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- Beispiel: Wetterdienst hat mehrere Messpunkte
- Speichert zu jedem Messpunkt Temperatur und Windrichtung in zwei getrennten Listen
- die eine Liste hat Einträge in R, die andere in R^2
- Idee: beide Listen in eine Liste kombinieren
- Welche Einträge muss die Liste haben?
- Um das zu speichern, braucht man also ein 2-Tupel bestehend aus einer Zahl und einem 2-Tupel
- Man kombiniert 2 Vektorräume zu einem neuen, und zwar auf die kleinst-mögliche Weise, sodass man alle Informationen unabhängig speichern kann
ODER:
- Beispiel: Mehrteilchensystem
- Man betrachte die Position von
Teilchen im drei-dimensionalen Raum.
- Diese Situation kann durch den Vektorraum
dargestellt werden.
- Durch Hinzunahme eines weiteren Teilchens zur Betrachtung, muss der Vektorraum vergrößert werden, ohne dass die bereits bestehende Vektorraumstruktur verloren geht.
- Dies kann man durch das direkte Produkt des Vektorraums
mit dem Vektorraum
, der das neu hinzukommende Teilchen modelliert, realisiert werden.
ODER:
Konto oder Rezepte
ODER:
Lineare Abbildung R nach R + eine Verschiebung ergibt die affin-linearen Abbildungen.
Außerdem darauf hinweisen, dass diese Dinger in der Schule schlechterweise als "lineare Abbildungen" bezeichnet werden.
Wir definieren die direkte Summe von zunächst endlich vielen
-Vektorräumen.
Definition (Äußere direkte Summe)
Sei
ein Körper,
und seien
-Vektorräume.
Die äußere direkte Summe von
ist definiert durch
zusammen mit der Addition
und der Multiplikation
Hinweis
Die Vektorräume
in der Definition sind in der Regel verschieden.
Die Addition der direkten Summe wird definiert über die verschiedenen Additionen der
.
Analoges gilt für die Skalarmultiplikation.
Hinweis
Im Fall
ist die direkte Summe der triviale
-Vektorraum
.
Die direkte Summe ist ein Vektorraum[Bearbeiten]
Satz (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)
Die direkte Summe bildet mit den oben definierten Operationen einen Vektorraum
Wie kommt man auf den Beweis? (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)
Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.
Die Definition von
ist genau so gewählt, dass sich die Operationen
der Vektorräume
"auf natürliche Weise auf
übertragen".
Beweis (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)
Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.
Beweisschritt: Assoziativität der Addition
Seien
. Dann gilt:
Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität der Addition
Seien
. Dann gilt:
Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Neutrales Element der Addition
Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element
gibt, für das gilt

für alle
Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in
zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition
, um das neutrale Element der Addition
zu konstruieren. Also setzen wir
Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also
:
Dazu sei
. Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass
das neutrale Element der Addition ist.
Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition
Sei
.
Wir müssen zeigen, dass es ein
gibt, sodass
.
Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in
zurückführen. In
gilt, wenn
und
, dann ist
. Daher wählen wir für
das
-Tupel
als potenzielles Inverses. Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen
ein
gibt mit
.
Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.
Beweisschritt: Unitäres Gesetz
Sei
. Dann gilt:
Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.
Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist
ein
-Vektorraum.
Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]
- Fordwardlink zu linearen Abbildungen
- Hinweis, dass dieses Thema eher more advanced ist
Sei
und seien
-Vektorräume.
Definition (Projektionsabbildungen)
Für
definieren wir die Projektionsabbildung
Satz (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)
Sei
.
Dann ist die Projektionsabbildung
linear und surjektiv.
Beweis (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)
Sei
.
Wir zeigen zunächst die Linearität von
.
Beweisschritt: Linearität
Wir müssen die Additivität und die Homogenität von
zeigen.
Beweisschritt: Additivität
Seien
.
Dann gilt
Beweisschritt: Homogenität
Sei
und
Dann gilt
Nun zeigen wir noch, dass
surjektiv ist.
Beweisschritt: Surjektivität
Sei dazu
.
Setze für alle
Dann ist
, und es gilt
.
Also ist
surjektiv.
Definition (Inklusionsabbildungen)
Für
definieren wir die Inklusionsabbildung
Satz (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)
Sei
.
Dann ist die Inklusionsabbildung
linear und injektiv.
Beweis (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)
Sei
.
Wir zeigen zunächst die Linearität von
.
Beweisschritt: Linearität
Wir müssen die Additivität und die Homogenität von
zeigen.
Beweisschritt: Additivität
Seien
.
Dann gilt
Beweisschritt: Homogenität
Sei
und
Dann gilt
Nun zeigen wir noch, dass
injektiv ist.
Beweisschritt: Injektivität
Es genügt zu zeigen, dass für den Kern gilt
Sei dazu
.
Dies bedeutet, dass
.
Es folgt also sofort, dass
gilt.
Also ist
und damit
injektiv.
Beweis (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)
Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen
zeigen.
Beweisschritt: Eindeutigkeit
Angenommen, wir haben eine solche Abbildung
.
Sei
beliebig.
Sei
das Bild von
unter
.
Das bedeutet,
für alle
.
Da
, gilt also
für alle
.
Somit sind die
also bereits durch die Abbildungen
eindeutig bestimmt.
Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung
.
Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch
.
Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist,
und dass sie die Bedingung
auch tatsächlich erfüllt für alle
.
Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung 
Wir zeigen Additivität und Homogenität
Beweisschritt: Additivität
Seien
in
.
Dann gilt
Beweisschritt: Homogenität
Sei
in
und
.
Dann gilt
Beweisschritt:
für alle
.
Sei
.
Sei
.
Dann gilt
Das zeigt die Behauptung.
Beweis (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)
Wir müssen die Eindeutigkeit und Existenz solcher Abbildungen
zeigen.
Beweisschritt: Eindeutigkeit
Angenommen, wir haben eine solche Abbildung
.
Sei
beliebig.
Sei
das Bild unter
.
Man kann sich leicht überlegen, dass
Da
, gilt also
Somit ist
also bereits durch die Abbildungen
eindeutig bestimmt.
Dies zeigt die Eindeutigkeit der Abbildung
.
Die einzige Abbildung, die also in Frage kommt, ist gegeben durch
.
Wir müssen nun noch nachprüfen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, und die geforderten Bedingungen erfüllt.
Beweisschritt: Linearität der gefundenen Abbildung 
Wir zeigen Additivität und Homogenität
Beweisschritt: Additivität
Seien
in
.
Dann gilt
Beweisschritt: Homogenität
Sei
in
und
.
Dann gilt
Beweisschritt: 
Sei also
und
.
Setze für alle
Dann gilt
Also ist
.
Satz (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)
Sei
ein
-Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen
für alle
, sodass
die Produkteigenschaft erfüllt.
Dann gibt es genau einen Isomorphismus
sodass gilt
für alle
.
Beweis (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)
Satz (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)
Sei
ein
-Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen
für alle
, sodass
die Koprodukteigenschaft erfüllt.
Dann gibt es genau einen Isomorphismus
sodass gilt
für alle
.
Beweis (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)
- Bemerkung: man nennt das universelle Eigenschaft, weil man das auch bis auf "kanonische Isomorphie" zur Definition verwenden könnte
Beziehung zur inneren direkten Summe[Bearbeiten]
Wir haben nun zwei Konzepte mit der Bezeichnung "direkte Summe" kennengelernt:
Die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe.
Beide haben wir auch mit dem Symbol
notiert.
Das ist kein Zufall.
Wir wollen nun erklären, warum.
Tatsächlich sind diese Konzepte in gewisser Weise äquivalent.
Wir wollen dies im Fall endlicher Indexmengen genauer erläutern.
Wir haben gesehen, dass es injektive Einbettungsabbildungen
gibt.
Über diese Abbildungen können wir Unterräume
definieren.
Es gilt dabei
via
.
Dann gilt:
Satz (Innere und äußere direkte Summe)
, wobei wir links die innere direkte Summe der Unterräume
und rechts die äußere direkte Summe der Vektorräume
betrachten.
Beweis (Innere und äußere direkte Summe)
Wir müssen zeigen, dass
, sowie die verallgemeinerte Schnittbedingung: Für alle
gilt
.
Beweisschritt: 
Beweisschritt: Verallgemeinerte Schnittbedingung
Sei
.
Sei
.
Wir wollen zeigen, dass
gilt.
Dazu reicht es, zu zeigen, dass alle
sind.
Da
liegt, gilt
.
Daraus folgt sofort, dass
für
.
Andererseits ist
, woraus auch
folgt.
Damit folgt die Behauptung.
Beispiele & Aufgaben[Bearbeiten]
Beispiel (Koordinatenraum)
Wir haben bereits den Koordinatenraum gesehen.
Diesen kann man auch als direkte Summe,
bei der alle Summanden gleich
sind,
auffassen.
Es gilt also
Dies sieht man, indem man die Definitionen vergleicht.
Beispiel (Parametrisierung von Strecken)
Eine gerichtete Strecke im
lässt sich durch ihren Start- und ihren Endpunkt charakterisieren.
Diese beiden Punkte sind Elemente von
.
Die Menge aller gerichteten Strecken ist also parametrisiert durch die direkte Summe
.
Beispiel (Computerspiele)
Wir betrachten ein Online-Computerspiel,
bei dem jeder Spieler eine 2D-Position hat.
Wenn 100 Spieler online sind,
können wir die Positionen aller Spieler als ein Element von
auffassen.
Es ist üblich,
dass nicht mehrmals pro Sekunde die Positionen aller Spieler neu übertragen werden,
sondern stattdessen die Veränderung ihrer Position.
Dies ist wiederum ein Element von
.
Addiert man es (im Vektorraum
) zum alten Zustand, so erhält man den neuen Zustand.
Hinweis
Für die folgenden beiden Aufgaben brauchst du den Begriff des Isomorphismus.
Falls du diesen Begriff noch nicht kennst, kannst du diese Aufgaben getrost überspringen.
Unendliche viele Summanden[Bearbeiten]
anhand von universeller eigenschaft, von der nur noch die Hälfte gilt; Beispiel Polynomring und Potenzreihenring (als Vektorräume)
Definition direkte Summe und direktes Produkt für unendliche viele Summanden[Bearbeiten]
Universelle Eigenschaft reloaded[Bearbeiten]
Beziehung innere und äußere direkte Summe für unendlich viele Summanden[Bearbeiten]