Nebenklassen eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation von Nebenklassen[Bearbeiten]

Um den mathematisch eher abstrakten Begriff einer Nebenklasse mit einer Anschauung zu verbinden, betrachten wir im Folgenden zwei anschauliche Beispiele, anhand derer wir den Begriff motivieren wollen.

Beispiel: Satellitenbild[Bearbeiten]

Skyline von New York

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.

Satellitenbild von New York

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

Beispiel aus der Physik: Potentielle Energie von Punktteilchen[Bearbeiten]

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum mit unterschiedlich verteilten Punktteilchen der gleichen Masse , die sich darin befinden. Dieser Raum soll sich in einem Gravitationsfeld mit Gravitationskonstante befinden und wird durch die , , - Achsen beschrieben. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in welchem du gerade diesen Artikel liest. Jedem dieser Punktteilchen können wir dabei eine ihm charakteristische potentielle Energie zuordnen, die nur von der Höhe des Punktteilchens über der Grundfläche abhängt. Die Grundfläche sei in unserer Betrachtung die - - Ebene, sodass wir die potentielle Energie eines Teilchens berechnen können zu:

Weil wir die Massen der Teilchen als konstant angenommen haben und die Gravitationskonstante ebenfalls konstant ist, haben zwei betrachtete Teilchen die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhe übereinstimmen. Wir wollen die Teilchen basierend auf dieser Feststellung klassifizieren und bezeichnen zwei Punktteilchen im Raum als gleichwertig, falls die potentiellen Energien in beiden Punkten übereinstimmen. Punkte gleicher potentieller Energie wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel auf den und fassen diesen als Vektorraum auf. Punkte, die die gleiche potentielle Energie haben, liegen im auf einer Ebene parallel zur Grundfläche. Dies liegt daran, dass die potentielle Energie linear von der Höhe abhängt. Jedes Punktteilchen, das sich auf einer solchen Ebene befindet, repräsentiert die für die Ebene charakteristische potentielle Energie. Aus diesem Grund werden wir solche Punktteilchen als Repräsentanten bezeichnen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass eine Ursprungsebene ein Untervektorraum des ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir entlang der - Achse verschobene Ebenen betrachtet und diese als Klassen bezeichnet. Wir werden diese Klassen im Folgenden Nebenklassen nennen. Mathematisch können wir uns die Nebenklassen also als um einen beliebigen Vektor verschobenen Untervektorraum vorstellen.

Definition der Nebenklasse[Bearbeiten]

Im Beispiel zur potentiellen Energie von Punktteilchen haben wir Ebenen im betrachtet, die parallel zur - - Ebene liegen. Diese haben wir Nebenklassen genannt. Wie können wir nun diese Ebenen mit den uns bisher bekannten mathematischen Begriffen beschreiben? Die - - Ebene ist ein Untervektorraum des . Dieser wird hier genannt. Die dazu parallelen Ebenen sind keine Untervektorräume, da sie die nicht enthalten. Jede dieser Ebenen ist der verschobene Untervektorraum und wird affiner Unterraum genannt. Genauer gesagt entsteht jede der Ebenen durch eine Verschiebung von um einen Vektor , d.h. jeder Punkt wird auf den Punkt verschoben. Somit sind alle Punkte der verschobenen Ebene Elemente der Menge . Mit dieser Überlegung können wir Nebenklassen formal definieren.

Definition (Nebenklasse und Repräsentant)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter sei . Dann nennen wir die Menge die von erzeugte Nebenklasse bezüglich . Elemente der Nebenklasse werden als Repräsentanten der Nebenklasse bezeichnet.

Beispiele für Nebenklassen[Bearbeiten]

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To-Do:

Beispiele

  • Anschauung evtl. wieder über Rekurs zu erstem Beispiel: beispielsweise: die x-y-Ebene als UVR und dann Verschiebungen davon als Nebenklassen (Höhe an Punkten)
  • eventuell noch ein abstraktes Beispiel für Nebenklassen (z.B. Polynome)

Wir sehen uns nun einige Beispiele für Nebenklassen an.

Beispiel (Nebenklassen im )

Wir wollen uns zunächst überlegen, welche anschauliche Vorstellung von Nebenklassen wir im haben. In komplexeren Vektorräumen ist diese Vorstellung natürlich nicht mehr möglich. Dazu wählen wir einen Untervektorraum . In ist dieser durch einen Ursprungsgerade gegeben.

V=R^2 mit Untervektorraum

Nach Definition einer Nebenklasse wird der Untervektorraum zum Erzeugen einer neuen Nebenklasse um einen Vektor verschoben. Dies können wir uns in unserem Beispiel ebenfalls leicht vorstellen.

V=R^2 mit Untervektorraum U und Nebenklasse v+U

Eine Nebenklasse entspricht in also einem affinen Unterraum. Dabei haben alle Nebenklasse die Struktur des Unterraums (z.B. eine Gerade). Genauso können wir weitere Nebenklassen erzeugen, bis der Raum vollständig abgedeckt ist.

V=R^2 mit Untervektorraum und vielen Nebenklassen v+U

Nachdem wir uns jetzt eine grobe graphische Vorstellung von Nebenklassen gemacht haben, schauen wir uns als nächstes ein Zahlenbeispiel im Restklassenkörper , auch als bezeichnet, an.

Beispiel (Abstraktes algebraisches Beispiel)

Wir wollen nun explizit mit Vektoren eine Nebenklasse aufschreiben. Sei dazu und der zugehörige Vektorraum. Unser Untervektorraum ist gegeben durch

Diesen wollen wir jetzt um den Vektor verschieben. Die Nebenklasse erhalten wir dann durch Addition des Vektors mit jedem Vektor des Untervektorraums :

Durch Verschieben von um andere Vektoren können wir weitere Nebenklassen erzeugen. Wählen wir beispielsweise den Vektor , können wir eine neue Nebenklasse berechnen:

Nebenklassen sind Äquivalenzklassen[Bearbeiten]

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To-Do:

Bild zur Äquivalenzrelation im R^2 einfügen

Wenn wir uns eine Nebenklasse anschauen, wissen wir, dass nach Definition in dieser Nebenklasse liegt. Wir wollen jetzt Aussagen über die anderen Vektoren dieser Nebenklasse treffen. Dazu wählen wir einen Vektor aus. Eine dazu äquivalente Aussage ist . Anschaulich sehen wir das in nebenstehender Abbildung. Mithilfe der folgenden Umformung zeigen wir die Äquivalenz formal. Sei dazu . Dann gilt:

Im Folgenden schreiben wir kurz als und nennen eine Relation. Von dieser Relation wollen wir zeigen, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beweis (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der - Relation)

Beweisschritt: Reflexivität

Wir zeigen zunächst, dass gilt. Da ein Untervektorraum ist, gilt , also . Nach Definition der Relation folgt damit .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus die dazu symmetrische Beziehung folgt. Sei also . Somit ist . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation. Damit ist auch . Dies ist gleichbedeutend mit . Also gilt .

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus und die Beziehung folgt. Seien dafür , also , und , also . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch . Weil gilt, ist also und damit .

Wir erkennen, dass die oben definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist, da sie die drei gerade nachgewiesenen Eigenschaften erfüllt. Alle Vektoren , für die gilt, sind äquivalent, liegen also in einer Äquivalenzklasse. Gemäß unserer Definition von Nebenklassen liegen genau die Vektoren, die in einer Äquivalenzklasse liegen, auch in einer Nebenklasse. Somit entspricht jede Nebenklasse einer Äquivalenzklasse bezüglich dieser speziellen Äquivalenzrelation.

Eigenschaften von Nebenklassen[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Jedes Element von V liegt in genau einer Nebenklasse

ggf. mit Lemma als Beweis

  • Der Schnitt zweier Nebenklassen ist entweder leer, oder beide Nebenklassen sind gleich (lässt sich mit obigen Punkten begründen)
  • Nebenklassen haben alle die gleiche "Form" wie der UVR (Gerade bleibt Gerade (Dimension gleich, hier ist der Begriff der Dimension aber noch nicht eingeführt)
  • ggf. noch weitere Beispiele (auch in VR über endlichen Körpern denkbar)
  • Rechnen mit Nebenklassen (erstmal nur Addition)

Unterschiedliche Vektoren erzeugen die gleiche Nebenklasse[Bearbeiten]

Wir zeigen beispielhaft, dass wir die gleiche Nebenklasse eines Vektorraums mit unterschiedlichen Vektoren erzeugen können. Wir sehen uns dazu als Vektorraum den an. Als Unterraum betrachten wir die -Achse

sowie die beiden Vektoren , . Beide Vektoren erzeugen die gleiche Nebenklasse bezüglich , denn zum einen gilt

und zum anderen

.

Beide Nebenklassen sind identisch, auch wenn sich die zweite Komponente der beiden Vektoren der Mengen unterscheiden. Dies sehen wir so ein: Wir haben unser aus den reellen Zahlen gewählt. Man stelle sich also die - Achse vor. Wir erhalten die gleiche Achse wie im ersten Fall, wenn wir zu jedem -Wert die dazu addieren. Dies liegt letztlich in der Körpereigenschaft von begründet.

Gleichheit von Nebenklassen[Bearbeiten]

Wir haben jetzt Nebenklassen kennengelernt und wollen wissen, wann zwei Nebenklassen gleich sind. Dazu überlegen wir uns welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit ; für gilt.

Wir können schon vermuten, dass genau dann gilt, wenn . Da die Äquivalenzrelation symmetrisch ist, gilt natürlich auch .

Wir zeigen jetzt den folgenden

Satz (Gleichheit von Nebenklassen)

Zwei Nebenklassen und sind genau dann gleich, wenn die Differenz der beiden Repräsentanten ein Vektor in ist, also:

Beweis (Gleichheit von Nebenklassen)

Wir beweisen zunächst im ersten Beweisschritt, dass . Im Anschluss beweisen wir, wenn dann ist .

Beweisschritt:

Seien , dann gibt es mit , da ein Vektorraum ist und daher gegenüber Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Also ist .

Nun zeigen wir die Umkehrung.

Beweisschritt:

Sei , dann gibt es einen Vektor mit . , denn da Unterraum ist, ist . Wir ersetzen nun wieder durch und erhalten dann .

Damit haben wir gezeigt aus folgt .

Ganz analog zeigen wir, dass aus folgt .

Damit gilt .

Eindeutigkeit von Nebenklassen[Bearbeiten]

Auf diesen Satz aufbauend können wir jetzt zeigen, dass Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt sind. Dazu betrachten wir einen weiteren Satz.

Satz (Eindeutigkeit von Nebenklassen)

Sei eine Nebenklasse und . Dann ist die Nebenklasse disjunkt zu .

Beweis (Gleichheit von Nebenklassen)

Wir werden die Aussage per Widerspruch beweisen. Dazu wählen wir und nehmen nun an und wären nicht disjunkt. Wir können dann ein Element finden, dass in beiden Nebenklassen liegt, also gilt . Dann wäre nach Definition , was im Widerspruch zu unserer Annahme steht.

Aus der Aussage dieses Satzes können wir eine weitere äquivalente Aussage ableiten. Wir wissen jetzt ebenfalls, dass jedes Element eindeutig einer Nebenklasse zugeordnet werden kann.

Erzeugen von Nebenklassen[Bearbeiten]

Elemente eines Vektorraums sind eindeutig. Wir wollen uns jetzt überlegen, dass alle Elemente eines Vektorraums ihre jeweilige Nebenklasse erzeugen. Wir wollen uns diese Aussage zunächst anschaulich klar machen. Dazu betrachten wir nun wieder Geraden als Untervektorräume des .

V=R^2 mit Untervektorraum - Verschiebung um zwei verschiedene Vektoren liefert selbe Nebenklasse

Wir sehen, dass sowohl eine Verschiebung um den Vektor die selbe Nebenklasse liefert, wie eine Verschiebung um den Vektor . Also ist .

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To-Do:

Ggf. auf Gleichheitssatz verweisen

Wir wollen uns dazu noch ein Zahlenbeispiel anschauen, in dem wir sehen werden, dass jedes Element der Nebenklasse die Nebenklasse erzeugt.

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To-Do:

Beispiel einfügen wieder in Z/2Z

Ausblick[Bearbeiten]

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To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen

Sonstiges[Bearbeiten]