Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbarkeit und Erzeugendensysteme von Sigma-Algebren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Jetzt zeigen wir, dass es genügt, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Das ist entscheidend, da Sigma-Algebren sehr groß sein können und Erzeugendensysteme i.A. gut handhabbar sind. Erst mit dieser Aussage bekommen wir die Messbarkeit in der Praxis zu fassen.

Messbarkeit und Erzeugendensysteme[Bearbeiten]

Satz (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)

  1. erzeugt eine Sigma-Algebra auf

    ist eine Sigma-Algebra.

  2. Seien Messräume. Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen: Wird von erzeugt, d.h. , so gilt

Beweis (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)

1.:

a) Zeige: . Da folgt mit der Eigenschaft von , dass

Mit der Definition von ergibt sich .

b) Zeige: Komplemente sind in . Sei , d.h.

Da auch Komplemente enthält und da mit dem Komplement vertauscht, folgt

Das ist die Definition von .

c): Zeige: Abzählbare Vereinigungen sind in . Seien , d.h.

Da wieder Vereinigungen enthält und da mit den Vereinigungen vertauscht, folgt

Das ist die Definition von

2.:

"": Sei im Erzeugendensystem . Damit liegt es in der erzeugten Sigma-Algebra . Mit der Voraussetzung

gilt

"": Nach Voraussetzung gilt

Nach Definition sind somit alle in

Da eine Sigma-Algebra ist, die nun enthält, und die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt

Das bedeutet aber

Stetige Funktionen sind Borel-messbar[Bearbeiten]

Satz (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)

Jede stetige Funktion ist -messbar.

Beweis (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)

:

Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für sind

genügt es mit dem letzten Satz zu zeigen:

Ist offen, so ist auch offen.

Das ist gleichwertig zur Definition der Stetigkeit.


Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe

a) Sei und ein Erzeugendensystem. Dann gilt

b) Sei die Indikatorfunktion auf , d.h. für sonst. Welche Sigma-Algebra wird von auf erzeugt?

Beweis

a) Wir zeigen die Inklusion "", zeige dazu ist eine Sigma-Algebra: Wähle abzählbar viele Elemente aus dem Mengensystem au . Dann gibt es nach Definition der Umkehrabbildung mit

Da eine Sigma-Algebra ist, gilt und damit mit der Eigenschaft der Umkehrabbildung, mit Mengenoperationen zu vertausche,

Wegen gilt und damit ist auch die kleinste Sigma-Algebra, die enthält in der rechten Sigma-Algebra

Wir zeigen die Inklusion "" Zeige, das folgende Mengensystem ist eine Sigma-Algebra

Da die in liegt und da , gilt

Seien , d.h. . Da die rechte Seite eine Sigma-Algebra ist, gilt

Dann gilt nach Definition von

Für gilt und somit , insgesamt also

b) Für alle gilt

Somit ist die erzeugte Sigma-Algebra .

In Aufgabe 2 c) des letzten Kapitels war und die davon erzeugte Sigma-Algebra, deshalb passte es genau mit der Messbarkeit.

Rechnen mit Unendlich[Bearbeiten]

Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert annehmen, um Grenzwerte von Funktionenfolgen betrachten zu können. Dafür müssen wir Rechenregeln für vereinbaren.

Definition (Rechenregeln mit )

Die Null ist bei der Multiplikation stärker als Unendlich

Durch Null zu dividieren, ist dagegen nicht definiert: existiert nicht (es könnte je nach Annäherung an Null plus oder minus Unendlich sein.)

Unendlich kann man addieren und minus Unendlich kann man addieren

Nicht definiert ist dagegen (was sollte der Wert sein?)

Plus und minus Unendlich kann man multiplizieren

Nicht definiert sind

Die Borelsche Sigma-Algebra um Unendlich erweitert[Bearbeiten]

Bisher haben wir nicht als Funktionswerte verwendet, daher erweitern wir einfach zu

Unsere Borelsche Sigma-Algebra kann auch noch mit den Werten nicht umgehen. Wir erweitern sie also zu gemäß

Satz

Sei

Dann ist

eine Sigma-Algebra.

Beweis

:

a)

Da in liegt, folgt

b)

Sei . Das Komplement in (!) ist einfach

Da in der Sigma-Algebra liegt, ist auch . Es folgt

d.h. :

c)

Seien . Da eine Sigma-Algebra ist, ist die Vereinigung der in

Die Vereinigung der ist automatisch in

Es folgt

Erzeugendensysteme für [Bearbeiten]

Wir wollen die Messbarkeit bequem über Erzeugendensysteme zeigen. Nun benötigen wir ein gut handhabbares Erzeugendensystem für .

Satz

wird von

erzeugt, wobei

Beweis

:

Wir zeigen beide Inklusionen:

"": Da von den offenen Mengen erzeugt wird, gilt . Da eine Sigma-Algebra enthält sie auch abzählbare Schnitte offener Mengen, d.h.

Damit folgt

Da eine Sigma-Algebra ist, die somit enthält, und da die kleinste Sigma-Algebra ist, die enthält, folgt

"" Wegen

ist das Erzeugendensystem von in . Da eine Sigma-Algebra ist, ist auch

Da wir als abzählbare Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems schreiben können

gilt

Insgesamt folgt

Mit diesem Satz zeigen wir, dass es für die Messbarkeit genügt, die Mengen zu betrachten,

Numerische Funktionen[Bearbeiten]

Satz

Eine Funktion heißt numerische Funktion. Sie ist -messbar genau dann wenn

Beweis

Wir haben gezeigt, dass es genügt, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen. Wegen

und da von erzeugt wird, folgt die Behauptung.


Satz

Es gilt für

Damit war die Wahl von zum Überprüfen der Messbarkeit von künstlich. Mit einem anderen Erzeugendensystem hätte man auch die anderen Möglichkeiten wählen können.

Beweis

:

Wir führen den Beweis durch Ringschluss, d.h. wir zeigen

a) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist

b) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist

c) Gelte . Aus diesen lässt sich durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in ist

d) Gelte . Aus diesen lässt sich durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in ist

Damit ist der Ringschluss gezeigt.