Mittelwertsatz für Integrale – Mathe für Nicht-Freaks

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Der Mittelwertsatz für Integrale trifft eine Aussage darüber, dass stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall ihren durchschnittlichen Wert annehmen. Wir brauchen diesen Satz unter anderem zum Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Motivation[Bearbeiten]

Integral als Flächeninhalt[Bearbeiten]

Wir betrachten eine stetige Funktion . Wir haben bereits gesehen, dass das Integral den (orientierten) Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion angibt:

Integral als Fläche unterhalb des Funktionsgraphen

Diesen Flächeninhalt können wir durch ein Rechteck der Breite annähern, dessen Höhe durch einen gewissen Funktionswert gegeben ist, der im Intervall angenommen wird (also ):

Annäherung des Integrals durch ein Rechteck

Bei der Definition des Riemannintegrals hatten wir für den minimalen bzw. maximalen Funktionswert hergenommen.

Animation zum Mittelwertsatz für Integrale

Der Mittelwertsatz für Integrale besagt nun, dass wir unser so geschickt wählen können, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks der Höhe exakt mit dem Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen (also dem Integral) übereinstimmt. Es gibt also eine Zahl mit der Eigenschaft

Integral als Durchschnittswert[Bearbeiten]

Wir können uns das Integral auch als eine Art Durchschnittswert der Funktion auf dem Intervall vorstellen. Dazu müssen wir den Wert des Integrals allerdings noch durch die Länge unseres Intervalls teilen. Der durchschnittliche Funktionswert beträgt also

Dies kannst du dir analog zur Berechnung des gewöhnlichen Durchschnittswerts

von endlich vielen Zahlen vorstellen. Die Summe der Zahlen (diese entspricht dem Integral) wird durch die Anzahl der Zahlen (diese entspricht der Länge des Intervalls) geteilt.

Der Mittelwertsatz für Integrale besagt nun, dass eine Funktion, die im Durchschnitt den Wert annimmt, den Wert auch tatsächlich an einer konkreten Stelle annimmt. Es gibt also eine Zahl mit .

Dies ist anders als bei dem Durchschnittswert von endlich vielen Zahlen. Zum Beispiel beträgt der Durchschnitt der Zahlen genau , doch die Zahl kommt unter unseren drei Zahlen gar nicht vor. Erst der Übergang zu einem kontinuierlichen Datensatz, wo der Durchschnittswert über ein Integral ausgerechnet wird, macht es möglich, dass der durchschnittliche Wert einer Funktion auch als Funktionswert vorkommt. Entscheidend ist dabei jedoch, dass die Funktion stetig ist, wie das folgende Gegenbeispiel einer unstetigen Funktion zeigt.

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Die Funktion sei für alle gegeben durch

Diese Funktion ist bei unstetig. Dennoch ist die Funktion riemannintegrierbar, weil sie aus zwei konstanten Funktionen zusammengesetzt ist. Es gilt

Der durchschnittliche Funktionswert beträgt also

Dies macht auch Sinn, wenn du dir den Funktionsgraphen anschaust. Allerdings wird der Wert von offenbar nicht angenommen, da und die einzigen Funktionswerte sind.

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To-Do:

Bild

Der Mittelwertsatz[Bearbeiten]

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Satz (Mittelwertsatz für Integrale)

Sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein mit

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Wie kommt man auf den Beweis? (Mittelwertsatz für Integrale)

Wenn wir die Formel, die für das gesuchte gelten soll, nach umstellen, so erhalten wir

Die rechte Seite entspricht genau dem durchschnittlichen Funktionswert der Funktion , der dir bereits aus dem vorherigen Abschnitt bekannt vorkommen sollte. Wir sollen jetzt zeigen, dass es ein mit gibt. Die Idee ist, dafür den Zwischenwertsatz anzuwenden. Wenn wir zeigen können, dass zwischen dem Minimum und dem Maximum von liegt, so muss aufgrund der Stetigkeit von selbst als Funktionswert auftauchen:

Illustration zum Beweis des Mittelwertsatzes

Wie du siehst, kann es natürlich auch mehrere Möglichkeiten für geben. Um nun zu beweisen, schätzen wir das Integral nach unten durch das konstante Integral und nach oben durch das konstante Integral ab:

Division durch liefert dann die gewünschte Ungleichung

Wenn wir schließlich den formalen Beweis aufschreiben wollen, müssen wir unsere Argumente noch in eine logisch korrekte Reihenfolge bringen (also im Wesentlichen umgekehrt aufschreiben). Außerdem müssen wir beachten, dass auch sein könnte und wir dann nicht durch teilen dürfen. Im Fall ist die Aussage jedoch trivial.

Applications-office.svg

Beweis (Mittelwertsatz für Integrale)

Falls gilt, wählen wir (gezwungenermaßen) und es gilt

Im Folgenden sei nun . Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt die stetige Funktion auf dem kompakten Intervall ihr Minimum und ihr Maximum an. Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt

Wir erhalten also

Somit gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit

Daher gilt

Verallgemeinerter Mittelwertsatz[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Es gibt auch eine verallgemeinerte Variante des Mittelwertsatzes für Integrale. Dabei wird zusätzlich zu unserer Funktion noch eine Gewichtungsfunktion eingeführt, die beschreibt, wie stark die einzelnen Funktionswerte bei der Berechnung des Durchschnittswerts ins Gewicht fallen sollen.

Ein solches gewichtetes Mittel ist dir vielleicht bereits vom Durchschnitt endlich vieler Zahlen bekannt. Wollen wir etwa den Durchschnitt der Zahlen ermitteln und dabei die und die jeweils doppelt so stark wie die zählen lassen, so berechnen wir

Wir multiplizieren also jede Zahl mit ihrer Gewichtung und teilen die Summe davon anschließend durch die Summe der Gewichte.

Dies übertragen wir nun auf den gewichteten Durchschnittswert von Funktionen und erhalten

als den Mittelwert von bezüglich der Gewichtungsfunktion .

Der verallgemeinerte Mittelwertsatz für Integrale besagt nun, dass auch dieser gewichtete Mittelwert als Funktionswert vorkommt. Es gibt also ein mit

beziehungsweise

Im Folgenden werden wir die letztere Schreibweise verwenden, da diese auch im Fall gültig bleibt.

Die Aussage des Satzes stimmt allgemein jedoch nur, wenn die Gewichtungsfunktion niemals negativ wird, also für alle gilt. Anschaulich macht es auch wenig Sinn, gewisse Funktionswerte negativ ins Gewicht fallen zu lassen.

Die Gewichtungsfunktion muss im Gegensatz zu nicht unbedingt stetig sein. Es ist nur wichtig, dass riemannintegrierbar ist, damit die Integrale und überhaupt existieren.

Satz und Beweis[Bearbeiten]

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Satz (Verallgemeinerter Mittelwertsatz für Integrale)

Sei eine stetige Funktion. Ferner sei riemannintegrierbar mit für alle . Dann gibt es ein mit

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Beweis (Verallgemeinerter Mittelwertsatz für Integrale)

Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt die stetige Funktion auf dem kompakten Intervall ihr Minimum und ihr Maximum an. Für alle gilt wegen also . Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt somit

Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt außerdem . Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Dann haben wir und , also . Folglich können wir beliebig wählen und erhalten

Fall 2:

In diesem Fall dürfen wir durch teilen und erhalten

Somit gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit

Daher gilt

Ursprünglicher Mittelwertsatz als Spezialfall[Bearbeiten]

Wenn wir im verallgemeinerten Mittelwertsatz die konstante Gewichtungsfunktion () wählen, so bekommen wir den ursprünglichen Mittelwertsatz zurück, denn dann ist

sowie

Notwendigkeit von [Bearbeiten]

Die Bedingung kann nicht weggelassen werden, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Seien jeweils die Identitätsfunktion, also für alle . Wir erhalten

und

Egal, welches wir wählen, es gilt also immer

Man kann die Bedingung jedoch ersetzen durch die Bedingung . Es lässt sich beweisen, dass der verallgemeinerte Mittelwertsatz dann weiterhin gültig ist. Es ist nur wichtig, dass die Gewichtungsfunktion keinen Vorzeichenwechsel besitzt.