Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Produktmaße – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden. Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt.

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Wir hatten zu Anfang bewusst Rechtecke und Quader definiert, um damit Flächen und Volumina zu berechnen und z.B. ein eindeutiges Lebesguemaß auf und gefunden. Das Integral bezog sich bisher aber nur auf den eindimensionalen Fall. Das wollen wir nun ändern, wir wollen im mehrdimensionalen integrieren. Von einem Element aus der Sigma-Algebra auf dem -dimensionalen Raum können wir den Schnitt betrachten und landen im Raum mit einer Dimension geringer. Erstaunlicherweise liegt dieser Schnitt in der Sigma-Algebra des Teilraumes. Ein Beispiel dazu bietet eine Fläche im (aus der Sigma-Algebra , deren Schnitt automatisch in der Sigma-Algebra liegt. Mehr noch: Wir erhalten eine Funktion, indem wir eine messbare Fläche schneiden und die Länge des Schnitts als Funktionswert nehmen. Und diese FUnktion ist messbar! Man kann sie also integrieren. Das Integral darüber ergibt genau das bekannte Maß der Ursprungsfläche. Wir haben also einen Rechenweg gefunden, wie wir das Maß von messbaren Flächen oder auch Volumina ausrechnen können mittels Integration.

In diesem Kapitel seien Maßräume. Auf dem Produktraum

soll ein Maß definiert werden, sodass für die verallgemeinerten Quader mit gilt:

Das ist genau das Produkt der Seitenlängen, eben gemessenen mit den Maßen

Dazu betrachtet man die

Die Produkt-Sigma-Algebra[Bearbeiten]

Definition (Produkt-Sigma-Algebra)

Die Produkt-Sigma-Algebra ist definiert als die von den einzelnen Mengen erzeugte Sigma-Algebra:

Wenn die Erzeugendensysteme die Räume ausschöpfen, lässt sich die Produkt-Sigma-Algebra auch durch verallgemeinerte "endliche" Quader beschreiben:

Satz

Seien Erzeugendensysteme von und für gebe es eine Folge in mit . Dann gilt

Beweis

Zeige: die jeweiligen Erzeugendensystem sind in der anderen Sigma-Algebra enthalten.

:

:

Eindeutigkeit des Produktmaßes[Bearbeiten]

Nun können wir den Eindeutigkeitssatz sofort anwenden:

Satz (Eindeutigkeit)

Die Erzeugendensysteme seien durchschnittsstabil und sigma-endlich, d.h. es gebe Folgen endlichen Maßes, die ganz ausschöpfen, in Formeln

Dann gibt es höchstens ein Maß auf mit

Beweis (Eindeutigkeit)

Setze als Erzeugendensytem

Seien . Da die einzelnen Erzeugendesysteme durchschnittsstabil sind, gilt

und somit ist das Erzeugendensystem durchschnittsstabil: .

Sei beliebig. Da die ganz ausschöpfen, gibt es für jedes ein , sodass . Für ist

und somit wird ausgeschöpft durch

Damit lässt ist das Maß eindeutig auf fortsetzen.

Schnitte vertauschen mit Mengenoperationen[Bearbeiten]

Satz

Für ein Element sind die Schnitte wieder in bzw :

Sei beliebig. Seine Schnitte bei seien

Dann lassen sich Komplementbildung und abzählbare Vereinigung mit dem Schnitt vertauschen und die sind für alle in der Sigma-Algebra .

Beweis

1.):

Sei fest. Wegen der Darstellung

und

gilt

2.):

Mit der Defintion und da die Vereinigung sagt, dass ein Element in einer der Mengen der Vereinigung liegt, gilt

3.):

Sei beliebig. Dann konstruieren wir aus eine neue Sigma-Algebra über durch

, da

Sei . Mit 1.) gilt

Es folgt, dass das Komplement in ist: :

Seien . Mit 2.) gilt

Es folgt, dass die Vereinigung in ist: :

Seien . Dann gilt

Damit ist das Erzeugendensystem von in : .

Da , die Sigma-Algebra ist, die von erzeugt wird und eine Sigma-Algebra ist, die das Erzeugendensystem enthält, gilt

Insbesondere gilt die Behauptung für alle

4.):

Analog für .

Die Länge der Schnitte ist eine messbare Funktion[Bearbeiten]

Wir haben gerade gezeigt, dass die Schnitte bei in der Sigma-Algebra des Teilraumes enthalten sind. Damit kann das Maß des Teilraumes darauf angewendet werden für jedes . Wir erhalten also eine Funktion, die jedem einen Wert zuordnet. Wir zeigen jetzt: diese ist messbar. Im daraufolgenden Satz wollen wir diese messbare Funktion über integrieren und erhalten ein Maß auf !

Satz

Gibt es für sigma-endliche Folgen und mit und für alle , so sind für alle die Funktionen

bzw. -messbar

Beweis

1.) Der endliche Fall :

Wir haben im letzten Satz gezeigt, dass . Damit ist

definiert.

Da wir es mit einem Maß zu tun haben, konstruieren wir uns ein Dynkinsystem der Mengen , sodass messbar ist.

Wir zeigen dann, dass durchschnittstabil ist; damit ist es eine Sigma-Algebra. Danach zeigen wir, dass es das Erzeugendensystem von enthält und somit enthält es die kleinste solche Sigma-Algebra .

Wir rechnen die Eigenschaften des Dynkinsystems nach: : da die konstante Funktion messbar ist:

Aus folgt : Da und die konstante Funktion messbar sind, ist auch messbar. Dabei wird verwendet, dass Komplement und Schnitt vertauschen:

Aus folgt : Da messbar ist, ist messbar. Dabei wird verwendet, dass abzählbare Vereinigung und Schnitt vertauschen und dass sigma-aditiv ist.

Jetzt zeigen wir, dass das Erzeugendensystm von in ist: Für ist . Dabei verwenden wir dass messbar ist wegen und dass endlich ist.

messbar. Da das Erzeugendensystem E durchschnittsstabil ist,

ist durchschnittsstabil und damit eine Sigma-Algebra, die enthält, also insbesodnre enthält.

d.h. für alle ist -messbar.

Für geht der Beweis völlig analog.

2.) Der sigma-endliche Fall Folge in mit :

Wir schneiden alle Mengen erst mit den , sodass wir ein endliches Maß erhalten, siehe unten im Kapitel der Eindeutigkeit der Maßfortsetzung. Wir erhalten also ein neues endliches Maß durch

Das ist definiert, da .

1.) wurde allgemein für endliches Maße bewiesen, also ist es auch gültig für . Somit ist

-messbar. Das Supremum der messbaren Funktionen ist wieder messbar und da die ausschöpfen gleich

Damit ist messbar.

Berechnungsformel für das Produktmaß[Bearbeiten]

Wir haben jetzt die Messbarkeit der gezeigt und können diese nun integrieren. Damit erhalten wir eine explizite Berechnungsformel für das Maß auf Die Eindeutigkeit haben wir schon bewiesen.

Satz (Existenz)

In gebe es sigma-endliche Folgen mit .

Dann gibt es genau ein Maß auf mit

für und für jede Menge gilt:

und es gibt eine sigma-endliche Folge in mit und

Dieses eindeutige Maß heißt Produktmaß.

Schreibweise:

Beweis (Existenz)

:

ist -messbar und deshalb ist die Funktion

definiert.

Wir zeigen ist ein Maß auf . Seien . Wir rechnen die Eigenschaften des Maßes nach und verwenden, dass der Schnitt mit der abzählbaren Vereinigung vertauscht.

Für gilt

Damit ist das Maß das gesuchte. Die Eindeutigkeit haben wir schon ganz am Anfang des Kapitels gezeigt.

Analog ist

ein solches Maß. Nach der Eindeutigkeit folgt

Wir haben eine sigma-endliche Folge im Erzeugendensystem, für

gilt

Satz

Man erhält so erneut eine Konstruktion des Maßes auf aus dem Maß auf .

Beweis

Rechenregel zur Integration über das Produktmaß[Bearbeiten]

Satz

Es ist egal, in welcher Reihenfolge man integriert:

Seien mit sigma-endlichen Folgen mit und

messbar.

1.) Dann sind

messbar und es gilt

2.) Ist integrierbar, so sind integrierbar für -fast alle und es gilt dieselbe Gleichheit.

Beweis

:

Für die Indikatorfunktion haben wir es im letzten Satz gezeigt. Nun setzen wir es fort auf primitive, nicht-negative messbare und dann auf integrierbare Funktionen.

Für gilt

und somit

Seien . Dann ist und Wir benutzen zweimal die Stetigkeit von unten und erhalten

Analog für das andere Integral.

:

Betrag, Positivteil und Negativteil vertauschen mit dem Schnitt

Nach 1.) gilt

Damit ist

integrierbar.