Anwendungsbeispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:

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Dabei werden unter anderem folgende Fragen untersucht:[1]

  • Gibt es eine Lösung des Gleichungssystems (Existenz der Lösung)?
  • Gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems (Eindeutigkeit der Lösung)?
  • Gibt es mehrere (unendlich viele) Lösungen des Gleichungssystems?

Jede Lösung eines Gleichungssystems muss zugleich auch Lösung von jeder einzelnen Gleichung sein. Die Gleichungssysteme werden wir später genau untersuchen.

Geradengleichungen[Bearbeiten]

Die linearen Gleichungssysteme haben auch einen starken Bezug zur Geometrie. Stell dir zwei Geraden g und h im dreidimensionalen Raum vor. Für ihr Verhalten zueinander gibt es dann vier Möglichkeiten. Die beiden Geraden

  • schneiden sich in einem Punkt (eindeutige Lösung).
  • fallen vollständig zu einer Geraden zusammen (unendlich viele Lösungen).
  • sind parallel und haben somit keinen Schnittpunkt (keine Lösung).
  • sind windschief, also weder schneidend noch parallel (keine Lösung).

Seien und zwei Geraden durch den Punkt bzw. durch den Punkt und den Richtungsvektoren bzw. mit den laufenden Skalaren .

Zwei sich schneidende Geraden[1][Bearbeiten]

Seien und zwei gegebene Geraden.

Wollen wir prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, müssen wir die beiden Geraden gleichsetzen, wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:

Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung und und somit einen Schnittpunkt .

Durch Einsetzen der Koordinaten von S in die Gleichungen von g und h sieht man und .

Zwei windschiefe Geraden[1][Bearbeiten]

Seien nun

und

Wir wollen wieder untersuchen, ob sie einen Schnittpunkt haben. Wir erhalten damit das folgende Gleichungssystem:

Aus der Gleichung ergibt sich . Eingesetzt in die Gleichung I erhalten wir . Diese Gleichung ist aber nur für erfüllt. Damit ist auch .

Für die Gleichung II würde das bedeuten , was offensichtlich ein Widerspruch ist.

Also haben die beiden Geraden keinen Schnittpunkt und ihre beiden Richtungsvektoren sind offensichtlich nicht kollinear[2], damit sind die Geraden g und h windschief.