Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!
Für einige Matrizen mit bestimmten Eigenschaften lässt sich die Determinante besonders leicht berechnen. Hier lernen wir Beispiele dafür kennen.
Vandermonde-Determinante [ Bearbeiten ] Eine Matrix, die folgende Form annimmt, nennt man Vandermonde-Matrix:
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}
Abkürzend benutzen wir im Folgenden für eine solche Matrix die Schreibweise
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
Definition (Vandermonde-Matrix)
Sei
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle K}
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
(
a
i
j
)
∈
K
n
×
n
{\displaystyle (a_{ij})\in K^{n\times n}}
a
i
j
=
x
i
j
−
1
{\displaystyle a_{ij}=x_{i}^{j-1}}
Ihre Determinante lässt sich besonders leicht berechnen, denn es gilt:
Satz (Vandermonde-Determinante)
Die Determinante einer Vandermonde-Matrix kann über folgende Formel berechnet werden:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
Beweis (Vandermonde-Determinante)
Wir beweisen die Formel der Vandermonde-Determinante per Induktion über
n
{\displaystyle n}
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
Gelte die im Satz formulierte Aussage für
n
−
1
{\displaystyle n-1}
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
)
=
∏
i
<
j
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}))=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})=\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})}
2b. Induktionsbehauptung:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Wir versuchen nun die Determinante von
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
det
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
x
1
2
−
x
n
x
1
⋯
x
1
n
−
1
−
x
n
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
x
2
2
−
x
n
x
2
⋯
x
2
n
−
1
−
x
n
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
x
3
2
−
x
n
x
3
⋯
x
3
n
−
1
−
x
n
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
x
n
x
n
2
−
x
n
x
n
⋯
x
n
n
−
1
−
x
n
x
n
n
−
2
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
1
0
0
⋯
0
)
↓
Entwicklung nach der letzten Zeile.
=
(
−
1
)
n
+
1
⋅
det
(
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Multilinearität der Determinante
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
⋅
det
(
1
x
1
⋯
x
1
n
−
2
1
x
2
⋯
x
2
n
−
2
1
x
3
⋯
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
⋯
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Induktionsvoraussetzung
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
↓
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
=
(
−
1
)
2
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}}
To-Do:
Determinante von Dreiecksmatrizen
Verständnisfrage: Was ist die Determinante der Einheitsmatrix in
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Daher ist ihre Determinante das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind alle
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880bdaa9acbb084f2a080b147a8afc3fca9841e8)
