Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Lösungen sind unendlich oft differenzierbar

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times U:\ u_{t}(t,x)-\Delta _{x}u(t,x)=f(t,x)$

Sie heißt homogen für $f=0$, sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung $g$ zum Zeitpunkt $t=0$ und Wärmequellen und -senken $f$ vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt.

Ungewöhnlich ist, dass eine Lösung für $t>0$ unendlich oft differenzierbar wird: Die Wärme verteilt sich an Knicken und Ecken "sofort" und rundet sie ab.