Definition der komplexen Zahlen – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir werden hier die komplexen Zahlen formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.

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To-Do:
  • Was wissen wir von vorher: Komplexe Ebene, was ist ,
  • Nun formal definieren mit Tupeln

Motivation der Definition[Bearbeiten]

Komplexe Zahlen haben die Form , wobei reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit ist. hat die Eigenschaft, dass .

Damit arbeiten wir weiter, um die formale Definition herzuleiten.

Herleitung der Tupelschreibweise[Bearbeiten]

Der erste Ansatz für eine Definition ist, die Darstellung zu benutzen. Damit stoßen wir jedoch auf einige Probleme. Was soll sein? Nach unserer Vorstellung ist es eine "Zahl" mit der Eigenschaft . Aber warum sollte die imaginäre Einheit existieren? Wieso gibt es durch die Einführung von keine Widersprüche? Was soll das bedeuten? Wie addieren wir die reelle Zahl und ?

Für die formale Definition müssen wir also anders vorgehen. Wir gehen von dem aus, was wir schon über die komplexen Zahlen wissen. Diese neuen Dinge drücken wir dann durch schon bekannte Objekte aus der Analysis aus.

Jede komplexe Zahl wird durch zwei reelle Zahlen aufgebaut. Außerdem kann man die komplexe Zahlen in einer Ebene darstellen. Die waagrechte Achse heißt reelle Achse, auf der liegt. Die senkrechte Achse wird imaginäre Achse genannt und gibt uns den Wert .

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To-Do:

komplexe Ebene mit Punkt

Die komplexen Zahlen bilden eine Ebene, die durch zwei reelle Achsen erzeugt wird. Eine solche Ebene ist genau . Deswegen können wir mit identifizieren. Wir können ein Tupel in mit einer komplexen Zahl identifizieren, also .

kennen wir schon gut. Darüber können wir die komplexen Zahlen definieren.

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To-Do:
  • , Erklärung Ebene von vorher
  • Identifizierung als Koordinaten

Herleitung der Rechenregeln[Bearbeiten]

Wir wollen auch mit den komplexen Zahlen rechnen können. Wie sollte die Addition und Multiplikation in aussehen?

Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen und . Wir wollen, dass das Ergebnis der Summe wieder eine komplexe Zahl ist, d.h. in der Form . Dafür addieren wir die Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern aus.

.

Wir haben das Ergebnis in die richtige Form gebracht. Wenn wir komplexe Zahlen addieren, müssen wir jeweils die rellen Anteil und die imaginären Anteile summieren. Wir wollen diese Rechenregel formal definieren. Dafür müssen wir die Tupelschreibweise in benutzen. Dort gilt die Identifizierung . Damit übersetzen wir die Rechnung von vorher:

.

Hier sehen wir, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in ist. Das ist genau die Vektoraddition, wenn man als -Vektorraum auffasst.

Die Multiplikation komplexer Zahlen ist jedoch schwieriger. Wir gehen vor wie bei der Addition. Dafür brauchen wir zwei komplexe Zahlen und . Wir wollen wieder eine komplexe Zahl der Form herausbekommen.

So soll nach unserer Vorstellung die Multiplikation komplexer Zahlen funktionieren. Wir übersetzen die Rechnung wieder in Tupelschreibweise:

.

Wir haben die Rechenregeln für die komplexen Zahlen hergeleitet. Als nächstes können wir sie über Tupel in formal definieren.

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To-Do:

Addition und Multiplikation mit herleiten und mit Tupelschreibweise definieren

Formale Definition über Tupel[Bearbeiten]

Wir werden nun, die Ideen für die Definition formal einbinden.

Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in mit der passenden Addition und Multiplikation.

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Definition (Die komplexen Zahlen )

Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als zusammen mit zwei Verknüpfungen. Die Addition ist definiert durch . Die Multiplikation ist gegeben durch .


Die komplexen Zahlen bilden einen Körper[Bearbeiten]

Wir müssen noch zeigen, dass wir mit den neu definierten Operationen ganz normal rechnen können. Das Plus auf den komplexen Zahlen ist genau die Vektoraddition in . Also gelten für die Addition die gleichen Regeln wie in einem Vektorraum. Damit wissen wir schon, dass die komplexen Zahlen mit der Addition eine Gruppe bilden. Wie sieht es aber mit der Multiplikation aus?

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Satz

ist mit der oben definierten Addition und Multiplikation ein Körper.

Applications-office.svg

Beweis

Wir müssen alle Körperaxiome nachweisen. Seien dafür beliebig.

  • Eigenschaften der Addition:
    • Assoziativgesetz der Addition:

    • Kommutativgesetz der Addition:

    • Existenz der Null: Die Null in ist gegeben durch , denn

    • Existenz des additiven Inversen: Im ist , denn

  • Eigenschaften der Multiplikation:
    • Assoziativgesetz der Multiplikation:

    • Kommutativgesetz der Multiplikation:

    • Existenz der Eins: Die Eins in ist gegeben durch , denn

    • Existenz des multiplikativen Inversen: Das Inverse in ist gegeben durch , denn

      .

      Dies ist wohldefiniert, da und deshalb .
  • Distributivgesetz:

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To-Do:
  • Formatierung ändern, sodass die zeilen nicht so lang sind

Definition von [Bearbeiten]

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To-Do:
  • Identifizierung von mit
  • klar machen, dass
  • Definition und Eigenschaften von herleiten/prüfen
  • Addition auf der komplexen Ebene veranschaulichen
  • Real- und Imaginärteil definieren
  • Eigenschaften von Real- und Imaginärteil

Was für uns im Kopf schon heißt, ist nach formaler Definition im nur das Tupel .

Insbesondere dürfen wir, wenn wir formal korrekt bleiben wollen, noch nicht schreiben. Schuld daran ist, dass komplexe Zahlen formal nur Tupeln im sind. Wir müssen also das zu gehörige Tupel finden. Da wir uns auf der -Achse bei der vorstellen, wählen wir .

Auch die reelle , die in der komplexen Ebene bei liegt, möchten wir nicht jedes Mal mit dem Tupel schreiben müssen.

Wir behelfen uns, in dem wir für die komplexen Zahlen einfach formal und als Abkürzungen definieren.

Überlegen wir uns nun, ob wir mit diesen Abkürzungen auch schöner schreiben können:

Definition von Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]

Einen Punkt in der Ebene des bescheibt man über seine Koordinaten. Ein möchten wir ab und zu ebenfalls über seine "Koordinaten" beschreiben, also über und . Deshalb geben wir ihnen mit folgender Definition eigene Namen.

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Definition (Real- und Imaginärteil)

Für eine komplexe Zahl mit setzen wir und .

und nennen wir nun Real- bzw. Imaginäranteil von .

Addition in der komplexen Ebene[Bearbeiten]

Ausblick: als Vektorraum und Einbettung von [Bearbeiten]

Bei der Herleitung der komplexen Zahlen lässt sich feststellen, dass ein zweidimensionaler Vektorraum über ist. Gleichzeitig können wir, wie bei sämtlichen Zahlbereichserweiterungen (), die rellen Zahlen in die komplexen Zahlen einbetten.

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Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein zweidimensionaler Vektorraum über mit dem Vektorraumisomorphismus

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Beweis

Klar.

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Satz ( ist ein Teilkörper von )

Mittels der Abbildung ist als Teilkörper in eingebettet. Somit ist ein Körperisomorphismus.

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Beweis

Offensichtlich.

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To-Do: