da eine Sigma-Algebra ist, die nun enthält, und die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt

Das bedeutet aber

Bisher haben wir noch keine messbaren Funktionen kennengelernt. Die stetigen Funktionen sind alle messbar.

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Satz (Stetige Abbildungen sind messbar)

Jede stetige Funktion ist -messbar.

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Beweis (Stetige Abbildungen sind messbar)

:

Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für sind

genügt es mit dem letzten Satz zu zeigen:

Ist offen, so ist auch offen.

Das ist gleichwertig zur Definition der Stetigkeit.

Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert annehmen, um Grenzwerte von Funktionenfolgen betrachten zu können. Dafür müssen wir Rechenregeln für vereinbaren.

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Definition (Rechenregeln mit )

Die Null ist bei der Multiplikation stärker als Unendlich

Durch Null zu dividieren, ist dagegen nicht definiert: existiert nicht (es könnte je nach Annäherung an Null plus oder minus Unendlich sein.)

Unendlich kann man addieren und minus Unendlich kann man addieren

Nicht definiert ist dagegen (was sollte der Wert sein?)

Plus und minus Unendlich kann man multiplizieren

Nicht definiert sind

Bisher haben wir nicht als Funktionswerte verwendet, daher erweitern wir einfach zu

Unsere Borelsche Sigma-Algebra kann auch noch mit den Werten nicht umgehen. Wir erweitern sie also zu gemäß

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Satz

Sei

Dann ist

eine Sigma-Algebra.

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Beweis

:

a)

Da in liegt, folgt

b)

Sei . Das Komplement in (!) ist einfach

Da in der Sigma-Algebra liegt, ist auch . Es folgt

d.h. :

c)

Seien . Da eine Sigma-Algebra ist, ist die Vereinigung der in

Die Vereinigung der ist automatisch in

Es folgt

Wir wollen die Messbarkeit bequem über Erzeugendensysteme zeigen. Nun benötigen wir ein gut handhabbares Erzeugendensystem für .

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Satz

wird von

erzeugt, wobei

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Beweis

:

Wir zeigen beide Inklusionen:

"": Es gilt

Da eine Sigma-Algebra ist, die somit enthält, und da die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt

"\supset" Wegen

ist das Erzeugendensystem von in . Da eine Sigma-Algebra ist, ist auch

Da wir als abzählbare Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems schreiben können

gilt

Insgesamt folgt

Mit diesem Satz zeigen wir, dass es für die Messbarkeit genügt, die Mengen zu betrachten,

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Satz

ist -messbar genau dann wenn

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Beweis

Wir haben gezeigt, dasss es genügt, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen. Wegen

und da von erzeugt wird, folgt die Behauptung.


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Satz

  1. Es gilt für

    Damit war die Wahl von zum Überprüfen der Messbarkeit von künstlich. Mit einem anderen Erzeugendensystem hätte man auch die anderen Mgölichkeiten nehmen können.

  2. Wir benötigen die Aussagen, wann der Vergleich von und wieder in ist. Für gilt

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Beweis

1.):

Wir führen den Beweis durch Ringschluss, d.h. wir zeigen

a) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist

b) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist

c) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist

d) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist

Damit ist der Ringschluss gezeigt.

2.):

a) Wegen und da die rationalen Zahlen dicht liegen in , existiert ein das dazwischen liegt und umgekehrt

Rechts stehen zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, das ist gleichwertig zu

Die Menge der , für die das erfüllt ist, ist also

Rechts steht genau die Bedingung für die abzählbare Vereinigung über , d.h.

Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte wieder in sind, folgt

b) Ganz analog mit vertauschten Rollen von und zeigt man

c) Wir haben schon in b) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

d) Wir haben schon in a) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

e) Wir haben in c) und d) gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist unter Schnitten folgt

f) Wir haben gerade gezeigt, dass . Da abgeschlossen ist unter Komplementen folgt

Konstruktion neuer messbarer Funktionen[Bearbeiten]

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare FUnktionenn.

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Satz

  • Die konstante Funktion

    ist messbar.

  • Die Identität

    ist -messbar.

  • Seien messbar. Dann sind , und messbar, wenn sie definiert sind.

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Beweis

1.):

Wir schauen mit zurück nach für das Erzeugendenssystem von :

Ist in , so werden alle auf abgebildet.

Ist nicht in , so wird kein auf abgebildet, d.h. man landet mit jeweils wieder in .

Damit ist messbar für beliebige , da in jeder Sigma-Algebra über enthalten sind.

2.):

Erneut betrachten wir, ob angewendet auf das Erzeugendensystem in liegt. Das ist der Fall

und damit ist messbar.

3.):

-g ist messbar: Sei messbar. Dann gilt insbesondere für alle

Damit ist auch die abzählbare Vereinigung in

Somit folgt für alle

und ist messbar.

g+c ist messbar: Sei eine beliebige Konstante. Da für alle gilt

ist messbar.

f+- g ist messbar: ist definiert genau dann wenn nicht auftritt, d.h. für kein erscheint , in Formeln

Es gilt

Wir haben im Satz drüber gezeigt, dass für messbare und folgt

Somit ist messbar, wenn es definiert ist.

Ganz analog für .

f² ist messbar Sei messbar. Dann gilt

und somit

f*g ist messbar ist immer definiert. Es gilt die Gleichung

Die rechte Seite ist mit den oben gezeigten Bedingungen messbar.

Da die Menge der mit durch folgende Schreibweise wieder in ist

gilt

Nun müssen wir noch die Menge der betrachten, für die oder plus oder minus Unendlich werden. Dann wird das Produkt plus oder minus Unendlich oder Null und es folgt für alle

Für

Das ergibt

und ist messbar.

1/g ist messbar: ist definiert genau dann wenn .

Ist messbar und definiert, so folgt wie oben für alle

Der Fall tritt für kein auf und ist messbar.

Folgende Grenzwerte von Funktionenfolgen sind ebenfalls messbar.

Da das Supremum und das Infimum werden kann, mussten wir in rechnen.

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Satz

Sind messbar, so sind

messbar und

ist messbar, wenn es definiert ist.

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Beweis

sind messbar Nach Definition des Supremums und des Infimums gilt für alle

und und sind messbar. Damit sind

als Verknüpfung von Supremum und Infimum messbar.

ist messbar Wegen der Darstellung des Betrages als

ist mit den gezeigten Formeln auch der Betrag messbar. (Wir setzen alle gezeigten Beziehungen so langsam zusammen).

ist messbar Gilt

so ist definiert und messbar, da