Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Poissonsche Formel für n=2 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nach der Wärmeleitungsgleichung gehen wir nun zur Wellengleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Im ersten Kapitel bewiesen wir die Darstellungsformel für die Lösung im Ganzraum und ein Spiegelungsprinzip. Dann haben wir die Euler-Poisson-Darbaux-Gleichung und die Kirchhoffsche Regel, das ist der Ganzraumfall für Dimension n=3, gezeigt. Die Herleitung der Lösung für Dimension n=2 ist die Methode des Abstiegs unter Verwendung der Lösung für den Fall n=3.

Herleitung der Poissonschen Formel für Dimension n=2[Bearbeiten]

Sei eine Lösung von

Wir benutzen die Lösungsformel für n=2 und ignorieren darin einfach die dritte Variable! Das ist die Methode des Abstiegs.

Das ergibt das Problem

Mit dem vorangehenden Kapitel erhalten wir mit der Kirchhoffschen Formel sofort die Lösung zu

Nun benötigen wir Differentialgeometrie, genauer das Integral von parametrisierten Untermannigfaltigkeiten. Die Theorie dazu haben wir noch nicht fertiggestellt und sie fällt nun leider vom Himmel. Wir betrachten die Abbildung

Für gilt

Mit der Integrationstheorie für Untermannigfaltigkeiten gilt

Wir benötigen nun die Ableitung davon und benutzen die Transformation

um die -Abhängigkeit aus den Integralgrenzen in den Integranden zu bekommen. Damit können wir bequem ableiten und danach zurücktransformieren:

Mit

folgt die Poissonsche Formel für zu

Die Poissonsche Formel ist die Lösung für n=2[Bearbeiten]

Satz

Seien und definiert durch die Poissonsche Formel

Dann gilt

Im Fall n=2 hängt die Lösung also von den Anfangsdaten in der ganzen Kugel ab!

Beweis

Der Beweis folgt direkt aus dem Fall n=3: wir haben die Lösungsformel nur umgerechnet.