Äußere direkte Summe und direktes Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

  • Beispiel: Wetterdienst hat mehrere Messpunkte
  • Speichert zu jedem Messpunkt Temperatur und Windrichtung in zwei getrennten Listen
  • die eine Liste hat Einträge in R, die andere in R^2
  • Idee: beide Listen in eine Liste kombinieren
  • Welche Einträge muss die Liste haben?
  • Um das zu speichern, braucht man also ein 2-Tupel bestehend aus einer Zahl und einem 2-Tupel
  • Man kombiniert 2 Vektorräume zu einem neuen, und zwar auf die kleinst-mögliche Weise, sodass man alle Informationen unabhängig speichern kann

ODER:

  • Beispiel: Mehrteilchensystem
  • Man betrachte die Position von Teilchen im drei-dimensionalen Raum.
  • Diese Situation kann durch den Vektorraum dargestellt werden.
  • Durch Hinzunahme eines weiteren Teilchens zur Betrachtung, muss der Vektorraum vergrößert werden, ohne dass die bereits bestehende Vektorraumstruktur verloren geht.
  • Dies kann man durch das direkte Produkt des Vektorraums mit dem Vektorraum , der das neu hinzukommende Teilchen modelliert, realisiert werden.

ODER:

Konto oder Rezepte

ODER:

Lineare Abbildung R nach R + eine Verschiebung ergibt die affin-linearen Abbildungen. Außerdem darauf hinweisen, dass diese Dinger in der Schule schlechterweise als "lineare Abbildungen" bezeichnet werden.

Definition[Bearbeiten]

Wir definieren die direkte Summe von zunächst endlich vielen -Vektorräumen.

Definition (Äußere direkte Summe)

Sei ein Körper, und seien -Vektorräume. Die äußere direkte Summe von ist definiert durch

zusammen mit der Addition

und der Multiplikation

Hinweis

Die Vektorräume in der Definition sind in der Regel verschieden. Die Addition der direkten Summe wird definiert über die verschiedenen Additionen der . Analoges gilt für die Skalarmultiplikation.

Hinweis

Im Fall ist die direkte Summe der triviale -Vektorraum .

Definition (Kurzschreibweise falls alle Vektorräume gleich sind)

Gilt für alle , wobei ein -Vektorraum ist, (d.h. alle Vektorräume sind gleich), so schreiben wir auch

Die direkte Summe ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Die direkte Summe bildet mit den oben definierten Operationen einen Vektorraum

Wie kommt man auf den Beweis? (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von ist genau so gewählt, dass sich die Operationen der Vektorräume "auf natürliche Weise auf übertragen".

Beweis (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, für das gilt

für alle

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition , um das neutrale Element der Addition zu konstruieren. Also setzen wir

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also :

Dazu sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in zurückführen. In gilt, wenn und , dann ist . Daher wählen wir für das -Tupel als potenzielles Inverses. Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei . Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

  • Fordwardlink zu linearen Abbildungen
  • Hinweis, dass dieses Thema eher more advanced ist
  • MOTIVATION!!!!

Sei und seien -Vektorräume.

Definition (Projektionsabbildungen)

Für definieren wir die Projektionsabbildung

Satz (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei . Dann ist die Projektionsabbildung linear und surjektiv.

Beweis (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei . Wir zeigen zunächst die Linearität von .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität

Sei und Dann gilt

Nun zeigen wir noch, dass surjektiv ist.

Beweisschritt: Surjektivität

Sei dazu . Setze für alle

Dann ist , und es gilt . Also ist surjektiv.

Definition (Inklusionsabbildungen)

Für definieren wir die Inklusionsabbildung

Satz (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei . Dann ist die Inklusionsabbildung linear und injektiv.

Beweis (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei . Wir zeigen zunächst die Linearität von .

Beweisschritt: Linearität

Wir müssen die Additivität und die Homogenität von zeigen.

Beweisschritt: Additivität

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität

Sei und Dann gilt

Nun zeigen wir noch, dass injektiv ist.

Beweisschritt: Injektivität

Es genügt zu zeigen, dass für den Kern gilt Sei dazu . Dies bedeutet, dass . Es folgt also sofort, dass gilt. Also ist und damit injektiv.

Satz (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Sei ein -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen für alle .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung sodass für alle .

Beweis (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung . Sei beliebig. Sei das Bild von unter . Das bedeutet, für alle . Da , gilt also für alle . Somit sind die also bereits durch die Abbildungen eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und dass sie die Bedingung auch tatsächlich erfüllt für alle .

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien in . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität

Sei in und . Dann gilt

Beweisschritt: für alle .

Sei . Sei . Dann gilt

Das zeigt die Behauptung.

Satz (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Sei ein -Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen für alle .

Dann existiert genau eine lineare Abbildung sodass für alle .

Beweis (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen zeigen.

Beweisschritt: Eindeutigkeit

Angenommen, wir haben eine solche Abbildung . Sei beliebig. Sei das Bild unter . Man kann sich leicht überlegen, dass

Da , gilt also

Somit ist also bereits durch die Abbildungen eindeutig bestimmt. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung .

Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch . Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und die geforderten Bedingungen erfüllt.

Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung

Wir zeigen Additivität und Homogenität

Beweisschritt: Additivität

Seien in . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität

Sei in und . Dann gilt

Beweisschritt:

Sei also und . Setze für alle

Dann gilt

Also ist .

Satz (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

Sei ein -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen für alle , sodass die Produkteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus sodass gilt für alle .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen

Satz (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

Sei ein -Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen für alle , sodass die Koprodukteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus sodass gilt für alle .

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen

  • Bemerkung: man nennt das universelle Eigenschaft, weil man das auch bis auf "kanonische Isomorphie" zur Definition verwenden könnte

Beziehung zur inneren direkten Summe[Bearbeiten]

Wir haben nun zwei Konzepte mit der Bezeichnung "direkte Summe" kennengelernt: Die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe. Beide haben wir auch mit dem Symbol notiert. Das ist kein Zufall. Wir wollen nun erklären, warum. Tatsächlich sind diese Konzepte in gewisser Weise äquivalent. Wir wollen dies im Fall endlicher Indexmengen genauer erläutern.

Wir haben gesehen, dass es injektive Einbettungsabbildungen gibt. Über diese Abbildungen können wir Unterräume definieren. Es gilt dabei via .

Dann gilt:

Satz (Innere und äußere direkte Summe)

, wobei wir links die innere direkte Summe der Unterräume und rechts die äußere direkte Summe der Vektorräume betrachten.

Beweis (Innere und äußere direkte Summe)

Wir müssen zeigen, dass , sowie die verallgemeinerte Schnittbedingung: Für alle gilt .

Beweisschritt:

Die Inklusion ist klar, da die Unterräume der rechten Seite sind.

Sei also nun . Dann existieren , sodass . Sei für alle . Dann gilt .

Beweisschritt: Verallgemeinerte Schnittbedingung

Sei . Sei . Wir wollen zeigen, dass gilt. Dazu reicht es, zu zeigen, dass alle sind. Da liegt, gilt . Daraus folgt sofort, dass für . Andererseits ist , woraus auch folgt.

Damit folgt die Behauptung.

Beispiele & Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Koordinatenraum)

Wir haben bereits den Koordinatenraum gesehen. Diesen kann man auch als direkte Summe, bei der alle Summanden gleich sind, auffassen. Es gilt also

Dies sieht man, indem man die Definitionen vergleicht.

Beispiel (Parametrisierung von Strecken)

Eine gerichtete Strecke im lässt sich durch ihren Start- und ihren Endpunkt charakterisieren. Diese beiden Punkte sind Elemente von . Die Menge aller gerichteten Strecken ist also parametrisiert durch die direkte Summe .

Beispiel (Computerspiele)

Wir betrachten ein Online-Computerspiel, bei dem jeder Spieler eine 2D-Position hat. Wenn 100 Spieler online sind, können wir die Positionen aller Spieler als ein Element von auffassen. Es ist üblich, dass nicht mehrmals pro Sekunde die Positionen aller Spieler neu übertragen werden, sondern stattdessen die Veränderung ihrer Position. Dies ist wiederum ein Element von . Addiert man es (im Vektorraum ) zum alten Zustand, so erhält man den neuen Zustand.

Aufgabe (Rechenregeln)

Sei ein -Vektorraum und . Mache dir folgende "Rechenregeln" klar:

  • die Vektorräume und "sind gleich",

wobei den Nullvektorraum bezeichnet.

  • die Vektorräume und "sind gleich".
  • die Vektorräume und "sind gleich".

Vergleiche dies mit den Potenzgesetzen für natürliche Zahlen.

Lösung (Rechenregeln)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

TODO

Hinweis

Für die folgenden beiden Aufgaben brauchst du den Begriff des Isomorphismus. Falls du diesen Begriff noch nicht kennst, kannst du diese Aufgaben getrost überspringen.

Aufgabe (Kommutativität)

Seien zwei -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe kommutativ ist, d.h. dass und isomorph sind.

Lösung (Kommutativität)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

TODO

Aufgabe (Assozitativiät)

Seien zwei -Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe assoziativ ist, d.h. dass und isomorph sind.

Lösung (Assozitativiät)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

TODO

Unendliche viele Summanden[Bearbeiten]

anhand von universeller eigenschaft, von der nur noch die Hälfte gilt; Beispiel Polynomring und Potenzreihenring (als Vektorräume)

Definition direkte Summe und direktes Produkt für unendliche viele Summanden[Bearbeiten]

Universelle Eigenschaft reloaded[Bearbeiten]

Beziehung innere und äußere direkte Summe für unendlich viele Summanden[Bearbeiten]