Messbare Abbildungen – Mathe für Nicht-Freaks

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Das Schwerste ist geschafft. Jetzt müssen sich die Abbildungen mit den Sigma-Algebren vertragen: dann nennen wir sie messbar. Wir benötigen als Erstes einige Eigenschaften der Umkehrabbilding.

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Satz (Die Abbildung )

Sei gegeben. Die Abbildung

ist verträglich mit der Komplementbildung, beliebigen (disjunkten) Vereinigungen, beliebigem Schnitt und es gilt , da von nach abbildet.

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Beweis (Die Abbildung )

1.:

2.):

3.):

4.):

5.):

6.):

Seien im Folgenden Mengen und Sigma-Algebren mit

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Definition (Messbarkeit)

heißt messbar genau dann wenn

Schreibweise: $X^{-1}(T)\subset S$. \\ Ist messbar, schreibt man auch

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Satz (Überprüfen der Messbarkeit)

Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen, da man auf eine Sigma-Algebra erzeugen kann.

  • erzeugt eine Sigma-Algebra auf

ist eine Sigma-Algebra.

  • Wird von erzeugt, d.h. , so gilt

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Beweis (Überprüfen der Messbarkeit)

1.:

Es gilt , da

Aus folgt : Mit dem gerade gezeigten Satz gilt

Aus folgt : Mit dem gerade gezeigten Satz gilt

2.:

"": Wegen $ und

gilt

"": Nach Voraussetzung gilt . Damit folgt , d.h.


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Satz (Stetige Abbildungen sind messbar)

Jede stetige Funktion ist -messbar.

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Beweis (Stetige Abbildungen sind messbar)

:

Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für sind

genügt es zu zeigen:

Ist offen, so ist auch offen.

Das ist gleichwertig zur Stetigkeit.

Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert annehmen, um Grenzwerte betrachten zu können.

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Definition (Rechenregeln mit )

Definiere

Nicht definiert sind


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Satz

Sei

Dann ist

eine Sigma-Algebra.

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Beweis

:

Aus folgt :

Aus folgt

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Satz

wird von erzeugt, wobei

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Beweis

:

Da gilt

Wegen

gilt . Da

gilt

Mit diesem Satz zeigen wir

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Satz

ist -messbar genau dann wenn

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Beweis

Wegen

und da von erzeugt wird.

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Satz

Sei

Dann ist

eine Sigma-Algebra.

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Beweis

:

Aus folgt :

Aus folgt

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Satz

  1. Es gilt für

  1. Für gilt

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Beweis

1.):

2.):

Da dicht in gilt

Damit folgt

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare FUnktionenn.


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Satz

  1. Die konstante Funktion

ist messbar.

  1. Die Identität

ist -messbar.

  1. Seien messbar. Dann sind , und messbar, wenn sie definiert sind.
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Beweis

1.):

2.):

3.):

ist messbar, da

ist messbar, da

ist definiert genau dann wenn \iff \infty-\infty</math> tritt nicht auf, d.h.

Wegen

und da und messbar sind, gilt

Somit ist messbar, wenn es definiert ist.

ist messbar, da

ist immer definiert. Wegen

gilt

und

Das ergibt

e) ist definiert genau dann wenn Ist messbar und definiert, so ist messbar, da

Wir benötigen zwei Rechenregeln für Supremum und Infimum.


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Satz

Sind messbar, so sind

messbar und

ist messbar, wenn es definiert ist.

Da das Supremum und das Infimum werden kann, mussten wir in rechnen. \end{Satz}

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Beweis

Wegen

sind und messbar. Damit sind

messbar. Gilt

so ist definiert und messbar, da