Die quadratische Matrix und ihre Spezialfälle – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl heißen quadratische Matrizen. Eine typische quadratische Matrix hat die Gestalt:

Aufgrund ihrer speziellen Gestalt können nun unter den quadratischen Matrizen einige weitere interessante Spezialfälle auftreten.

Diagonalmatrizen[Bearbeiten]

Bei Diagonalmatrizen handelt es sich um quadratische Matrizen, die höchstens auf der Diagonalen (von links oben nach rechts unten) von Null verschiedene Einträge besitzen, d.h. falls .

Die allgemeine Gestalt der Diagonalmatrix ist:

Beispiel (Diagonalmatrix)

Wie wir später sehen werden, sind Diagonalmatrizen besonders wichtig, wenn wir sie als lineare Abbildung auf einem endlich dimensionalen Vektorraum verstehen. Die Matrixmultiplikation und die Berechnung der Inversen sind bei einer Diagonalmatrix einfacher durchzuführen als bei einer voll besetzten Matrix. Dies werden wir in den nächsten Kapiteln zeigen.

Einheitsmatrizen [Bearbeiten]

Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrizen. Sie ist nämlich diejenige Diagonalmatrix, bei der alle Einträge in der Diagonale gleich 1 sind, d.h.

und .

Die allgemeine Gestalt der Einheitsmatrix ist:

Definition (Kronecker-Symbol)

Wir definieren das Kronecker-Symbol für durch und .

D.h. das Kronecker-Symbol ist immer gleich 0, wenn es sich um zwei verschiedene Indizes handelt und gleich 1, bei gleichen Indizes. Dann lässt sich die Einheitsmatrix schreiben als .

Dreiecksmatrizen[Bearbeiten]

Unter einer Dreiecksmatrix wollen wir eine quadratische Matrix verstehen, die sich dadurch auszeichnet, dass alle Einträge unterhalb bzw. oberhalb der Hauptdiagonale null sind.

Sind die Einträge oberhalb der Hauptdiagonale gleich null, dann heißt die Matrix untere Dreiecksmatrix. Sind dagegen die Einträge unterhalb der Hauptdiagonale gleich null, dann heißt die Matrix obere Dreiecksmatrix.

Die allgemeine Gestalt der unteren Dreiecksmatrix ist:

Die allgemeine Gestalt der oberen Dreiecksmatrix ist:

Dreiecksmatrizen spielen unter anderem beim Lösen von Linearen Gleichungssystemen eine wichtige Rolle. Darauf gehen wir genauer in einem späteren Kapitel ein.

Symmetrische Matrizen[Bearbeiten]

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist, d.h. wenn gilt: Dies gilt genau dann, wenn .

Beispiel (Symmetrische Matrix)

Anschaulich bedeutet , dass die Einträge der Matrix längs der Diagonalen gespiegelt werden.

Schiefsymmetrische Matrizen[Bearbeiten]

Eine Matrix heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt: .

Anders formuliert: Die Matrix ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:

Beispiel (Schiefsymmetrische Matrix)

Die Matrix ist schiefsymmetrisch, da

Hinweis

Wie du an diesem Beispiel sehen kannst, besteht die Diagonale der Matrix nur aus Nullen. Da aber ist, muss notwendigerweise gelten , also

Das heißt jede schiefsymmetrische Matrix hat in der Diagonalen nur Nullen stehen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Das gilt nur, wenn . In Charakteristik 2 ist , also sind schiefsymmetrische Matrizen gleich den symmetrischen!

Warnung

Die Umkehrung gilt nicht!

Nicht jede Matrix, deren Einträge in der Diagonale nur aus Nullen bestehen, ist schiefsymmetrisch! Zum Beispiel ist die Matrix

nicht schiefsymmetrisch, denn es gilt: