Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz über monotone Konvergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Nun können wir den ersten wichtigen Grenzwertsatz für das Maßintegral beweisen: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Der Satz über monotone Konvergenz[Bearbeiten]

Satz (Satz über monotone Konvergenz)

Sei eine monoton wachsende Folge in . Dann ist und Integral und Grenzwert lassen sich vertauschen

Beweis (Satz über monotone Konvergenz)

Unser Ziel ist es, eine monoton steigende Folge primitiver Funktionen zu konstruieren, die gegen geht. Gleichzeitig soll kleiner oder gleich sein für alle .

Für alle existiert eine monoton steigende Folge von primitiven Funktionen mit , d.h.

Die wachsen ggf. unterschiedlich schnell. Wir konstruieren aus ihnen eine gemeinsame monoton wachsende Folge primitiver Funktionen durch das Maximum der jeweils -ten Folgenglieder für die ersten Funktionen , in Formeln

Da die monoton wachsend in der ersten Komponente sind, gilt

Damit wird die Folge der ebenfalls monoton wachsend, da das Maximum über größere Elemente gebildet wird

Da monoton wachsend in ist, gilt für

Das gilt für alle und somit auch für das Maximum über alle diese Elemente

Die lassen sich gegenüber abschätzen für große zu

Die Ungleichung bleibt im Grenzwert erhalten und somit

d.h. die Folge der primitiven Funktionen geht monoton steigend gegen ! Damit ist das Integral von automatisch der Grenzwert der Integrale der

Mit der Monotonie des Integrales folgt aus

dann

was im Grenzwert erhalten bleibt:

Vertauschen von Reihe und Integral[Bearbeiten]

Satz

Für eine Folge in gilt und abzählbare Summe und Integral lassen sich vertauschen

Beweis

ist messbar und größer gleich Null und somit in . Da die Summe der ersten Folgenglieder aufsteigend gegen die abzählbare Summe der geht

lässt sich der Satz über monotone Konvergenz anwenden zu

Eine nicht-negative Funktion definiert ein Integral[Bearbeiten]

Mit einem messbaren und dem Maß lässt sich über das Integral ein neues Maß konstruieren:

Satz

Sei . Dann ist

ein Maß auf .

Beweis

Wir rechnen die Eigenschaften des Maßes nach: da und beide nicht-negativ sind, ist auch das Integral über nicht-negativ

Wegen

gilt und somit

Wegen der disjunkten Vereinigung gilt

da in der abzählbaren SUmme wegen der Disjunktheit der nur ein Term werden kann. Damit lassen sich abzählbsare Summe und Integral vertauschen

Aufgabe

a) Gilt und und ist sigma-endlich, so ist sigma-endlich.

b) Sei messbar und

Sei eine -Nullmenge. Dann folgt, dass eine -Nullmenge ist, in Formeln gilt

c) Sei und mit dem Zählmaß gegeben. Dann gilt

Beweis

a) Sei sigma-endlich. Dann mit und .

Da f nach Voraussetzung nicht den Wert Unendlich annimmt, lässt sich der Wertebereich von f in abzählbar vielen Schritten ausschöpfen: Wähle

Dann gilt und die Kombination beider Bedingungen ergibt

Damit ist monoton steigende, nicht-negative Funktionenfolge und der Satz über monotone Konvergnz ist anwendbar.

b)

c)