Mathe für Nicht-Freaks: Cramer'sche Regel

Einleitung

Wir wollen uns in diesem Kapitel nochmals der Frage zuwenden, wie wir ein lineares Gleichungssystem der Form $A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$ mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix $A\in GL(n;\mathbb {K} )$, sowie ${\vec {x}}=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in \mathbb {K} ^{n}$, ${\vec {b}}=(b_{1},...,b_{n})^{T}\in \mathbb {K} ^{n}$ lösen können. $\mathbb {K}$ bezeichnet dabei wie üblich einen Körper - in unseren Fällen also entweder den Körper der reellen oder der komplexen Zahlen.

To-Do:

Ausführlicher

Cramer'sche Regel

Satz (Cramersche Regel)

Sei $A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$ ein lineares Gleichungssystem mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix $A\in GL(n;\mathbb {K} )$, wobei $A$ von der Form $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}$, sowie ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {K} ^{n}$, ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {K} ^{n}$.

Dann erfüllt die Lösung ${\vec {x}}$ die Gleichung

${\vec {x}}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot {\begin{pmatrix}\det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid \\b&s_{2}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}\\\vdots \\\det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &b\\\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}\\\end{pmatrix}}.$

Beweis (Cramersche Regel)

Der Beweis zur Cramerschen Regel ist leider etwas technisch und mag auf den ersten Blick vielleicht etwas abschreckend wirken, dennoch sind die verwendeten Argumente relativ einleuchtend. Wir gehen den Beweis Schritt für Schritt an:

Sei also $A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$ ein lineares Gleichungssystem mit einer quadratischen und invertierbaren Koeffizientenmatrix $A\in GL(n;\mathbb {K} )$, wobei $A$ von der Form $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}$, sowie ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {K} ^{n}$, ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {K} ^{n}$.

Wir wollen den Satz allgemein für eine beliebige Komponente $x_{i}$ für alle $1\leq i\leq n$ von ${\vec {x}}$ beweisen. Diese allgemeine Komponente $x_{i}$ erfüllt nach dem Satz:

$x_{i}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot \det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{i-1}&b&s_{i+1}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}$.

Aus dem Gleichungssystem sofort klar wird, dass gilt $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot {\vec {s_{i}}}=x_{1}{\vec {s_{1}}}+...+x_{n}{\vec {s_{n}}}={\vec {b}}$. Bringen wir ${\vec {b}}$ auf die andere Seite haben wir dastehen: $x_{1}{\vec {s_{1}}}+...+x_{i}{\vec {s_{1}}}-{\vec {b}}+...+x_{n}{\vec {s_{n}}}={\vec {0}}$. Aus dieser Darstellung sehen wir sofort, dass die Vektoren ${\vec {s_{1}}},...,x_{i}{\vec {s_{i}}}-{\vec {b}},...,{\vec {s_{n}}}$ linear abhängig sind. Wir wissen, dass die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Spaltenvektoren den Wert $0$ hat (dies folgt aus der Multilinearität und Alternation der Determinantenfunktion). Wir wollen uns also mit Hilfe unserer linear abhängigen Vektoren die Hilfsmatrix $H$ definieren:

$H:={\begin{pmatrix}\mid &&\mid &&\mid \\s_{1}&\cdots &x_{i}s_{i}-b&\cdots &s_{n}\\\mid &&\mid &&\mid \end{pmatrix}}$.

Nun wissen wir, dass $\det(H)=0$ und unter Ausnutzung der Multilinearität der Determinantenfunktion können wir schreiben: $\det(H)=x_{i}\cdot \det(A)-\det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{i-1}&b&s_{i+1}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}=0$.

Damit sind wir am Ziel, denn wir müssen jetzt nur noch Umstellen und erhalten damit die Behauptung:

$x_{i}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot \det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \\s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{i-1}&b&s_{i+1}&\cdots &s_{n}\\\mid &\mid &&\mid &\mid &\mid &&\mid \end{pmatrix}}$.

Beispiel

Wir wollen das Vorgehen zur Lösungsbestimmung mit Hilfe der Cramerschen Regel anhand eines ersten Beispieles demonstrieren:

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}&x+3y+z=0\\3&x+3y+z=2\\-3&x-y+z=-6\\\end{aligned}}$

Aus dem Gleichungssystem ergibt sich die für die Cramersche Regel benötigte Koeffizientenmatrix $A={\begin{pmatrix}1&3&1\\3&3&1\\-3&-1&1\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}\mid &\mid &\mid \\s_{1}&s_{2}&s_{3}\\\mid &\mid &\mid \end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$. Unsere Koeffizientenmatrix ist offensichtlich quadratisch und zudem ergibt sich über die Regel von Sarrus, dass $\det(A)=-8\neq 0$, womit $A\in GL(3;\mathbb {R} )$ gilt. Das Gleichungssystem besitzt also eine eindeutige Lösung ${\vec {\tilde {x}}}\in \mathbb {R} ^{3}$. Zudem erkennen wir, dass ${\vec {b}}=(0,2,-6)^{T}$. Unsere Lösung ${\vec {\tilde {x}}}=(x,y,z)^{T}$ erfüllt nach dem oben angeführten Satz:

${\vec {\tilde {x}}}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot {\begin{pmatrix}\det {\begin{pmatrix}\color {red}{\mid }&\mid &\mid \\\color {red}{b}&s_{2}&s_{3}\\\color {red}{\mid }&\mid &\mid \end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}\mid &\color {red}{\mid }&\mid \\s_{1}&\color {red}{b}&s_{3}\\\mid &\color {red}{\mid }&\mid \end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}\mid &\mid &\color {red}{\mid }\\s_{1}&s_{2}&\color {red}{b}\\\mid &\mid &\color {red}{\mid }\end{pmatrix}}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{-8}}\cdot {\begin{pmatrix}\det {\begin{pmatrix}\color {red}{0}&3&1\\\color {red}{2}&3&1\\\color {red}{-6}&-1&1\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}1&\color {red}{0}&1\\3&\color {red}{2}&1\\-3&\color {red}{-6}&1\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}1&3&\color {red}{0}\\3&3&\color {red}{2}\\-3&-1&\color {red}{-6}\end{pmatrix}}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{-8}}\cdot {\begin{pmatrix}-8\\-4\\20\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}\\-{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}$

wobei mir im dritten Schritt dreimal die Regel von Sarrus verwendet haben. Unsere gefundene Lösung können wir jetzt in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen

${\begin{aligned}1+3{\frac {1}{2}}-{\frac {5}{2}}&=1+1,5-2,5&=0\\3+3{\frac {1}{2}}-{\frac {5}{2}}&=3+1,5-2,5&=2\\-3-{\frac {1}{2}}-{\frac {5}{2}}&=-3-0,5-2,5&=-6\\\end{aligned}}$

und uns davon überzeugen, dass wir uns nicht verrechnet haben.

Das Beispiel lässt bereits einen nicht unwesentlichen Nachteil der Cramerschen Regel erahnen: aufgrund der Determinantenbasiertheit der Regel wird die Bestimmung der eindeutigen Lösung für eine hohe Anzahl an Gleichungen und Variablen sehr schnell rechenaufwändig.

Übungsaufgaben

To-Do: