Monomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Mit Monomorphismen werden wir spezielle lineare Abbildungen kennen lernen, die lineare Unabhängigkeit erhalten.

Motivation[Bearbeiten]

Wir haben lineare Abbildungen kennengelernt als Funktionen zwischen Vektorräumen, die Linearkombinationen erhalten. Zur Wiederholung machen wir uns noch einmal klar was das bedeutet: Betrachten wir einen beliebigen Vektor aus einem Vektorraum . Wir können als Linearkombination anderer Vektoren darstellen. Dies funktioniert natürlich nicht immer, sondern nur wenn im Spann von liegt. Es gilt dann

, beziehungsweise .

Dabei sind (die Koeffizienten oder Skalare der Linearkombination) Elemente des zu Grunde liegenden Körpers. Die strukturerhaltenden Eigenschaften linearer Abbildungen garantieren nun, dass das Bild von mit denselben Koeffizienten als Linearkombination der Bilder von dargestellt werden kann. Ist also eine lineare Abbildung, dann gilt

Bleiben wir bei den Vektoren . Eine besonders wichtige Eigenschaft dieser Vektoren ist ihre lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit. Wie wir bereits wissen bezeichnet man eine endliche Menge von Vektoren genau dann als linear unabhängig, wenn ihre Linearkombinationen eindeutig sind. Formal drücken wir das so aus: heißen linear unabhängig genau dann, wenn

gilt. Für jeden Vektor gibt es dann also nur genau eine Darstellung als Linearkombination von .

Im Kontext der linearen Abbildungen stellt sich nun die Frage ob diese Eigenschaft bei einer linearen Abbildung erhalten bleibt oder nicht. Sind also die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter einer linearen Abbildung auch wieder linear unabhängig? Ein kurzes Beispiel zeigt, dass, wenn überhaupt, nicht jede lineare Abbildung diese Eigenschaft besitzt. Nicht alle linearen Abbildungen erhalten also lineare Unabhängigkeit.

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To-Do:

Beispiel: Wir betrachten drei linear unabhängige Vektoren aus dem :

Was muss also für eine lineare Abbildung gelten, damit lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt? Dazu nehmen wir an, dass linear unabhängig sind. Damit eine lineare Abbildung diese Eigenschaft erhält, muss nach unserer Definition der linearen Unabhängigkeit folgendes gelten:

Wir formen um:

Die Aussage, dass linear unabhängig sind, ist also gezeigt wenn

gilt. Um das zu zeigen, müssen wir natürlich unsere Annahme, dass linear unabhängig sind, verwenden. Wir wollen die vorherige Aussage also auf

zurückführen. Wir wissen, dass dafür eine oder mehrere spezielle Eigenschaften braucht. Wir wollen jetzt herausfinden welche Eigenschaft oder welche Eigenschaften das sind.

Es geht jetzt nur noch um die Funktion selbst, die Details der linearen Unabhängigkeit spielen also für diesen Schritt keine Rolle. Die Linearkombinationen sind in diesem Fall nur die Argumente der Funktion, wir können sie also einfach umbenennen: und . Genauso ist in diesem Kontext einfach nur eine Aussage, wir bezeichnen sie also einfach mit .

Wir stehen also vor folgender Frage: Welche Eigenschaft(en) braucht , damit wir aus die zu zeigende Aussage, also folgern können?

Tatsächlich reicht eine Eigenschaft dafür aus und wir kennen sie bereits: Es ist die Injektivität! Zur Wiederholung: Eine Funktion heißt genau dann injektiv, wenn für beliebige aus dem Definitionsbereich von gilt:

Also muss eine lineare Abbildung, um lineare Unabhängigkeit zu erhalten, injektiv sein. Injektive, lineare Abbildungen nennt man Monomorphismen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus ist eine injektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Für alle folgt also aus die Gleichheit .

Satz[Bearbeiten]

Satz (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Sei eine lineare Abbildung. Genau dann sind Bildvektoren für linear unabhängige Vektoren wieder linear unabhängig, wenn injektiv ist. erhält also genau dann lineare Unabhängigkeit, wenn ein Monomorphismus ist.

Beweis (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Beweisschritt: Ist injektiv, so sind alle Bildvektoren linear unabhängig, wenn linear unabhängig ist.

Seien beliebige linear unabhängige Vektoren aus dem Definitionsbereich . Seien nun Skalare mit

Wir wissen, dass ist ( bildet die Null auf die Null ab). Da injektiv ist, wird jedes Bildelement maximal einmal getroffen und damit wird nur die Null auf die Null abgebildet. Damit folgt aus der obigen Gleichung

Da linear unabhängig sind, kann es nur die triviale Darstellung der Null geben und somit sind alle Koeffizienten gleich Null:

Wir haben so gezeigt, dass aus folgt, dass alle sind. Damit sind die Bildvektoren linear unabhängig.

Beweisschritt: Sind alle linear unabhängig, wenn linear unabhängig ist, so ist injektiv.

Gehen wir nun davon aus, dass alle Mengen von Bilder linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig ist. Um zu zeigen, dass unter dieser Annahme injektiv sein muss, wählen wir zwei mit . Wir müssen nun zeigen .

Nehmen wir eine Basis des Definitionsbereiches . Dann gibt es und mit und . Es gilt:

Da eine Basis ist, ist diese Menge linear unabhängig. Damit ist nach Voraussetzung auch linear unabhängig. Da Linearkombinationen von linear unabhängigen Vektoren ist, folgt aus obiger Gleichung, dass bis ist. Damit ist aber auch

Wir haben gezeigt, dass aus die Gleichheit folgt. Dies beweist, dass injektiv ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Die Abbildung mit der folgenden Funktionsvorschrift ist ein Vektorraum-Monomorphismus:

Aus , folgt nämlich

Dann muss aber und sein und damit folgt die Gleichheit der Argumente . Dies zeigt, dass injektiv ist.

Zusammenhang mit Kern[Bearbeiten]

Alternative Herleitung des Monomorphismus[Bearbeiten]

  • Monomorphismen sind die lin Abbildungen, die lineare Unabhängigkeit erhalten. Neben der eindeutigen Darstellung von linearkombinationen kann die lin unabh. auch über die Nulldarstellung definitiert werden: linear unabhängig, wenn aus folgt, dass alle Koeffizienten sind.
  • Was wäre, wenn wir mit dieser Definition versucht hätten die Definition des Monomorphismus herzuleiten?
  • Also (mit v_i linear unabh.): Welche Eigenschaft braucht , damit aus folgt alle Koeefizienten gleich 0?
  • Ansatz
  • Umformung zu
  • Wenn wir nun zeigen können, dass ist, dann können wir mit dr linear Unabhängigkeit der v_i zeigen, dass alle sind, was auch die lineare unabhänggkeit der f(v_i) beweist.
  • Wir brauchen für f die zusätzliche eigenschaft: (injektivität mit f(x)=f(0))
  • Alternative

Definition des Kerns[Bearbeiten]

  • Herleitung zeigt, dass Elemente, die auf Null abgebildet werden wichtig sind
  • Eigener Name: Kern

Definition vom Kern

Alternative Definition Monomorphismus[Bearbeiten]

Alternative Definition mit

  • Kern trivial

Zusammenhang Kern mit Injektivität[Bearbeiten]

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige und mit folgt , wenn . Wenn wir nun wissen, dass für schon gilt, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Ausdem benutzen wir, dass nur der Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, dass , ist und damit . Folglich gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Nachweis eines Monomorphismus)

Zeige, dass für die Abbildung ein Monomorphismus ist. Auf diese Art und Weise kann man jeden Vektorraum injektiv in einen Vektorraum abbilden, falls ist.

Lösung (Nachweis eines Monomorphismus)

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To-Do:

Lösung ergänzen