Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die Sigma-Algebra der "allgemein guten" Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert. Jetzt zeigen wir: Zu diesen existiert eine Sigma-Algebra, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird !

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Versuchen Sie nicht, die folgenden Beweise auswendig zu lernen. Das ist zu viel und es wird in Prüfungen nicht abgefragt. Nur die Aussagen der Sätze sollten Sie kennen, mehr benötigen Sie nicht. Dennoch wollten wir alle nötigen Beweise detailliert notieren.

Konstruktionsidee der Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen"

Wir hatten zu einem Inhalt auf einem Halbring das äußere Maß $m^{\ast }$ konstruiert. Lebesgue definierte zudem ein inneres Maß und wenn inneres und äußeres Maß übereinstimmten, nannte er die Menge eine "gute" Menge oder messbar und hatte ihr Maß gefunden. Caratheodory verkürzte den Beweis, sodass nur eine Gleichung und das äußere Maß erforderlich sind. Die von Caratheodory geforderte Gleichung wollen wir uns nun zumindest plausibel machen. Wir müssen eine Sigma-Algebra $S^{\ast }$ konstruieren auf der $m^{\ast }$ sigma-additiv ist. Dabei müssen wir $m^{\ast }$ und $S^{\ast }$ aufeinander abstimmen:

$m^{\ast }$ soll mindestens additiv werden für Elemente aus $S^{\ast }$. Eine Forderung wäre z.B. "Betrachte für $S^{\ast }$ nur Elemente $A,B$ aus $W$, für die gilt"

$m^{\ast }(A\uplus B)=m^{\ast }(A)+m^{\ast }(B)$

Das ist fast richtig. Wir wollen noch das Komplement einbringen. Damit mit $A$ auch das Komplement von $A$ in $S^{\ast }$ ist, muss die Beziehung symmetrisch in $A$ und $A^{C}$ sein. Dazu verwenden wir, dass sich jede beliebige Menge $Q\in W$ disjunkt aufteilen lässt gemäß

$Q=(Q\cap A)\uplus (Q\cap A^{C})$

Wegen $(A^{C})^{C}=A$ ist die Forderung symmetrisch in $A$ und $A^{C}$

$Q=(Q\cap (A^{C})^{C})\uplus (Q\cap A^{C})$

Jetzt haben wir disjunkte Mengen und lassen die geforderte Additivität von $m^{\ast }$ einfließen, indem wir Elemente in $S^{\ast }$ zulassen, für die für alle $Q\in W$gilt:

$m^{\ast }(Q)=m^{\ast }(Q\cap A)+m^{\ast }(Q\cap A^{C})$

Das ist schon alles. Wir rechnen gleich nach: Die Mengen $A$, die bezüglich $m^{\ast }$ alle anderen Mengen $Q\subset W$ additiv aufteilen, bilden eine Sigma-Algebra. Allein die Wahl von $S^{\ast }$ und die Konstruktion von $m^{\ast }$ bedingt das, es geht nur $\emptyset \in H,m(\emptyset )=0$ und $m(A_{n})\geq 0$ ein in den Beweis. Der Halbring und die Additivität spielen noch keine Rolle.

Die Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen"

Wir haben im letzten Kapitel die Borelsche Sigma-Algebra der "guten Mengen" betrachtet und führen nun eine neue Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" ein. Was ist der Grund? Die Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" enthält (zum Glück) die Borelsche Sigma-Algebra, was wir im nächsten Kapitel zeigen. Sie ist aber noch etwas größer, was sich schon im dritten Punkt des folgenden Satzes andeutet: Sie enthält alle Teilmengen von Borel-Nullmengen. Das beweisen wir im Kapitel zur Vervollständigung von Maßen.

Satz

1. $S^{\ast }:=\{A\subset W|\ \forall Q\subset W:\ m^{\ast }(Q)=m^{\ast }(Q\cap A)+m^{\ast }(Q\cap A^{C})\}$

   ist eine Sigma-Algebra.

   Die Definition kombiniert wie oben beschrieben Additivität mit der Komplementbildung.

2. Gleichwertig ist die Definition über die Ungleichung
   $S^{\ast }:=\{A\subset W|\ \forall Q\subset W:\ m^{\ast }(Q)\geq m^{\ast }(Q\cap A)+m^{\ast }(Q\cap A^{C})\}$
3. Eine Menge $A$ mit $m^{\ast }(A)=0$ oder $m^{\ast }(A^{C})=0$ ist automatisch in der Sigma-Algebra $S^{\ast }$.

Beweis

0.) Gleichwertigkeit der Definition:

Wir können $Q$ umschreiben als abzählbare Vereinigung

${\begin{array}{rcl}Q&=&(Q\cap A)\uplus (Q\cap A^{C})\uplus \emptyset \uplus \ldots \end{array}}$

und die rechte Seite in $m^{\ast }$ einsetzen und die sigma-Subadditivität desw äußeren Maßes nutzen

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q)&=&m^{\ast }((Q\cap A)\uplus (Q\cap A^{C})\uplus \emptyset \uplus \ldots )\\&{\stackrel {\text{sigma-Subadditivität}}{\leq }}&m^{\ast }(Q\cap A)+m^{\ast }(Q\cap A^{C})+\underbrace {m^{\ast }(\emptyset )} _{=0}+\ldots \end{array}}$

Damit sehen wir, dass Kleinergleich automatisch gilt.

1.) Nullmengen(-Komplemente) sind "allgemein gute Mengen":

a) Sei $m^{\ast }(A)=0$. Wegen der Monotonie von $m^{\ast }$ und $Q\cap A\subset A$ gilt

$0{\stackrel {m^{\ast }{\text{ nicht-negativ}}}{\leq }}m^{\ast }(Q\cap A){\stackrel {\text{Monotonie}}{\leq }}m^{\ast }(A)=0$

und es folgt $m^{\ast }(Q\cap A)=0$. Das ergibt

$m^{\ast }(Q)\geq m^{\ast }(Q\cap A^{C})=\underbrace {m^{\ast }(Q\cap A)} _{=0}+m^{\ast }(Q\cap A^{C})$

und die Bedingung für die Zugehörigkeit zur Sigma-Algebra $S^{\ast }$ ist erfüllt.

b) Sei $m^{\ast }(A^{C})=0$. Wegen der Monotonie von $m^{\ast }$ und $Q\cap A^{C}\subset A^{C}$ gilt

$0{\stackrel {m^{\ast }{\text{ nicht-negativ}}}{\leq }}m^{\ast }(Q\cap A^{C}){\stackrel {\text{Monotonie}}{\leq }}m^{\ast }(A^{C})=0$

und es folgt $m^{\ast }(Q\cap A^{C})=0$. Das ergibt

$m^{\ast }(Q)\geq m^{\ast }(Q\cap A)=m^{\ast }(Q\cap A)+\underbrace {m^{\ast }(Q\cap A^{C})} _{=0}$

und die Bedingung für die Zugehörigkeit zur Sigma-Algebra $S^{\ast }$ ist erfüllt.

2.) Komplemente sind wieder "allgemein gute Mengen":

Zeige: Aus $A\in S^{\ast }$ folgt $A^{C}\in S^{\ast }$. So haben wir $S^{\ast }$ bewusst definiert, denn mit $(A^{C})^{C}=A$ folgt

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q\cap (A^{C})^{C})+m^{\ast }(Q\cap A^{C})&=&m^{\ast }(Q\cap A^{C})+m^{\ast }(Q\cap A)\\&{\stackrel {A\in S^{\ast }}{=}}&m^{\ast }(Q)\end{array}}$

3.) Durchschnitt und Vereinigung sind wieder "allgemein gute Mengen":

Zeige: Aus $A,B\in S^{\ast }$ folgt $A\cap B,A\cup B\in S^{\ast }$ Seien $A,B\in S^{\ast }$. Die Bedingung $B\in S^{\ast }$ angewendet auf $Q\cap (A^{C}\cup B^{C})$ ergibt folgende Beziehung

${\begin{array}{rcl}&&m^{\ast }(Q\cap (A\cap B)^{C})\\&=&m^{\ast }(Q\cap (A^{C}\cup B^{C}))\\&{\stackrel {\color {Red}B\in S^{\ast }}{=}}&m^{\ast }(Q\cap (A^{C}\cup B^{C})\ {\color {Red}\cap B})+m^{\ast }(Q\cap (A^{C}\cup B^{C})\ {\color {Red}\cap B^{C}})\\&=&m^{\ast }(Q\cap A^{C}\cap B)+m^{\ast }(Q\cap B^{C})\end{array}}$

Wir benutzen nun, dass $A,B\in S^{\ast }$ sind, setzen obige gerade erhaltene Gleichung ein und erhalten

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q)&{\stackrel {B\in S^{\ast }}{=}}&m^{\ast }(Q\cap B)+m^{\ast }(Q\cap B^{C})\\&{\stackrel {\color {Red}A\in S^{\ast }}{=}}&m^{\ast }(Q\cap B\ {\color {Red}\cap A})+m^{\ast }(Q\cap B\ {\color {Red}\cap A^{C}})+m^{\ast }(Q\cap B^{C})\\&{\stackrel {\text{siehe oben}}{=}}&m^{\ast }(Q\cap A\cap B)+m^{\ast }(Q\cap (A\cap B)^{C})\end{array}}$

Damit ist gezeigt, dass der Schnitt wieder in der Sigma-Algebra liegt

$A\cap B\in S^{\ast }$

Nach 2.) sind Komplemente wieder in $S^{\ast }$ und wir haben gerade gezeigt, dass Schnitte wieder in $S^{\ast }$ sind. Damit sind auch Vereinigungen in $S^{\ast }$ wegen

$A\cup B=(A^{C}\cap B^{C})^{C}\in S^{\ast }$

4.) Zeige folgende Additivität $m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }\left(Q\cap A_{i}\right)$:

Wir benötigen im nächsten Punkt 5.) folgende Beziehung

$m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }\left(Q\cap A_{i}\right)$

und verwenden Induktion, um sie zu zeigen.

n=2:

Da $A_{i}$ und $A_{j}$ disjunkt sind, liegt $A_{i}$ ganz im Komplement von $A_{j}$, in Formeln gilt

${\begin{aligned}A_{i}\uplus A_{j}=&(A_{i}^{C}\cap A_{j}^{C})^{C}\\A_{i}\cap A_{j}^{C}=&A_{i}\end{aligned}}$

Unter Verwendung der ersten Formel von 3.)

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q\cap (A\cap B)^{C})&=&m^{\ast }(Q\cap A^{C}\cap B)+m^{\ast }(Q\cap B^{C})\end{array}}$

mit $A=A_{i}^{C}$ und $B=A_{j}^{C}$ berechnen wir

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q\cap (A_{i}\uplus A_{j}))&{\stackrel {\text{Einsetzen}}{=}}&m^{\ast }(Q\cap (A_{i}^{C}\cap A_{j}^{C})^{C})\\&{\stackrel {{\text{Formel in }}3.)}{=}}&m^{\ast }(Q\cap (A_{i}^{C})^{C}\cap A_{j}^{C})+m^{\ast }(Q\cap (A_{j}^{C})^{C})\\&=&m^{\ast }(Q\cap \underbrace {A_{i}\cap A_{j}^{C}} _{=A_{i}})+m^{\ast }(Q\cap A_{j})\\&=&m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }(Q\cap A_{j})\end{array}}$

Das zeigt den Fall $n=2$.

n$\rightarrow$ n+1: Nun wenden wir einfache Induktion an, da die Vereinigung disjunkt ist

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }\left(Q\cap \left(A_{n+1}\uplus \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\right)&{\stackrel {{\text{Fall }}n=2}{=}}&m^{\ast }(Q\cap A_{n+1})+m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\\&{\stackrel {\text{Fall n}}{=}}&m^{\ast }(Q\cap A_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(Q\cap A_{i})\\&=&\sum _{i=1}^{n+1}m^{\ast }(Q\cap A_{i})\\\end{array}}$

und erhalten die Behauptung.

5.) Disjunkte abzählbare Vereinigungen sind "allgemein gute Mengen":

Zeige: Für $A_{i}\in S^{\ast }$ gilt $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in S^{\ast }$. Für die Zugehörigket zu der Sigma-Algebra $S^{\ast }$ müssen wir zeigen, dass

$m^{\ast }(Q)\geq m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\right)$

Da endliche Vereinigungen wieder in $S^{\ast }$ liegen, berechnen wir mit der in 4.) extra gezeigten Formel

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q)&{\stackrel {\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\in S^{\ast }}{=}}&m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)^{C}\right)\\&{\stackrel {4.)}{=}}&\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)^{C}\right)\end{array}}$

Da das Komplement die Enthalten-Relation umkehrt, gilt

${\begin{aligned}\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\subseteq &\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\\\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)^{C}\supseteq &\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\end{aligned}}$

und es folgt mit der Monotonie des äußeren Maßes

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q)&=&\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)^{C}\right)\\&{\stackrel {\text{Monotonie}}{\geq }}&\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\right)\end{array}}$

Im Grenzwert $n\rightarrow \infty$ bleibt das Größergleich-Zeichen erhalten und mit der Sigma-Subadditivität des äußeren Maßes folgt

${\begin{array}{rcl}m^{\ast }(Q)&{\stackrel {\lim _{n\rightarrow \infty }}{\geq }}&\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\right)\\&{\stackrel {\text{Sigma-Subadditivität}}{\geq }}&m^{\ast }\left(Q\cap \biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\right)\end{array}}$

Damit ist die definierende Ungleichung von $S^{\ast }$ erfüllt und disjunkte abzählbare Vereinigungen liegen wir in der Sigma-Algebra $S^{\ast }$.

6.) Abzählbare Vereinigungen sind "allgemein gute Mengen":

Wir können eine abzählbare Vereinigung als disjunkte abzählbare Vereinigung darstellen, indem wir zusätzlich endliche Schnitte und Komplemente verwenden:

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\biguplus _{i=1}^{\infty }\underbrace {\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)} _{\in S^{\ast }}\in S^{\ast }$

Wir haben gezeigt, dass die rechten Mengenoperationen alle das Ergebnis in der Sigma-Algebra $S^{\ast }$ belassen und damit sind disjunkte Vereinigungen wieder in der Sigma-Algebra. Die Formel wollen wir uns noch einmal schrittweise bewusst machen:

Eine zweifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$ und die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen:

$A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})$

Eine dreifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$, als die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen und also die Elemente in $A_{3}$, die nicht in $A_{1}$ oder $A_{2}$ liegen

$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})\uplus (A_{3}\cap A_{1}^{C}\cap A_{2}^{C})$

Eine $n$-fache Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)$

Eine abzählbare Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\biguplus _{i=1}^{\infty }\underbrace {\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)} _{\in S^{\ast }}\in S^{\ast }$

Da für $A,B\in S^{\ast }$ auch endliche Schnitte, Komplemente und abzählbare disjunkte Vereinigungen in $S^{\ast }$ sind, sind abzählbare Vereinigungen in $S^{\ast }$

Das äußere Maß ist auf den "allgemein guten Mengen" ein Maß!

Die passende Sigma-Algebra haben wir gefunden, denn

Satz (Auf $S^{\ast }$ ist $m^{\ast }$ ein Maß.)

$m^{\ast }|_{S^{\ast }}:S^{\ast }\rightarrow [0,\infty ]$

ist ein Maß.

Bisher gehten nur $\emptyset \in H;m(\emptyset )=0$ und $m(A_{n})\geq 0$ ein in den Beweis. Die Halbringeigenschaft und die Additivität von $m$ werden immer noch nicht benötigt.

Beweis (Auf $S^{\ast }$ ist $m^{\ast }$ ein Maß.)

:

Wir haben schon gezeigt:

${\begin{aligned}m^{\ast }(A)\geq &0\\m^{\ast }(\emptyset )=&0\\m^{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq &\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$

In 5.) des letzten Beweises haben wir gezeigt, dass gilt

${\begin{aligned}m^{\ast }(Q)\geq &\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }(Q\cap A_{i})+m^{\ast }\left(Q\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}\right)\end{aligned}}$

Setze für $Q$ nun $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}$ ein, so erhält man die andere Ungleichung

${\begin{aligned}m^{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq &\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }\left(\underbrace {\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\cap A_{i}} _{=A_{i}}\right)+m^{\ast }\left(\underbrace {\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\cap \left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)^{C}} _{=\emptyset }\right)\\=&\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }(A_{i})+m^{\ast }(\emptyset )\\=&\sum _{i=1}^{\infty }m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$