Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Vertauschen von Integral und Ableitung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden. Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt. Und wir haben einen Weg gefunden, über schrittweise eindimensionale Integration zum Integral über ein Maß auf einem mehrdimensionalen Raum zu gelangen.

Vertauschen von Grenzwert und Integral

Sei $(W,S,m)$ gegeben. Wir hatten zwei Sätze kennengelernt, wobei wir für Funktionenfolgen $f_{n}(w)$ Grenzwert und Integral vertauschen konnten. Nun nehmen wir noch einen metrischen Raum $T$ hinzu und betrachten Funktionen $f:T\times W\rightarrow \mathbb {K}$. Statt des Indexes $n$ haben wir also eine Variable $t$. Um den Grenzwert nachzurechnen, verwenden wir das Folgenkriterium und können auf die Funktionenfolge $f_{n}(w)=f(t_{n},w)$ den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden.

Satz (Vertauschen von Grenzwert und Integral)

Sei $(W,S,m)$ und ein $T$ metrischer Raum $T$. Für $f:T\times W\rightarrow \mathbb {K}$ gelte

a) Das Integral über $W$ lässt sich für alle $t$ ($\in B(t_{0},\delta )$) hinschreiben

$\forall t\in T:\ f(t,\cdot )\in L^{1}$

b) Damit das Integral stetig in $t_{0}$ wird, fordern wir die Stetigkeit in der ersten Komponente: Für $m$-fast alle $w\in W$ gilt

$f(\cdot ,w):T\rightarrow \mathbb {K} {\text{ ist stetig in }}t_{0}\in T$

c) Damit wir den Satz über majorisierte Konvergenz anwenden können, fordern wir: Es gibt ein $\delta >0$ und eine integrierbare Funktion $g\geq 0$ mit

$\forall t\in B(t_{0},\delta ):\ |f(t,\cdot )|\leq g{\text{ m-fast überall}}$

Dann ist das Integral und die Einschränkung auf die erste Komponente

${\begin{array}{l}F:T\rightarrow \mathbb {K} ,t\mapsto \int _{W}f(t,w)dm(w)\\G:T\rightarrow L^{1},t\mapsto \left(f(t,\cdot ):W\rightarrow \mathbb {W} ,(t,w)\mapsto f(t,w)\right)\end{array}}$

stetig in $t_{0}\in T$

Beweis (Vertauschen von Grenzwert und Integral)

Seien $t_{n}\in B(t_{0},\delta )$ mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }t_{n}=t_{0}$

Nach Voraussetzung a) sind die Integrale für $t_{n}$ definiert.

Wegen $|f(t_{n},\cdot )|\leq g\ m$ -fast überall, lässt sich der Satz über majorisierte Konvergenz auf die Funktionenfolge $(f(t_{n},\cdot ))_{n}$ anwenden und Grenzwert und Integral vertauschen.

Mit b) ist $f(\cdot ,\cdot )$ stetig in $t_{0}$ für alle $w\in W$.

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{W}\underbrace {f(t_{n},w)} _{\in L^{1}{\text{ nach a)}}}dm(w){\stackrel {|f(t_{n},\cdot )|\leq g{\text{ nach c)}}}{=}}&\int _{W}\lim _{n\rightarrow \infty }f(t_{n},w)dm(w)\\{\stackrel {{\text{stetig in }}t_{0}{\text{ nach b)}}}{=}}&\int _{W}f(t_{0},w)dm(w)\end{aligned}}$

Vertauschen von Integral und Ableitung

Satz (Vertauschen von Integral und Ableitung)

Sei $(W,S,m)$ und $I\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $t\in I$. Für $f:I\times W\rightarrow \mathbb {K}$ fordern wir

a) Man kann das Integral über $W$ für $t\in I$ hinschreiben: $\forall t\in I:f(t,\cdot )\in L^{1}$

b) Man kann ${\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},w)$ über $W$ integrieren

$\forall w\in W$ existiert ${\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},w)$

c) Der Satz über majorisierte Konvergenz lässt sich anwenden und Grenzwert und Integral vertauschen: Es gibt ein $\delta >0$ und ein integrierbares $g\geq 0$ mit

$\forall t\in I\cap B(t_{0},\delta ),t\neq t_{0}:\left|{\frac {f(t,w)-f(t_{0},w)}{t-t_{0}}}\right|\leq g(w){\text{ m-fast überall}}$

Dann ist ${\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},w):W\rightarrow \mathbb {K}$ integrierbar und

$F:I\rightarrow \mathbb {K} ,t\mapsto \int _{W}f(t,w)dm(w)$

in $t_{0}$ (ggf. einseitig) differenzierbar und es gilt

$\left.{\frac {d}{dt}}\int _{W}f(t,x)dm(x)\right|_{t=t_{0}}=\int _{X}{\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},x)dm(x)$

Beweis (Vertauschen von Integral und Ableitung)

Wähle eine Folge $(t_{n})_{n}$ die gegen $t_{0}$ konvergiert, aber ungleich $t_{0}$ ist: Sei $\lim _{n\rightarrow \infty }t_{n}=t_{0}$ mit $t_{0}\neq t_{n}\in B(t_{0},\delta )$. Dann gilt mit der Definition des Differenzenquotienten und der Linearität des Integrales

${\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\int _{W}\underbrace {f(t,x)} _{\in L^{1}}dm(w)\right|_{t=t_{0}}&{\stackrel {Def}{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{X}f(t_{n},x)dm(w)-\int _{X}f(t_{0},x)dm(w)}{t_{n}-t_{0}}}\\&{\stackrel {\text{Linearität}}{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}{\frac {f(t_{n},x)-f(t_{0},x)}{t_{n}-t_{0}}}dm(x)\end{aligned}}$

Wendet man nun den Satz über majorisierte Konvergenz an, vertauschen Integral und Grenzwert und man erhält mit der Definition der partiellen Differenzierbarkeit die Aussage

${\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\int _{W}f(t,x)dm(w)\right|_{t=t_{0}}{\stackrel {|\cdot |\leq g}{=}}&\int _{W}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(t_{n},w)-f(t_{0},w)}{t_{n}-t_{0}}}dm(x)\\=&\int _{X}{\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},x)dm(x)\end{aligned}}$

Satz

Dieselben Aussagen gelten mit folgenden b) und c):

b)

$\exists \delta >0\ \forall w\in W\ \forall t\in B(t_{0},\delta ):\ {\frac {\partial f}{\partial t}}(t,w){\text{ existiert und ist stetig in }}t_{0}$

c) es gibt ein integrierbares $g\geq 0$ mit

$\forall W\in W\ \forall t\in B(t_{0},\delta ):\ \left|{\frac {\partial f}{\partial t}}(t,w)\right|\leq g(w)$

(erneut wird der Satz über majorisierte Konvergenz angewendet)

Beweis

Da mit b) die partielle Ableitung existiert und steitg ist, gibt es für alle $w\in W$ ein $s_{n,w}\in B(t_{0},\delta )$ mit $|t_{0}-s_{n}|\leq |t_{0}-t_{n}|$. und

$\left|{\frac {f(t_{n},w)-f(t_{0},w)}{t_{n}-t_{0}}}\right|=\left|{\frac {\partial f}{\partial t}}(s_{n,w},w)\right|\leq g(x)$

Da $f(t_{n},x),f(t_{0},x)$ somit messbar sind, ist

${\frac {\partial f}{\partial t}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(t_{n},x)-f(t_{0},x)}{t_{n}-t_{0}}}$

messbar. Somit gilt mit der Definition des Differenzenquotienten und der Linearität des Integrales und b)

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{X}\underbrace {f(t,w)} _{\in L^{1}{\text{ nach a)}}}dm(w)|_{t=t_{0}}=&\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{W}f(t_{n},w)dm(w)-\int _{W}f(t_{0},w)dm(w)}{t_{n}-t_{0}}}\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{W}{\frac {f(t_{n},w)-f(t_{0},w)}{t_{n}-t_{0}}}dm(w)\\{\stackrel {b)}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}{\frac {\partial f}{\partial t}}(s_{n,x},x)dm(x)\end{aligned}}$

Wendet man nun den Satz über majorisierte Konvergenz an, vertauschen Integral und Grenzwert und man erhält mit der Definition der partiellen Differenzierbarkeit die Aussage

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{X}\underbrace {f(t,w)} _{\in L^{1}{\text{ nach a)}}}dm(w)|_{t=t_{0}}{\stackrel {|\cdot |\leq g,c)}{=}}&\int _{X}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\partial f}{\partial t}}(s_{n,x},x)dm(x)\\=&\int _{X}{\frac {\partial f}{\partial t}}(t_{0},x)dm(x)\end{aligned}}$