Nebenklassen eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum[Bearbeiten]

Die Elemente der additiven Gruppe eines Vektorraums (Vektoren) sind Verschiebungen, die Addition + die Verknüpfung von Verschiebungen. Wir identifizieren einen Vektor meistens mit dem Punkt, zu dem er den Nullraum/punkt verschiebt (). Wir werden die Unterscheidung stets explizit machen d.h. sagen wann wir mit v einen Punkt, wann einen Vektor meinen. (Diese unterschiedliche Benennung ist nicht kanonisch, wir benutzen sie aber der Klarheit halber)

Was wenn wir nun Verschiebungen von Unterräumen ausser dem Nullraum betrachten wollen? Anschaulich in oder wären dies Geraden oder Ebenen, die durch den Nullpunkt gehen.

Sei ein solcher Untervektorraum.

Dem Untervektorraum liegt eine Menge von Punkten zugrunde, die in ihm enthalten sind. In bzw. ist das die Menge an Punkten auf der Gerade/Fläche. Wir können einen Vektor auf eine Menge Punkte “wirken” lassen, indem wir definieren . Somit können wir auch auf “wirken lassen” - erhalten vorerst aber nur eine Menge, die i.A. keinem Untervektorraum mehr zugrundeliegt:

Wenn so verschiebt, dass die 0 nicht mehr in enthalten ist, so kann kein Untervektorraum mehr sein. Im Gegenfall dass gilt und (letzteres folgt aus ersterem zusammen mit der Abgeschlossenheit von unter +).

Wir bemerken, dass gewisse Vektoren nun bzgl. ihrer verschiebenden Wirkung auf äquivalent sind, d.h. . Anschaulich in , mit einem 2-dimensionalen Unterraum (also einer Ebene durch 0):

ist eine unendliche Fläche. Unterschiedliche Vektoren verschieben einzelne Punkte der Fläche zwar an unterschiedliche Positionen, die Fläche insgesamt jedoch wird gleich verschoben, da sie unendlich ist.

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To-Do:

Bild von unterschiedlichen Verschiebungen endlicher Flächen, die aber nicht auf der gleichen verschobenen Fläche abenden.

Im weiteren Verlauf bezeichnen wir mit und betrachten sie nicht mehr nur als Punktmengen, sondern als Verschiebungen des Unterraums U und nennen sie affine Unterräume zu U.

Definition (Affiner Unterraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter sei . Dann nennen wir die Menge den von erzeugten affinen Unterraum bzgl. .

Wir wollen nun die Äquivalenz von Vektoren bzgl. ihrer Verschiebung solcher affinen Unterräume untersuchen. Anschaulich sehen wir, dass wenn zwei Stützvektoren den gleichen affinen Raum aufspannen, ihre Differenz im zugrundeliegenden Raum liegt. Drücken wir dies nun allgemein und formal aus:

Seien . Definiere

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To-Do:

Hier Tabelle mit Veranschaulichung in \R ^2 bzw. \R ^3 eifügen

V=R^2 mit Untervektorraum
V=R^2 mit Untervektorraum U und Nebenklasse v+U
V=R^2 mit Untervektorraum - Verschiebung um zwei verschiedene Vektoren liefert selbe Nebenklasse

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind:

Also wieder genau die affinen Unterräume zu U. Als Äquivalenzklassen der Relation Bezeichnen wir sie nun auch als Nebenklassen.

Definition (Nebenklasse und Repräsentant)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter seien . Definiere . Dann ist eine Äquivalenzrelation auf und die Äquivalenzklasse zu einem Element die Menge Diese nennen wir die von erzeugte Nebenklasse bezüglich . Elemente der Nebenklasse werden als Repräsentanten der Nebenklasse bezeichnet.

Aus technischer Sicht bleibt jetzt noch zu überprüfen:

  1. Dass unsere Anschauung allgemein gilt
  2. Dass tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist.

Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wiederholung: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse[Bearbeiten]

Hauptartikel: Äquivalenzrelation

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

  • reflexiv
  • symmetrisch
  • transitiv

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente und äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation sind, schreibt man oft oder einfach anstatt der sonst üblichen Schreibweise beziehungsweise . Alle Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation äquivalent sind, liegen in einer Äquivalenzklasse.

Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wir haben in der Herleitung behauptet, und dies anschaulich für auch gesehen. Anhand davon haben wir dann die Relation definiert. Jetzt müssen wir den Beweis noch nachliefern.

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To-Do:

Graphik einfügen, die die Komponenten im Beweisschritt in \R ^2 graphisch zeigt

Satz (Gleichheit von Nebenklassen)

Zwei Nebenklassen und sind genau dann gleich, wenn die Differenz der beiden Repräsentanten ein Vektor in ist, also:

Beweis (Gleichheit von Nebenklassen)

Wir beweisen zunächst im ersten Beweisschritt, dass . Im Anschluss beweisen wir, wenn dann ist .

Beweisschritt:

Seien , dann gibt es mit , da ein Vektorraum ist und daher gegenüber Addition und Bildung von Inversen abgeschlossen ist. Also ist .

Nun zeigen wir die Umkehrung.

Beweisschritt:

Sei , dann gibt es einen Vektor mit . , denn da Unterraum ist, ist . Wir ersetzen nun wieder durch und erhalten dann .

Damit haben wir gezeigt aus folgt .

Ganz analog zeigen wir, dass aus folgt .

Damit gilt .

Wir müssen noch beweisen dass eine Äquivalenzrelation ist, d.h. dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beweis (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der - Relation)

Beweisschritt: Reflexivität

Wir zeigen zunächst, dass gilt. Da ein Untervektorraum ist, gilt , also . Nach Definition der Relation folgt damit .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus die dazu symmetrische Beziehung folgt. Sei also . Somit ist . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch . Dies ist gleichbedeutend mit . Also gilt .

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus und die Beziehung folgt. Seien dafür , also , und , also . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch . Weil gilt, ist also und damit .

Beispiele für Nebenklassen[Bearbeiten]

Wir sehen uns nun einige Beispiele für Nebenklassen an.

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die , , - Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die -- Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach ist somit:

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr -Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der -Vektorraum . Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungem, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in aus auf dieselbe Ebene parallel zur --Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die --Ebene ein Untervektorraum des ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der - Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.


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To-Do:

Beispiel einfügen: Bilanz auf zwei Konten als Nebenklasse (jede Klasse repräsentiert eine konkrete Bilanz auf dem Konto. Beispiel ist nicht ganz trivial da man von der komponentenweisen Addition eines Vektors in sich selbst (also Addition in K) auf die externe Addition (in V) rückschließen muss

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To-Do:

“Abstraktes” Beispiel, mögl. in endlichem Körper, das aber sinnvoll ist um wieder Eigenschaften der Nebenklassen darin zu erkennen.

Eigenschaften von Nebenklassen[Bearbeiten]

Bedeutung der Eigenschaften von Äquivalenzrelationen im Kontext von Nebenklassen[Bearbeiten]

Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen[Bearbeiten]

Wir wissen dass Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sein müssen. Dies sehen wir in bzw. auf sehr anschauliche Weise: Die Klassen sind parallelverschobene Geraden/Ebenen, die sich nur schneiden, wenn sie zusammenfallen.

Äquivalenzrelationen partitionieren den Raum[Bearbeiten]

Genau wie wir den Raum durch den Nullraum in Punkte partitionieren können (), können wir ihn auch durch andere Unterräume in entsprechende Nebenklassen partitionieren. Beispiel durch eine Gerade:

V=\R ^2 partitioniert durch Geraden

Ausblick[Bearbeiten]

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To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen