Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbarkeit und Erzeugendensysteme von Sigma-Algebren – „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Jetzt zeigen wir, dass es genügt, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Das ist entscheidend, da Sigma-Algebren sehr groß sein können und Erzeugendensysteme i.A. gut handhabbar sind. Erst mit dieser Aussage bekommen wir die Messbarkeit in der Praxis zu fassen.

Messbarkeit und Erzeugendensysteme

Satz (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)

1. $X:(W,S)\rightarrow V$ erzeugt eine Sigma-Algebra auf $V$
   $S^{\ast }:=\{B\subset V|X^{-1}(B)\in S\}$

   ist eine Sigma-Algebra.

2. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Es reicht, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen: Wird $T$ von $E$ erzeugt, d.h. $T=S(E)$, so gilt
   $X:W\rightarrow V{\text{ ist messbar }}\iff \forall A\in E:X^{-1}(A)\in S$

Beweis (Messbarkeit und Erzeugendensysteme)

1.:

a) Zeige: $V\in S^{\ast }$. Da $W\in S$ folgt mit der Eigenschaft von $X^{-1}$, dass

$X^{-1}(V)=W\in S$

Mit der Definition von $S^{\ast }$ ergibt sich $V\in S^{\ast }$.

b) Zeige: Komplemente sind in $S^{\ast }$. Sei $A\in S^{\ast }$, d.h.

$X^{-1}(A)\in S$

Da $S$ auch Komplemente enthält und da $X^{-1}$ mit dem Komplement vertauscht, folgt

$X^{-1}(A^{C})=X^{-1}(A)^{C}\in S$

Das ist die Definition von $A^{C}\in S^{\ast }$.

c): Zeige: Abzählbare Vereinigungen sind in $S^{\ast }$. Seien $A_{i}\in S^{\ast }$, d.h.

$X^{-1}(A_{i})\in S$

Da $S$ wieder Vereinigungen enthält und da $X^{-1}$ mit den Vereinigungen vertauscht, folgt

$X^{-1}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\bigcup _{i=1}^{\infty }X^{-1}(A_{i})\in S$

Das ist die Definition von $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in S^{\ast }$

2.:

"$\Rightarrow$": Sei $A$ im Erzeugendensystem $E$. Damit liegt es in der erzeugten Sigma-Algebra $S(E)$. Mit der Voraussetzung

$\forall C\in S(E):X^{-1}(C)\in S$

gilt

$X^{-1}(A)\in S$

"$\Leftarrow$": Nach Voraussetzung gilt

$\forall A\in E:X^{-1}(A)\in S$

Nach Definition sind somit alle $A\in E$ in $S^{\ast }$

${\begin{aligned}\forall A\in E:A\in S^{\ast }\\E\subset S^{\ast }\end{aligned}}$

Da $S^{\ast }$ eine Sigma-Algebra ist, die nun $E$ enthält, und $S(E)$ die kleinste Sigma-Algebra ist, die $E$ enthält, folgt

$S(E)\subset S^{\ast }$

Das bedeutet aber

$\forall B\in T=S(E):X^{-1}(B)\in S$

Stetige Funktionen sind Borel-messbar

Satz (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)

Jede stetige Funktion $f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ ist $(\mathbb {B} ^{p},\mathbb {B} ^{k})$-messbar.

Beweis (Stetige Abbildungen sind Borel-messbar)

:

Da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem für $\mathbb {B} ^{k}$ sind

$S({\text{offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{k})=\mathbb {B} ^{k}$

genügt es mit dem letzten Satz zu zeigen:

Ist $U\subset \mathbb {R} ^{k}$ offen, so ist auch $f^{-1}(U)$ offen.

Das ist gleichwertig zur Definition der Stetigkeit.

Aufgabe 1

Aufgabe

a) Sei $f:W_{1}\rightarrow W_{2}$ und $E\subset Pot(W_{2})$ ein Erzeugendensystem. Dann gilt

$f^{-1}(S(E))=S(f^{-1}(E))$

b) Sei $f:W\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ die Indikatorfunktion auf $A\subset W$, d.h. $f(w)=1$ für $w\in A,f(w)=0$ sonst. Welche Sigma-Algebra wird von $f$ auf $W$ erzeugt?

Beweis

a) Wir zeigen die Inklusion "$\subset$", zeige dazu $f^{-1}(S(E))$ ist eine Sigma-Algebra: Wähle abzählbar viele Elemente aus dem Mengensystem au $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in f^{-1}(S(E))$. Dann gibt es nach Definition der Umkehrabbildung $B_{n}\in S(E)$ mit

$f^{-1}(B_{n})=A_{n}$

Da $S(E)$ eine Sigma-Algebra ist, gilt $B_{1}^{C},\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\in S(E)$ und damit mit der Eigenschaft der Umkehrabbildung, mit Mengenoperationen zu vertausche,

${\begin{aligned}W_{1}=&f^{-1}(W_{2})\in f^{-1}(S(E))\\A_{1}^{C}=&f^{-1}(B_{1})^{C}=f^{-1}(B_{1}^{C})\in f^{-1}(S(E))\\\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=&\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})=f^{-1}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\right)\in f^{-1}(S(E))\\\end{aligned}}$

Wegen $E\subset S(E)$ gilt $f^{-1}(E)\subset f^{-1}(S(E))$ und damit ist auch die kleinste Sigma-Algebra, die $f^{-1}(E)$ enthält in der rechten Sigma-Algebra

$S(f^{-1}(E))\subset f^{-1}(S(E))$

Wir zeigen die Inklusion "$\supset$" Zeige, das folgende Mengensystem ist eine Sigma-Algebra

$C:=\{B\subset W_{2}:\ f^{-1}(B)\in S(f^{-1}(E))\}$

Da die $W_{1}$ in $S(f^{-1}(E))$ liegt und da $f^{-1}(W_{2})=W_{1}$, gilt

$W_{2}\in C$

Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ B_{n}\in C$, d.h. $f^{-1}(B_{n})\in S(f^{-1}(E))$. Da die rechte Seite eine Sigma-Algebra ist, gilt

${\begin{aligned}f^{-1}(B_{1}^{C})=&f^{-1}\left(B_{1}\right)^{C}\in S(f^{-1}(E))\\f^{-1}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\right)=&\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}\left(B_{n}\right)\in S(f^{-1}(E))\end{aligned}}$

Dann gilt nach Definition von $C$

$f^{-1}(C)\subset S(f^{-1}(E))$

Für $E$ gilt $E\subset C$ und somit $S(E)\subset C$, insgesamt also

$f^{-1}(S(E))\subset S(f^{-1}(E))$

b) Für alle $B\in \mathbb {B}$ gilt

$f^{-1}(B)={\begin{cases}\emptyset &0,1\not \in B\\A&1\in B,0\not \in B\\A^{C}&0\in B,1\not \in B\\W&0,1\in B\end{cases}}$

Somit ist die erzeugte Sigma-Algebra $\{\emptyset ,A,A^{C},W\}$.

In Aufgabe 2 c) des letzten Kapitels war $A=\{0,1,2\}$ und $S_{1}$ die davon erzeugte Sigma-Algebra, deshalb passte es genau mit der Messbarkeit.

Rechnen mit Unendlich

Wir benötigen Funktionen, die auch den Wert $\pm \infty$ annehmen, um Grenzwerte von Funktionenfolgen betrachten zu können. Dafür müssen wir Rechenregeln für $\infty$ vereinbaren.

Definition (Rechenregeln mit $\infty$)

Die Null ist bei der Multiplikation stärker als Unendlich

$0\cdot \infty =0=\infty \cdot 0$

Durch Null zu dividieren, ist dagegen nicht definiert: ${\frac {1}{0}}$ existiert nicht (es könnte je nach Annäherung an Null plus oder minus Unendlich sein.)

Unendlich kann man addieren und minus Unendlich kann man addieren

${\begin{aligned}\infty +\infty =\infty \\-\infty -\infty =-\infty \end{aligned}}$

Nicht definiert ist dagegen (was sollte der Wert sein?)

$\infty -\infty$

Plus und minus Unendlich kann man multiplizieren

${\begin{aligned}\infty \cdot \infty =\infty \\\infty \cdot (-\infty )=-\infty =(-\infty )\cdot \infty \\(-\infty )\cdot (-\infty )=\infty \end{aligned}}$

Nicht definiert sind

${\frac {\infty }{\infty }},{\frac {1}{\infty }},{\frac {1}{-\infty }},$

Die Borelsche Sigma-Algebra um Unendlich erweitert

Bisher haben wir $\pm \infty$ nicht als Funktionswerte verwendet, daher erweitern wir $\mathbb {R}$ einfach zu

${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \uplus \{-\infty ,\infty \}$

Unsere Borelsche Sigma-Algebra $\mathbb {B}$ kann auch noch mit den Werten $\pm \infty$ nicht umgehen. Wir erweitern sie also zu ${\overline {\mathbb {B} }}$ gemäß

Satz

Sei

${\begin{aligned}{\overline {\mathbb {R} }}:=&\mathbb {R} \uplus \{-\infty ,\infty \}\\U:=&\{\emptyset ,\{\infty \},\{-\infty \},\{-\infty ,\infty \}\}\end{aligned}}$

Dann ist

${\overline {\mathbb {B} }}:=\left\{A\uplus D:\ A\in \mathbb {B} ,D\in U\right\}$

eine Sigma-Algebra.

Beweis

:

a)

Da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {B}$ liegt, folgt

${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \uplus \{-\infty ,\infty \}\in {\overline {\mathbb {B} }}$

b)

Sei $A\uplus D\in {\overline {\mathbb {B} }}$. Das Komplement in ${\overline {\mathbb {R} }}$ (!) ist einfach

$(\mathbb {R} \uplus \{\infty ,-\infty \})\backslash (A\uplus D)=(\mathbb {R} \backslash A)\uplus (\{\infty ,-\infty \}\backslash D)$

Da $A$ in der Sigma-Algebra $\mathbb {B}$ liegt, ist auch $\mathbb {R} \backslash A\in \mathbb {B}$. Es folgt

$\left(\mathbb {R} \uplus \{\infty ,-\infty \}\right)\backslash (A\uplus D)=\underbrace {\mathbb {R} \backslash A} _{\in \mathbb {B} }\uplus \underbrace {\{\infty ,-\infty \}\backslash D} _{\in U}\in {\overline {\mathbb {B} }}$

d.h. $(A\uplus D)^{C}\in {\overline {\mathbb {B} }}$:

c)

Seien $A_{i}\uplus D_{i}\in {\overline {\mathbb {B} }}$. Da $\mathbb {B}$ eine Sigma-Algebra ist, ist die Vereinigung der $A_{i}$ in $\mathbb {B}$

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathbb {B}$

Die Vereinigung der $D_{i}$ ist automatisch in

$\{\emptyset ,\{\infty \},\{-\infty \},\{-\infty ,\infty \}\}$

Es folgt

$\bigcup _{i=1}^{\infty }(A_{i}\uplus D_{i})=\underbrace {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} _{\in \mathbb {B} }\uplus \underbrace {\bigcup _{i=1}^{\infty }D_{i}} _{\in U}\in {\overline {\mathbb {B} }}$

Erzeugendensysteme für ${\overline {\mathbb {B} }}$

Wir wollen die Messbarkeit bequem über Erzeugendensysteme zeigen. Nun benötigen wir ein gut handhabbares Erzeugendensystem für ${\overline {\mathbb {B} }}$.

Satz

${\overline {\mathbb {B} }}$ wird von

$E=\{[t,\infty ]:t\in \mathbb {R} \}$

erzeugt, wobei

$[t,\infty ]=\{x\in \mathbb {R} :x\geq t\}\cup \{\infty \}$

Beweis

:

Wir zeigen beide Inklusionen:

"$\subset$": Da $\mathbb {B}$ von den offenen Mengen erzeugt wird, gilt $(t,\infty )\in \mathbb {B}$. Da $\mathbb {B}$ eine Sigma-Algebra enthält sie auch abzählbare Schnitte offener Mengen, d.h.

$[t,\infty )=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(t-{\frac {1}{n}},\infty \right)\in \mathbb {B}$

Damit folgt

${\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} :\ \{x\in \mathbb {R} :x\geq t\}\cup \{\infty \}\in {\overline {\mathbb {B} }}\\E\subset {\overline {\mathbb {B} }}\end{aligned}}$

Da ${\overline {\mathbb {B} }}$ eine Sigma-Algebra ist, die somit $E$ enthält, und da $S(E)$ die kleinste Sigma-Algebra ist, die $E$ enthält, folgt

$S(E)\subset {\overline {\mathbb {B} }}$

"$\supset$" Wegen

${\begin{aligned}\lbrack a,b)=&\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}\\=&\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\}\cup \{\infty \}\backslash \left(\{x\in \mathbb {R} :b\leq x\}\cup \{-\infty \}\right)\\=&[a,\infty ]\cap [b,\infty ]^{C}\in S(E)\end{aligned}}$

ist das Erzeugendensystem von $\mathbb {B}$ in $S(E)$. Da $S(E)$ eine Sigma-Algebra ist, ist auch

$\mathbb {B} \subset S(E)$

Da wir $\pm \infty$ als abzählbare Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems schreiben können

${\begin{aligned}\{\infty \}:=&\bigcap _{n=1}^{\infty }[n,\infty ]\in S(E)\\\{-\infty \}:=&\bigcap _{n=1}^{\infty }[-\infty ,-n)=\bigcap _{n=1}^{\infty }[n,\infty ]^{C}\in S(E)\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}U\subset &S(E)\end{aligned}}$

Insgesamt folgt

${\overline {\mathbb {B} }}=\mathbb {B} \uplus U\subset S(E)$

Mit diesem Satz zeigen wir, dass es für die Messbarkeit genügt, die Mengen $\{f\geq t\}$ zu betrachten,

Numerische Funktionen

Satz

Eine Funktion $f:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ heißt numerische Funktion. Sie ist $(S,{\overline {\mathbb {B} }})$-messbar genau dann wenn

$\forall t\in \mathbb {R} :\{f\geq t\}\in S$

Beweis

Wir haben gezeigt, dass es genügt, die Messbarkeit auf einem Erzeugendensystem zu überprüfen. Wegen

$\{f\geq t\}=\{w\in W:f(w)\in [t,\infty ]\}=f^{-1}\{[t,\infty ]\}$

und da ${\overline {\mathbb {B} }}$ von $E=\{[t,\infty ]:t\in \mathbb {R} \}$ erzeugt wird, folgt die Behauptung.

Satz

Es gilt für $f:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

${\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\geq t\}\in S\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f>t\}\in S\\\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\leq t\}\in S\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f<t\}\in S\end{aligned}}$

Damit war die Wahl von $\{f\geq t\}$ zum Überprüfen der Messbarkeit von $f$ künstlich. Mit einem anderen Erzeugendensystem hätte man auch die anderen Möglichkeiten wählen können.

Beweis

:

Wir führen den Beweis durch Ringschluss, d.h. wir zeigen

${\begin{aligned}&\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\geq t\}\in S\Rightarrow \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f>t\}\in S\\\Rightarrow &\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\leq t\}\in S\Rightarrow \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f<t\}\in S\\\Rightarrow &\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\geq t\}\end{aligned}}$

a) Gelte $\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\geq t\}\in S$. Aus diesen lässt sich $\{f>t\}$ durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in $S$ ist

$\{f>t\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{f\geq t+{\frac {1}{n}}\right\}\in S$

b) Gelte $\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f>t\}\in S$. Aus diesen lässt sich $\{f\leq t\}$ durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in $S$ ist

$\{f\leq t\}=\{f>t\}^{C}\in S$

c) Gelte $\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\leq t\}\in S$. Aus diesen lässt sich $\{f<t\}$ durch abzählbare Vereinigung konstruieren, die somit wieder in $S$ ist

$\{f<t\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{f\leq t-{\frac {1}{n}}\right\}\in S$

d) Gelte $\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f<t\}\in S$. Aus diesen lässt sich $\{f\geq t\}$ durch Komplementbildung konstruieren, die somit wieder in $S$ ist

$\{f\geq t\}=\{f<t\}^{C}\in S$

Damit ist der Ringschluss gezeigt.