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Für einige Matrizen mit bestimmten Eigenschaften lässt sich die Determinante besonders leicht berechnen. Hier lernen wir Beispiele dafür kennen.
Vandermonde-Determinante [ Bearbeiten ] Eine Matrix, die folgende Form annimmt, nennt man Vandermonde-Matrix:
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}
Abkürzend benutzen wir im Folgenden für eine solche Matrix die Schreibweise
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
Definition (Vandermonde-Matrix)
Sei
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle K}
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
(
a
i
j
)
∈
K
n
×
n
{\displaystyle (a_{ij})\in K^{n\times n}}
a
i
j
=
x
i
j
−
1
{\displaystyle a_{ij}=x_{i}^{j-1}}
Ihre Determinante lässt sich besonders leicht berechnen, denn es gilt:
Satz (Vandermonde-Determinante)
Die Determinante einer Vandermonde-Matrix kann über folgende Formel berechnet werden:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
Beweis (Vandermonde-Determinante)
Wir beweisen die Formel der Vandermonde-Determinante per Induktion über
n
{\displaystyle n}
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
Gelte die im Satz formulierte Aussage für
n
−
1
{\displaystyle n-1}
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
)
=
∏
i
<
j
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}))=\prod _{i<j}(x_{j}-x_{i})=\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})}
2b. Induktionsbehauptung:
det
(
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
)
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle \det(V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Wir versuchen nun die Determinante von
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
V
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
{\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
det
(
1
x
1
x
1
2
⋯
x
1
n
−
1
1
x
2
x
2
2
⋯
x
2
n
−
1
1
x
3
x
3
2
⋯
x
3
n
−
1
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
x
n
2
⋯
x
n
n
−
1
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
x
1
2
−
x
n
x
1
⋯
x
1
n
−
1
−
x
n
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
x
2
2
−
x
n
x
2
⋯
x
2
n
−
1
−
x
n
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
x
3
2
−
x
n
x
3
⋯
x
3
n
−
1
−
x
n
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
x
n
x
n
2
−
x
n
x
n
⋯
x
n
n
−
1
−
x
n
x
n
n
−
2
)
=
det
(
1
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
1
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
1
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
1
0
0
⋯
0
)
↓
Entwicklung nach der letzten Zeile.
=
(
−
1
)
n
+
1
⋅
det
(
x
1
−
x
n
(
x
1
−
x
n
)
x
1
⋯
(
x
1
−
x
n
)
x
1
n
−
2
x
2
−
x
n
(
x
2
−
x
n
)
x
2
⋯
(
x
2
−
x
n
)
x
2
n
−
2
x
3
−
x
n
(
x
3
−
x
n
)
x
3
⋯
(
x
3
−
x
n
)
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
x
n
−
1
−
x
n
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
⋯
(
x
n
−
1
−
x
n
)
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Multilinearität der Determinante
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
⋅
det
(
1
x
1
⋯
x
1
n
−
2
1
x
2
⋯
x
2
n
−
2
1
x
3
⋯
x
3
n
−
2
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
−
1
⋯
x
n
−
1
n
−
2
)
↓
Induktionsvoraussetzung
=
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
↓
(
−
1
)
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
i
−
x
n
)
=
(
−
1
)
2
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
n
−
x
i
)
∏
j
=
2
n
−
1
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
=
∏
j
=
2
n
∏
i
=
1
j
−
1
(
x
j
−
x
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}}
To-Do:
Determinante von Dreiecksmatrizen
Verständnisfrage: Was ist die Determinante der Einheitsmatrix in
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix. Daher ist ihre Determinante das Produkt der Einträge auf der Diagonalen. Diese Einträge sind alle
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}^{2}-x_{n}x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-1}-x_{n}x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}^{2}-x_{n}x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}-x_{n}x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&x_{3}^{2}-x_{n}x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-1}-x_{n}x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{n}&x_{n}^{2}-x_{n}x_{n}&\cdots &x_{n}^{n-1}-x_{n}x_{n}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&=\det {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Entwicklung nach der letzten Zeile.}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\cdot \det {\begin{pmatrix}x_{1}-x_{n}&(x_{1}-x_{n})x_{1}&\cdots &(x_{1}-x_{n})x_{1}^{n-2}\\x_{2}-x_{n}&(x_{2}-x_{n})x_{2}&\cdots &(x_{2}-x_{n})x_{2}^{n-2}\\x_{3}-x_{n}&(x_{3}-x_{n})x_{3}&\cdots &(x_{3}-x_{n})x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n-1}-x_{n}&(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}&\cdots &(x_{n-1}-x_{n})x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multilinearität der Determinante}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\cdot \det {\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&\cdots &x_{3}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\cdots &x_{n-1}^{n-2}\end{pmatrix}}\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[1em]&=(-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)^{n+1}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{i}-x_{n})=(-1)^{2}\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\right.}\\[1em]&=\prod _{i=1}^{n-1}(x_{n}-x_{i})\prod _{j=2}^{n-1}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\\[1em]&=\prod _{j=2}^{n}\prod _{i=1}^{j-1}(x_{j}-x_{i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880bdaa9acbb084f2a080b147a8afc3fca9841e8)
