In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.
Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien
Messräume. Wir definierten eine Abbildung
als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra
auf Mengen der Sigma-Algebra
abbildete. Jetzt zeigen wir, dass es genügt, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Das ist entscheidend, da Sigma-Algebren sehr groß sein können und Erzeugendensysteme i.A. gut handhabbar sind. Erst mit dieser Aussage bekommen wir die Messbarkeit in der Praxis zu fassen.
Satz (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)
-
erzeugt eine Sigma-Algebra auf
ist eine Sigma-Algebra.
-
Seien
Messräume. Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen: Wird
von
erzeugt, d.h.
, so gilt
Beweis (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)
Satz (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)
Jede stetige Funktion
ist
-messbar.
Beweis (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)
:
Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für
sind
genügt es mit dem letzten Satz zu zeigen:
Ist
offen, so ist auch
offen.
Das ist gleichwertig zur Definition der Stetigkeit.
Beweis
a) Wir zeigen die Inklusion "
", zeige dazu
ist eine Sigma-Algebra: Wähle abzählbar viele Elemente aus dem Mengensystem au
. Dann gibt es nach Definition der Umkehrabbildung
mit
Da
eine Sigma-Algebra ist, gilt
und damit mit der Eigenschaft der Umkehrabbildung, mit Mengenoperationen zu vertausche,
Wegen
gilt
und damit ist auch die kleinste Sigma-Algebra, die
enthält in der rechten Sigma-Algebra
Wir zeigen die Inklusion "
" Zeige, das folgende Mengensystem ist eine Sigma-Algebra
Da die
in
liegt und da
, gilt
Seien
, d.h.
. Da die rechte Seite eine Sigma-Algebra ist, gilt
Dann gilt nach Definition von
Für
gilt
und somit
, insgesamt also
b) Für alle
gilt
Somit ist die erzeugte Sigma-Algebra
.
In Aufgabe 2 c) des letzten Kapitels war
und
die davon erzeugte Sigma-Algebra, deshalb passte es genau mit der Messbarkeit.
Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert
annehmen, um Grenzwerte von Funktionenfolgen betrachten zu können. Dafür müssen wir Rechenregeln für
vereinbaren.
Definition (Rechenregeln mit
)
Die Null ist bei der Multiplikation stärker als Unendlich
Durch Null zu dividieren, ist dagegen nicht definiert:
existiert nicht (es könnte je nach Annäherung an Null plus oder minus Unendlich sein.)
Unendlich kann man addieren und minus Unendlich kann man addieren
Nicht definiert ist dagegen (was sollte der Wert sein?)
Plus und minus Unendlich kann man multiplizieren
Nicht definiert sind
Die Borelsche Sigma-Algebra um Unendlich erweitert
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Bisher haben wir
nicht als Funktionswerte verwendet, daher erweitern wir
einfach zu
Unsere Borelsche Sigma-Algebra
kann auch noch mit den Werten
nicht umgehen. Wir erweitern sie also zu
gemäß
Satz
Sei
Dann ist
eine Sigma-Algebra.
Beweis
:
a)
Da
in
liegt, folgt
b)
Sei
. Das Komplement in
(!) ist einfach
Da
in der Sigma-Algebra
liegt, ist auch
. Es folgt
d.h.
:
c)
Seien
. Da
eine Sigma-Algebra ist, ist die Vereinigung der
in
Die Vereinigung der
ist automatisch in
Es folgt
Erzeugendensysteme für 
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Wir wollen die Messbarkeit bequem über Erzeugendensysteme zeigen. Nun benötigen wir ein gut handhabbares Erzeugendensystem für
.
Satz
wird von
erzeugt, wobei
Beweis
:
Wir zeigen beide Inklusionen:
"
": Da
von den offenen Mengen erzeugt wird, gilt
. Da
eine Sigma-Algebra enthält sie auch abzählbare Schnitte offener Mengen, d.h.
Damit folgt
Da
eine Sigma-Algebra ist, die somit
enthält, und da
die kleinste Sigma-Algebra ist, die
enthält, folgt
"
" Wegen
ist das Erzeugendensystem von
in
. Da
eine Sigma-Algebra ist, ist auch
Da wir
als abzählbare Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems schreiben können
gilt
Insgesamt folgt
Mit diesem Satz zeigen wir, dass es für die Messbarkeit genügt, die Mengen
zu betrachten,
Satz
Eine Funktion
heißt numerische Funktion.
Sie ist
-messbar genau dann wenn
Beweis
Wir haben gezeigt, dass es genügt, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen. Wegen
und da
von
erzeugt wird, folgt die Behauptung.
Satz
Es gilt für
Damit war die Wahl von
zum Überprüfen der Messbarkeit von
künstlich. Mit einem anderen Erzeugendensystem hätte man auch die anderen Möglichkeiten wählen können.