Anwendungsbeispiele – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Dabei werden unter anderem folgende Fragen untersucht:

• Gibt es eine Lösung des Gleichungssystems (Existenz der Lösung)?
• Gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems (Eindeutigkeit der Lösung)?
• Gibt es mehrere (unendlich viele) Lösungen des Gleichungssystems?

Jede Lösung eines Gleichungssystems muss zugleich auch Lösung von jeder einzelnen Gleichung sein. Die Gleichungssysteme werden wir später genau untersuchen.

Geradengleichungen

Die linearen Gleichungssysteme haben auch einen starken Bezug zur Geometrie. Stell dir zwei Geraden g und h im dreidimensionalen Raum vor. Für ihr Verhalten zueinander gibt es dann vier Möglichkeiten. Die beiden Geraden

• schneiden sich in einem Punkt (eindeutige Lösung).
• fallen vollständig zu einer Geraden zusammen (unendlich viele Lösungen).
• sind parallel und haben somit keinen Schnittpunkt (keine Lösung).
• sind windschief, also weder schneidend noch parallel (keine Lösung).

Seien $g:{\vec {X}}={\vec {P}}+\lambda {\vec {u}}$ und $h:{\vec {X}}={\vec {Q}}+\mu {\vec {v}}$ zwei Geraden durch den Punkt ${\vec {P}}$ bzw. durch den Punkt ${\vec {Q}}$ und den Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ bzw. ${\vec {v}}$ mit den laufenden Skalaren $\lambda ,\,\mu \in \mathbb {R}$.

Zwei sich schneidende Geraden

Seien $g:{\vec {X}}={\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}{2}\\{1}\\1\end{pmatrix}}$ und $h:{\vec {X}}={\begin{pmatrix}{-2}\\{0}\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}1\\0\\{1}\end{pmatrix}}$ zwei gegebene Geraden.

Wollen wir prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, müssen wir die beiden Geraden gleichsetzen, wodurch wir folgendes Gleichungssystem erhalten:

${\begin{aligned}I:\quad &1+2\lambda &=&\,{-2}+\mu \\II:\quad &1+\lambda &=&\,0\\III:\quad &3+\lambda &=&\,1+\mu \end{aligned}}$

Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung $\lambda =-1$ und $\mu =1$ und somit einen Schnittpunkt ${\vec {S}}={\begin{pmatrix}{-1}\\0\\2\end{pmatrix}}$.

Durch Einsetzen der Koordinaten von S in die Gleichungen von g und h sieht man $S\in g$ und $S\in h$.

Zwei windschiefe Geraden

Seien nun $g:{\vec {X}}={\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}{-2}\\{-3}\\1\end{pmatrix}}$

und $h:{\vec {X}}={\begin{pmatrix}1\\{-3}\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}{3}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}}$

Wir wollen wieder untersuchen, ob sie einen Schnittpunkt haben. Wir erhalten damit das folgende Gleichungssystem:

${\begin{aligned}I:\quad &1-2\lambda &=&\,{1}+3\mu \\II:\quad &4-3\lambda &=&\,{-3}+\mu \\III:\quad &1+\lambda &=&\,1-\mu \end{aligned}}$

Aus der Gleichung $III:1+\lambda =1-\mu$ ergibt sich $\lambda =-\mu$. Eingesetzt in die Gleichung I erhalten wir $I:1+2\mu =1+3\mu$. Diese Gleichung ist aber nur für $\mu =0$ erfüllt. Damit ist auch $\lambda =0$.

Für die Gleichung II würde das bedeuten $II:4={-3}$, was offensichtlich ein Widerspruch ist.

Also haben die beiden Geraden keinen Schnittpunkt und ihre beiden Richtungsvektoren sind offensichtlich nicht kollinear, damit sind die Geraden g und h windschief.