Supremum und Infimum: Eigenschaften – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Da das Supremum auf Mengen angewandt wird, ist eine sehr naheliegende Frage: Was passiert mit dem Supremum, wenn wir die Menge verändern? Wenn wir sie mit einer anderen Menge beispielsweise schneiden oder vereinigen, wenn wir sie größer oder kleiner machen? Hier werden wir einige Regeln kennen lernen, die dir helfen werden, mit dem Supremum zu arbeiten.

Übersicht der Regeln zum Supremum und Infimum[Bearbeiten]

Wir definieren zuerst einige Kurzschreibweisen.

Dialog-information.svg
Definition

Für alle Mengen und alle definieren wir:

Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist und sowie . Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.

Regeln für das Supremum[Bearbeiten]

  • , falls ist.
  • für
  • , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
  • Es gibt eine Folge aus mit .

Frage: Warum gilt nicht ? Finde ein Gegenbeispiel!

Ein Gegenbeispiel hierfür ist .

Frage: Warum gilt nicht ? Finde ein Gegenbeispiel!

Sei und . Dann gilt und also , aber und , also .

Das Supremum der Summe zweier Funktionen kann kleiner als die Summe ihrer Suprema sein.

Frage: Warum gilt nicht ? Finde ein Gegenbeispiel!

Wir setzen . Als Funktionen wählen wir und . Also ist . Es gilt

Regeln für das Infimum[Bearbeiten]

  • , falls ist.
  • für
  • , falls und nur nichtnegative Elemente enthalten.
  • Es gibt eine Folge aus mit .

Beweis der Regeln[Bearbeiten]

In den folgenden Abschnitten werde ich die obigen Eigenschaften nur für das Supremum beweisen.

Supremum ist größer gleich dem Infimum[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Sei eine nicht leere, beschränkte Menge. Es ist dann .

Applications-office.svg

Beweis

Als nicht leere Menge besitzt mindestens ein Element . Die Aussage ergibt sich nun ganz einfach, da nach der ersten Supremumsbedingung und gelten, also auch .

Abschätzung des Supremums bei Teilmengen[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Ist , dann ist .

Applications-office.svg

Beweis

Nach der ersten Supremumsbedingung ist eine obere Schranke von , also wegen insbesondere auch von , d.h. für alle gilt . Das Supremum von ist aber gerade charakterisiert als die kleinste obere Schranke von , es muss also insbesondere kleiner oder gleich sein.


Supremum bei der Vereinigung[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Es ist

Applications-office.svg

Beweis

Ist , so ist oder . Nach der ersten Supremumsbedingung gilt somit oder . Also insbesondere . Damit ist eine obere Schranke von .

Den zweiten Teil erhalten wir wie folgt: Es gilt immer oder . Gehen wir vom ersten Fall aus (falls wir nicht im ersten Fall sind, benennen wir unsere Mengen einfach um): Dann gilt für alle wegen der ersten Supremumsbedingung , aber wegen auch und ist eine obere Schranke von und nach Definition auch von , also von . Dass es auch die kleinste obere Schranke ist, folgt aus der zweiten Supremumsbedingung: Jede kleinere Zahl ist keine obere Schranke mehr von , also auch nicht von .

Supremum beim Schnitt[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Es ist

Applications-office.svg

Beweis

Dieser Teil folgt direkt aus 1. und der Tatsache, dass und gilt: und , also . Theoretisch sind wir damit mit dem Beweis fertig, aber es ist sicherlich illustrativ, so zu überlegen, warum hier im Allgemeinen eine Ungleichheit steht.


Supremum und Multiplikation mit [Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Es ist

Applications-office.svg

Beweis

Für alle gilt . Multiplikation der Ungleichung mit ergibt gerade . Da aber alle Elemente von von dieser Form sind, ist eine obere Schranke für . Da jedoch das Supremum von die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt .

Sei nun gegeben. Nach der Definition des Infimums ist dann keine untere Schranke von . Das bedeutet, dass ein existiert, sodass . Multipliziert man diese Ungleichung mit so erhält man . Es ist aber ein Element in , also kann keine obere Schranke von sein. Da unser beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit .

Emblem-important.svg

Hinweis

Aus dieser Regel erhalten wir zwischen Supremum und Infimum die Zusammenhänge und .

Supremum und Multiplikation mit einem nicht negativen Skalar[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Für gilt

Applications-office.svg

Beweis

Ist , so gibt es nicht viel zu zeigen, denn und .

Wir können also im Weiteren voraussetzen. Für alle gilt . Multiplikation der Ungleichung mit ergibt gerade . Da aber alle Elemente von von dieser Form sind, ist eine obere Schranke für . Da jedoch das Supremum von die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt .

Sei nun gegeben und wir definieren . Dies ist erlaubt, da wir voraussetzen. Nach der Definition des Supremums ist dann keine obere Schranke von . Das bedeutet, dass ein existiert, sodass . Multipliziert man diese Ungleichung mit so erhält man

Es ist aber ein Element in , also kann keine obere Schranke von sein. Da unser beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit .

Supremum und Summen[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Es ist

Applications-office.svg

Beweis

Jedes Element besitzt die Form für ein und ein . Nach der Definition des Supremums gilt und . Addition der beiden Ungleichungen ergibt . Also ist eine obere Schranke für . Da jedoch das Supremum von die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt .

Sei nun gegeben und wir definieren . Nach der Definition des Supremums ist dann keine obere Schranke von und keine obere Schranke von . Das bedeutet, dass ein und ein existieren, sodass und . Durch Addition beider Ungleichungen erhält man

Es ist aber ein Element in , also kann keine obere Schranke von sein. Da unser beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit .

Supremum und Produkte[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Falls und nur nicht negative Elemente enthalten, ist

Applications-office.svg

Beweis

Jedes Element besitzt die Form für ein und ein . Nach der Definition des Supremums gilt und . Multiplikation der beiden Ungleichungen ergibt . Also ist eine obere Schranke für . Da jedoch das Supremum von die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt .

Ist oder , so folgt oder , denn es wurden alle Elemente aus und als nicht negativ also größer oder gleich Null vorausgesetzt. Damit folgt sofort .

Im Folgenden kann man also und voraussetzen. Sei nun gegeben. Dann können wir nach dem vorangehenden Satz ohne Probleme und definieren.

Nach der Definition des Supremums ist dann keine obere Schranke von und keine obere Schranke von . Das bedeutet, dass ein und ein existieren, sodass und . Durch Produktbildung beider Ungleichungen erhält man

Man beachte das -Zeichen im letzten Schritt. Hierbei wurde verwendet. Nun ist ein Element in , also kann keine obere Schranke von sein. Da unser beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit .

Supremum der Summe zweier Funktionen kleiner gleich der Summe der Suprema dieser Funktionen[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Es gilt

Applications-office.svg

Beweis

Es gilt


Existenz einer Folge in mit [Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Wenn existiert, dann gibt es eine Folge in mit .

Applications-office.svg

Beweis

Wir erinnern und an den zweiten Teil der Definition des Supremums, die Epsilon-Definition: Für alle gibt es ein mit .

Folglich gibt es für alle ein mit . Da alle aus sind, gilt auch . Damit ergibt sich für alle :

Nach dem Sandwichtheorem gilt also .