In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.
Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien
Messräume. Wir definierten eine Abbildung
als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra
auf Mengen der Sigma-Algebra
abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen
als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen
monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.
Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden.
Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt. Und wir haben einen Weg gefunden, über schrittweise eindimensionale Integration zum Integral über ein Maß auf einem mehrdimensionalen Raum zu gelangen.
Vertauschen von Grenzwert und Integral
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Sei
gegeben. Wir hatten zwei Sätze kennengelernt, wobei wir für Funktionenfolgen
Grenzwert und Integral vertauschen konnten. Nun nehmen wir noch einen metrischen Raum
hinzu und betrachten Funktionen
. Statt des Indexes
haben wir also eine Variable
. Um den Grenzwert nachzurechnen, verwenden wir das Folgenkriterium und können auf die Funktionenfolge
den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden.
Satz (Vertauschen von Grenzwert und Integral)
Sei
und ein
metrischer Raum
. Für
gelte
a) Das Integral über
lässt sich für alle
(
) hinschreiben
b) Damit das Integral stetig in
wird, fordern wir die Stetigkeit in der ersten Komponente: Für
-fast alle
gilt
c) Damit wir den Satz über majorisierte Konvergenz anwenden können, fordern wir: Es gibt ein
und eine integrierbare Funktion
mit
Dann ist das Integral und die Einschränkung auf die erste Komponente
stetig in
Beweis (Vertauschen von Grenzwert und Integral)
Seien
mit
Nach Voraussetzung a) sind die Integrale für
definiert.
Wegen
-fast überall, lässt sich der Satz über majorisierte Konvergenz auf die Funktionenfolge
anwenden und Grenzwert und Integral vertauschen.
Mit b) ist
stetig in
für alle
.
Vertauschen von Integral und Ableitung
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Satz (Vertauschen von Integral und Ableitung)
Sei
und
ein Intervall und
. Für
fordern wir
a) Man kann das Integral über
für
hinschreiben:
b) Man kann
über
integrieren
existiert
c) Der Satz über majorisierte Konvergenz lässt sich anwenden und Grenzwert und Integral vertauschen: Es gibt ein
und ein integrierbares
mit
Dann ist
integrierbar und
in
(ggf. einseitig) differenzierbar und es gilt
Beweis (Vertauschen von Integral und Ableitung)
Wähle eine Folge
die gegen
konvergiert, aber ungleich
ist: Sei
mit
. Dann gilt mit der Definition des Differenzenquotienten und der Linearität des Integrales
Wendet man nun den Satz über majorisierte Konvergenz an, vertauschen Integral und Grenzwert und man erhält mit der Definition der partiellen Differenzierbarkeit die Aussage
Satz
Dieselben Aussagen gelten mit folgenden b) und c):
b)
c) es gibt ein integrierbares
mit
(erneut wird der Satz über majorisierte Konvergenz angewendet)
Beweis
Da mit b) die partielle Ableitung existiert und steitg ist, gibt es für alle
ein
mit
. und
Da
somit messbar sind, ist
messbar. Somit gilt mit der Definition des Differenzenquotienten und der Linearität des Integrales und b)
Wendet man nun den Satz über majorisierte Konvergenz an, vertauschen Integral und Grenzwert und man erhält mit der Definition der partiellen Differenzierbarkeit die Aussage