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Für einige Matrizen mit bestimmten Eigenschaften lässt sich die Determinante besonders leicht berechnen. Hier lernen wir Beispiele dafür kennen.
Vandermonde-Determinante [ Bearbeiten ]
Eine Matrix, die folgende Form annimmt, nennt man Vandermonde-Matrix:
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}
Abkürzend benutzen wir im Folgenden für eine solche Matrix die Schreibweise
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
. Sie ist also definiert als:
Definition (Vandermonde-Matrix)
Sei
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
ein
n
{\displaystyle n}
-Tupel aus einem Körper
K
{\displaystyle K}
, wir definieren
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
als die Matrix
(
a
i
j
)
∈
K
n
×
n
{\displaystyle (a_{ij})\in K^{n\times n}}
mit
a
i
j
=
x
i
j
−
1
{\displaystyle a_{ij}=x_{i}^{j-1}}
.
Ihre Determinante lässt sich besonders leicht berechnen, denn es gilt:
Satz (Vandermonde-Determinante)
Die Determinante einer Vandermonde-Matrix kann über folgende Formel berechnet werden:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
Beweis (Vandermonde-Determinante)
Wir beweisen die Formel der Vandermonde-Determinante per Induktion über
n
{\displaystyle n}
:
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
bewiesen werden soll:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
Gelte die im Satz formulierte Aussage für
n
−
1
{\displaystyle n-1}
, Sei also
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
)
=
∏
i
<
j
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}))=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})=\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})}
2b. Induktionsbehauptung:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Wir versuchen nun die Determinante von
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
auf die Determinante von
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}
zurückzuführen. Dazu nutzen wir die Eigenschaft der Determinante aus, dass sie beim Addieren von Vielfachen einer Zeile oder Spalte zur anderen gleich bleibt. Wir subtrahieren nun von jeder Spalte (bis auf die erste) das
x
n
{\displaystyle x_{n}}
- fache der vorherigen Spalte. Also
det
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
x
1
2
−
x
n
x
1
⋯
x
1
n
−
1
−
x
n
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
x
2
2
−
x
n
x
2
⋯
x
2
n
−
1
−
x
n
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
x
3
2
−
x
n
x
3
⋯
x
3
n
−
1
−
x
n
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
x
n
x
n
2
−
x
n
x
n
⋯
x
n
n
−
1
−
x
n
x
n
n
−
2
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
1
0
0
⋯
0
)
↓
Entwicklung nach der letzten Zeile.
=
(
−
1
)
n
+
1
⋅
det
(
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Multilinearität der Determinante
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
⋅
det
(
1
x
1
⋯
x
1
n
−
2
1
x
2
⋯
x
2
n
−
2
1
x
3
⋯
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
⋯
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Induktionsvoraussetzung
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
↓
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
=
(
−
1
)
2
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}}
To-Do:
Determinante von Dreiecksmatrizen
Verständnisfrage: Was ist die Determinante der Einheitsmatrix in
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
?
Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Daher ist ihre Determinante das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind alle
1
{\displaystyle 1}
, also ist auch die Determinante
1
{\displaystyle 1}
.