Äußere direkte Summe und direktes Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation

• Beispiel: Wetterdienst hat mehrere Messpunkte
• Speichert zu jedem Messpunkt Temperatur und Windrichtung in zwei getrennten Listen
• die eine Liste hat Einträge in R, die andere in R^2
• Idee: beide Listen in eine Liste kombinieren
• Welche Einträge muss die Liste haben?
• Um das zu speichern, braucht man also ein 2-Tupel bestehend aus einer Zahl und einem 2-Tupel
• Man kombiniert 2 Vektorräume zu einem neuen, und zwar auf die kleinst-mögliche Weise, sodass man alle Informationen unabhängig speichern kann

ODER:

• Beispiel: Mehrteilchensystem
• Man betrachte die Position von $n=3$ Teilchen im drei-dimensionalen Raum.
• Diese Situation kann durch den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3n}$ dargestellt werden.
• Durch Hinzunahme eines weiteren Teilchens zur Betrachtung, muss der Vektorraum vergrößert werden, ohne dass die bereits bestehende Vektorraumstruktur verloren geht.
• Dies kann man durch das direkte Produkt des Vektorraums $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$, der das neu hinzukommende Teilchen modelliert, realisiert werden.

Definition

Wir definieren die direkte Summe von zunächst endlich vielen $K$-Vektorräumen.

Definition (Äußere direkte Summe)

Sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N} _{0}$ und seien $V_{1},\dots ,V_{n}$, $K$-Vektorräume. Die äußere direkte Summe von $V_{1},\dots ,V_{n}$ ist definiert durch

${\begin{aligned}\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}:=V_{1}\oplus \dots \oplus V_{n}:=V_{1}\times \dots \times V_{n}:=\left\{\,(v_{1},\dots ,v_{n})\,\mid \,v_{i}\in V_{i},i=1,\dots ,n\,\right\}\end{aligned}}$

zusammen mit der Addition

${\begin{aligned}+\,\colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\times \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\((v_{1},\dots ,v_{n}),(w_{1},\dots ,w_{n}))&\mapsto (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n}):=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})\end{aligned}}$

und der Multiplikation

${\begin{aligned}\cdot \,\colon K\times \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\(\lambda ,(v_{1},\dots ,v_{n}))&\mapsto \lambda \cdot (v_{1},\dots ,v_{n}):=(\lambda \cdot v_{1},\dots ,\lambda \cdot v_{n}).\end{aligned}}$

Hinweis

Die Vektorräume $V_{i}$ in der Definition sind in der Regel verschieden. Die Addition der direkten Summe wird definiert über die verschiedenen Additionen der $V_{i}$. Analoges gilt für die Skalarmultiplikation.

Hinweis

Im Fall $n=0$ ist die direkte Summe der triviale $K$-Vektorraum $0$.

Definition (Kurzschreibweise falls alle Vektorräume gleich sind)

Gilt $V=V_{i}$ für alle $i$, wobei $V$ ein $K$-Vektorraum ist, (d.h. alle Vektorräume sind gleich), so schreiben wir auch

${\begin{aligned}V^{n}:=\bigoplus _{i=1}^{n}V=\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}.\end{aligned}}$

Die direkte Summe ist ein Vektorraum

Satz (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Die direkte Summe bildet mit den oben definierten Operationen einen Vektorraum

Wie kommt man auf den Beweis? (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von $+,\cdot$ ist genau so gewählt, dass sich die Operationen $+,\cdot$ der Vektorräume $V_{i}$ "auf natürliche Weise auf $\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ übertragen".

Beweis (Die direkte Summe ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n}),u=(u_{1},\cdots ,u_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(v+w)+u&=((v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n}))+(u_{1},\cdots ,u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})+(u_{1},\cdots ,u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=((v_{1}+w_{1})+u_{1},\cdots ,(v_{n}+w_{n})+u_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+(w_{1}+u_{1}),\cdots ,v_{n}+(w_{n}+u_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1}+u_{1},\cdots ,w_{n}+u_{n})=v+(w+u).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}v+w&=(v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(w_{1}+v_{1},\cdots ,w_{n}+v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(w_{1},\cdots ,w_{n})+(v_{1},\cdots ,v_{n})=w+v.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt, für das gilt

$v+0=v$ für alle $v\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in $V_{i}$ zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition $0\in V_{i}$, um das neutrale Element der Addition $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ zu konstruieren. Also setzen wir

$0=(\underbrace {0,0,\cdots ,0} _{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}.$

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also $v+0=v$:

Dazu sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

$v+0=(v_{1}+0,\cdots ,v_{n}+0)=(v_{1},\cdots ,v_{n})=v.$

Damit haben wir gezeigt, dass $0\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Wir müssen zeigen, dass es ein $w\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt, sodass $v+w=0$.

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in $V_{i}$ zurückführen. In $V_{i}$ gilt, wenn $v_{i},w_{i}\in V_{i}$ und $v_{i}+w_{i}=0$, dann ist $w_{i}=-v_{i}$. Daher wählen wir für $w$ das $n$-Tupel $(-v_{1},\cdots ,-v_{n})$ als potenzielles Inverses. Dann gilt:

$v+w=(v_{1}+(-v_{1}),\cdots ,v_{n}+(-v_{n}))=(\underbrace {0,\cdots ,0} _{n})=0$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $v\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ ein $w\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ gibt mit $v+w=0$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\cdot v&=(\lambda +\mu )\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\mu )\cdot v_{1},\cdots ,(\lambda +\mu )\cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1}+\mu \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n}+\mu \cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n})+(\mu \cdot v_{1},\cdots ,\mu \cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))+(\mu \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v)+(\mu \cdot v).\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n}),w=(w_{1},\cdots ,w_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \cdot (v+w)&=\lambda \cdot ((v_{1},\cdots ,v_{n})+(w_{1},\cdots ,w_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (v_{1}+w_{1},\cdots ,v_{n}+w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1}+w_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (v_{n}+w_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1}+\lambda \cdot w_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n}+\lambda \cdot w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}+\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v_{1},\cdots ,\lambda \cdot v_{n})+(\lambda \cdot w_{1},\cdots ,\lambda \cdot w_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))+(\lambda \cdot (w_{1},\cdots ,w_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \cdot v)+(\lambda \cdot w).\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\cdot v&=(\lambda \cdot \mu )\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \mu )\cdot v_{1},\cdots ,(\lambda \cdot \mu )\cdot v_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Skalarmultiplikation in }}V_{i}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\mu \cdot v_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (\mu \cdot v_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot v_{1},\cdots ,\mu \cdot v_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot (v_{1},\cdots ,v_{n}))\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot v).\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $v=(v_{1},\cdots ,v_{n})\in \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$. Dann gilt:

$1_{K}\cdot v=1_{K}\cdot (v_{1},\cdots ,v_{n})=(1_{K}\cdot v_{1},\cdots ,1_{K}\cdot v_{n})=(v_{1},\cdots ,v_{n})=v.$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i},+,\cdot )$ ein $K$-Vektorraum.

Universelle Eigenschaft

• Fordwardlink zu linearen Abbildungen
• Hinweis, dass dieses Thema eher more advanced ist

• MOTIVATION!!!!

Sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $V_{1},\dots ,V_{n}$ $K$-Vektorräume.

Definition (Projektionsabbildungen)

Für $j\in \{1,\dots ,n\}$ definieren wir die Projektionsabbildung

${\begin{aligned}\pi _{j}:\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}&\to V_{j}\\(v_{1},\dots ,v_{n})&\mapsto v_{j}.\end{aligned}}$

Satz (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$. Dann ist die Projektionsabbildung $\pi _{j}$ linear und surjektiv.

Beweis (Die Projektionsabbildungen sind linear und surjektiv)

To-Do:

Muss man beweisen

Definition (Inklusionsabbildungen)

Für $j\in \{1,\dots ,n\}$ definieren wir die Inklusionsabbildung

${\begin{aligned}\iota _{j}:V_{j}&\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\\v&\mapsto (0,\dots ,0,\underbrace {v} _{{\text{Stelle }}j},0,\dots ,0).\end{aligned}}$

Satz (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

Sei $j\in \{1,\dots ,n\}$. Dann ist die Inklusionsabbildung $\iota _{j}$ linear und injektiv.

Beweis (Die Inklusionsabbildungen sind linear und injektiv)

To-Do:

Muss man beweisen

Satz (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

Sei $W$ ein $K$-Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen $f_{j}\colon W\to V_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Dann existiert genau eine lineare Abbildung $f\colon W\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ sodass $\pi _{j}\circ f=f_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Beweis (Universelle Produkteigenschaft der direkten Summe)

To-Do:

Muss man machen

Satz (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

Sei $W$ ein $K$-Vektorraum. Angenommen, wir haben lineare Abbildungen $g_{j}\colon V_{j}\to W$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Dann existiert genau eine lineare Abbildung $g\colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\to W$ sodass $g\circ \iota _{j}=g_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Beweis (Universelle Koprodukteigenschaft der direkten Summe)

To-Do:

Muss man machen

Satz (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

Sei $X$ ein $K$-Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen $\rho _{j}\colon X\to V_{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$, sodass $X$ die Produkteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus $\phi \colon X\to \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}$ sodass gilt $\phi \circ \pi _{j}=\rho _{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Produkteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

Satz (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

Sei $X$ ein $K$-Vektorraum, zusammen mit linearen Abbildungen $\kappa _{j}\colon V_{j}\to X$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$, sodass $X$ die Koprodukteigenschaft erfüllt.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus $\psi \colon \bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}\to X$ sodass gilt $\iota _{j}\circ \psi =\kappa _{j}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Beweis (Die direkte Summe wird durch die Koprodukteigenschaft charakterisiert)

To-Do:

Muss man machen

• Bemerkung: man nennt das universelle Eigenschaft, weil man das auch bis auf "kanonische Isomorphie" zur Definition verwenden könnte

Beziehung zur inneren direkten Summe

• Vektorräume können als Unterräume der direkten Summe aufgefasst werden
• In dieser auffassung bildet die äußere direkte Summe auch die innere direkte Summe dieser Unterräume
• Man kann auch zalternativ zeigen, dass es einen Iso innere Summe <-> äußere Summe gibt

Beispiele & Aufgaben

Beispiel (Koordinatenraum)

Wir haben bereits den Koordinatenraum gesehen. Diesen kann man auch als direkte Summe, bei der alle Summanden gleich $K$ sind, auffassen. Es gilt also

${\begin{aligned}K^{n}:=\bigoplus _{i=1}^{n}K.\end{aligned}}$

Dies sieht man, indem man die Definitionen vergleicht.

Beispiel (Parametrisierung von Strecken)

Eine gerichtete Strecke im $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich durch ihren Start- und ihren Endpunkt charakterisieren. Diese beiden Punkte sind Elemente von $\mathbb {R} ^{3}$. Die Menge aller gerichteten Strecken ist also parametrisiert durch die direkte Summe $\mathbb {R} ^{3}\oplus \mathbb {R} ^{3}$.

Beispiel (Computerspiele)

Wir betrachten ein Online-Computerspiel, bei dem jeder Spieler eine 2D-Position hat. Wenn 100 Spieler online sind, können wir die Positionen aller Spieler als ein Element von $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Es ist üblich, dass nicht mehrmals pro Sekunde die Positionen aller Spieler neu übertragen werden, sondern stattdessen die Veränderung ihrer Position. Dies ist wiederum ein Element von $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$. Addiert man es (im Vektorraum $\bigoplus _{i=1}^{100}\mathbb {R} ^{2}$) zum alten Zustand, so erhält man den neuen Zustand.

Aufgabe (Rechenregeln)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $m,n\in \mathbb {N}$. Mache dir folgende "Rechenregeln" klar:

• die Vektorräume $V$ und $V\oplus 0$ "sind gleich",

wobei $0$ den Nullvektorraum bezeichnet.

• die Vektorräume $V^{n}\oplus V^{m}$ und $V^{n+m}$ "sind gleich".
• die Vektorräume $(V^{n})^{m}$ und $V^{nm}$ "sind gleich".

Vergleiche dies mit den Potenzgesetzen für natürliche Zahlen.

Lösung (Rechenregeln)

To-Do:

TODO

Hinweis

Für die folgenden beiden Aufgaben brauchst du den Begriff des Isomorphismus. Falls du diesen Begriff noch nicht kennst, kannst du diese Aufgaben getrost überspringen.

Aufgabe (Kommutativität)

Seien $V,W$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe kommutativ ist, d.h. dass $V\oplus W$ und $W\oplus V$ isomorph sind.

Lösung (Kommutativität)

To-Do:

TODO

Aufgabe (Assozitativiät)

Seien $V,W,X$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die direkte Summe assoziativ ist, d.h. dass $(V\oplus W)\oplus X$ und $V\oplus (W\oplus X)$ isomorph sind.

Lösung (Assozitativiät)

To-Do:

TODO

Unendliche viele Summanden

anhand von universeller eigenschaft, von der nur noch die Hälfte gilt; Beispiel Polynomring und Potenzreihenring (als Vektorräume)