Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!
Herleitung der Determinantendefinition über Gauß[Bearbeiten]
In dem letzten Kapitel beschäftigten wir uns mit linearen Gleichungssystemen und deren Lösungen. Dabei waren wir insbesondere auch an Problemen folgender Art interessiert:
Dabei ist
eine quadratische
-Matrix und
zwei Vektoren im Vektorraum
, wobei
ein beliebiger Körper ist. Eine der wichtigsten Fragen im Zusammenhang mit derartigen Gleichungssysteme war, ob es eine eindeutige Lösung gibt. Unter Zuhilfenahme der bisherigen kennengelernten Theorie über Lineare Abbildungen und Matrizen, können wir die Frage ganz leicht beantworten. Falls die Matrix
invertierbar ist, dann gibt es eine eindeutige Lösung. Falls
nicht invertierbar ist, dann gibt es entweder keine Lösung oder aber die Lösung ist nicht eindeutig. Beide Aussagen sind dabei direkte Konsequenzen der Dimensionsformel.
Die Quintessenz ist also: Wenn wir wissen möchten, ob
eine eindeutige Lösung hat oder nicht, so müssen wir nur herausfinden, ob
invertierbar ist. Doch wie können wir das herausfinden? Eine Möglichkeit (von mehreren, siehe auch den Artikel über inverse Matrizen) Invertierbarkeit von
zu zeigen, wäre es, den Gaußalgorithmus aus dem vorherigen Abschnitt zu benutzen. Sobald das lineare Gleichungsystem sich in Zeilen-Stufen-Form befindet, lässt sich ganz leicht entscheiden, ob die Lösung eindeutig und damit
invertierbar ist.
Wir haben nun festgestellt, dass die Matrix
nicht invertierbar ist. Allerdings mussten wir hierfür relativ umständlich vorgehen. Es wäre also schön, ein schnelles und handliches Kriterium zu haben, um zu entscheiden, ob eine vorgegebene Matrix invertierbar ist oder nicht.
Es ist naheliegend, dieses Kriterium mithilfe einer geeigneten Funktion
umzusetzen. Die Funktion
soll dabei irgendeiner quadratischen Matrix
etwas zuordnen, an dem man erkennen kann, ob
invertierbar ist. Eine Möglichkeit wäre es jetzt die Funktion
wie folgt zu definieren:
Offenbar wäre
ausreichend für unsere Zwecke. Wenn wir eine Matrix
in
einsetzen, bekommen wir eine Antwort auf die Frage, ob
eine inverse Matrix besitzt. Ist
, dann ist
nicht invertierbar, wenn
dann schon. Doch hilft uns die Funktion tatsächlich weiter bei unserem Problem? Die Antwort ist Nein, denn wir wissen nicht, wie der Funktionswert berechnet wird. Wir sind eigentlich nicht weiter gekommen und haben das Problem nur umformuliert.
Determinante für Dreiecksmatrizen[Bearbeiten]
Wenn wir also eine Funktion
mit der Eigenschaft von oben einführen, muss sie auch irgendwie berechnet werden können. Doch wie lässt sich das umsetzen? Ausgangspunkt könnte nun wieder das Gaußverfahren von oben sein. Betrachte in dem Beispiel die Matrix
. Dann sieht man direkt, dass
nicht invertierbar ist, da eines seiner Diagonalargumente
ist. Wir können nun für alle Matrizen in Zeilenstufenform (sprich obere Dreiecksmatrizen) eine Funktion
, die wir ab sofort
nennen, mit unserer gewünschten Eigenschaft angeben:
Definition (Determinantenfunktion für Dreiecksmatrizen)
Sei
eine obere Dreiecksmatrix über dem Körper
, also
. Dann definiere die Determinantenfunktion
als Produkt der Diagonalelemente:
Falls
eine invertierbare Dreiecksmatrix ist, dann sind alle Diagonalelemente ungleich
und es folgt, dass
. Umgekehrt ist
, wenn eines der Diagonalelemente
ist, was äquivalent dazu ist, dass
nicht invertierbar ist. Das ist genau das, was wir wollen: Eine Funktion, an deren Funktionswerten wir erkennen können, ob die Matrix invertierbar ist.
Determinante beliebiger Matrizen[Bearbeiten]
Nehmen wir nun eine beliebige quadratische Matrix
und sei
die durch Gaußumformungen aus
hervorgehende obere Dreiecksmatrix. Wie können wir sinnvoll auch die Determinante für
definieren? Da die Gaußumformungen die Lösungen von Gleichungssystemen invariant lassen, wäre es sinnvoll, dass
genau dann den Wert
annimmt, falls
ist. Eine Möglichkeit wäre nun, die Determinante von
mit der Determinante von
gleichzusetzen, also
Allerdings gibt es ein Problem: Die Matrix
ist nicht eindeutig definiert:
Beispiel
Sei
. Wir beginnen umzuformen:
- Wir ziehen das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten und von der dritten Zeile ab:

- Nun verdoppeln wir Zeile 2 und multiplizieren Zeile 3 mit
: 
- Jetzt erhalten wir eine Dreiecksmatrix, wenn wir Zeile 2 von Zeile 3 abziehen:

So erhalten wir also
.
Alternativ hätten wir nach dem ersten Schritt auch direkt das
- fache von Zeile 2 von Zeile 3 abziehen können:

So erhalten wir
.
Wir müssen also eine oder mehrere zusätzliche Eigenschaften an die Funktion
fordern, damit die Definition von oben wohldefiniert wird. Betrachten wir nochmal die Definition der Determinante für eine obere Dreiecksmatrix
. Fasse die einzelnen Spalten der Matrix
als Vektoren über
auf. Dann könnte man die Determinante
als das Volumen interpretieren, das von den Spaltenvektoren der Matrix
aufgespannt wird. Um sich das besser zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass unser Körper
und
ist.
To-Do:
Aus diesem Grund wird die Determinantenfunktion, kurz Determinante, eingeführt. Die Determinante soll dabei eine Funktion sein, die einer quadratischen Matrix
eine Zahl aus dem zugrundliegenden Körper
zuordnet. Dabei soll die Eigenschaft, ob eine Matrix invertierbar ist, durch die Abbildung extrahiert werden. Das heißt, man soll anhand der Funktionswertes
erkennen können, ob die Matrix
invertierbar ist. Eine mögliche Umsetzung einer Funktion mit dieser Eigenschaft könnte also wie folgt ausschauen: Falls
, so ist
nicht invertierbar. Umgekehrt ist
invertierbar, falls
gilt.
Wir wollen nun eine neue Funktion einführen mit der sich die Invertierbarkeit von Matrizen feststellen lässt. Es stellen sich natürlich viele Fragen: Gibt es eine solche Funktion? Ist die Funktion eindeutig? Falls nein, welche zusätzliche(n) Bedingung(en) muss/müssen gefordert werden? Falls ja, wie sieht die Funktion konkret aus und wie kann man mit ihr rechnen?
Im Folgenden werden wir zunächst eine anschauliche Möglichkeit kennenlernen, die Determinantenfunktion für Matrizen im
und
zu definieren. Anschließend konstruieren wir die Determinantenfunktion für Vektorräume beliebiger Dimension und Körper.
Volumen in endlichen reellen Vektorräumen[Bearbeiten]
Im Folgenden wollen wir das Volumen, das von
Vektoren im reellen Vektorraum
für
aufgespannt wird, berechnen. Dafür untersuchen wir zuerst
, da man sich diese Volumen noch anschaulich vorstellen kann.
Volumen in
[Bearbeiten]
Betrachten wir den Vektorraum
über dem Körper
. Wir wollen nun die Länge, des Vektors
bestimmen. Es ist intuitiv klar, dass diese gleich
ist.
Volumen in
[Bearbeiten]
Nun betrachten wir
als
-Vektorraum. Wir wollen die Fläche
bestimmen, die von zwei Vektoren
und
aufgespannt wird. Diese Fläche ist ein Parallelogramm.
Sei
eine Abbildung mit
.
Es gilt
, aber das können wir noch nicht zeigen. Deshalb beweisen wir nun, dass die beiden Abbildungen viele Eigenschaften gemeinsam haben:
- Wenn
und
linear abhängig sind, dann folgt
und
. Es gilt
, denn es wird überhaupt keine Fläche von den Vektoren aufgespannt.
: Da die Vektoren linear abhängig sind, gibt es ein
, so dass
. Also gilt
.
- Wir werden nun ein einfaches Beispiel untersuchen. Sei
und
. Dann ist die Fläche ein Rechteck mit Seitenlängen
und
. Also folgt
. Es gilt auch
.
- Als nächstes betrachten wir die Vektoren
und
. Dann erzeugen
und
ein Quadrat mit Seitenlängen
. Somit gilt
. Auch mit unserer Abbildung folgt
.
- Der Flächeninhalt und
ist symmetrisch. Für
ist das klar. Bei
gilt:
.
- Ist nun
für
und
, dann gilt
und genauso 
Wir zeigen die Aussage zuerst für den Fall
und
linear abhängig. Also gibt es ein
, sodass
. Dann lässt sich das von
und
erzeugte Parallelogramm in zwei disjunkte Parallelogramme aufteilen, die von
und
bzw.
und
aufgespannt werden. Addiert man den Flächeninhalt der beiden kleinen Parallelogramme, erhält man die Fläche des großen Parallelogramms.
Außerdem gilt
Spezialfall: reelle 2x2-Matrix[Bearbeiten]
Wir konstruieren eine Funktion
mit der Hilfe man den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren
aufgespannt wird.
Diese Abbildungen soll folgende Eigenschaften erfüllen:
Multilinearität (ML) (Linearität in jeder Komponente)[Bearbeiten]




Alterniertheitsbedingung (AB)[Bearbeiten]
Satz
Beweis
Normierungsbedingung (NB)[Bearbeiten]
Bemerkung: Diese Bedingung sollte intuitiv klar sein, wenn wir an das Parallelogramm denken, dass von den Einheitsvektoren aufgespannt.
Satz (Berechnung der Determinante in
)
Beweis (Berechnung der Determinante in
)
In der Linearen Algebra II werden wir sehen, dass der Betrag der Determinante wirklich den Flächeninhalt des Parallelogramm ergibt.
Definition (Determinante)
Sei
ein Körper. Eine Abbildung
heißt Determinante, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- (ML)
ist linear bzgl. jeder Spalte von
, wobei
(Spaltenvektor), d.h. für alle 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+{\tilde {a}}_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&\,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])+\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},{\tilde {a}}_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])\\[1.0em]&\,{\text{ }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f38d1184581cbb3dd2e4f63c06c80ebc34a3c0)
![{\displaystyle \,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},\lambda a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\lambda \cdot \det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08781f4c3d2b663e72dcb21de482835d0a2eabe0)
- (AB)
ist alternierend, d.h.
, falls
zwei identische Spalten hat.
- (NB)
ist normiert, d.h. 
Man bezeichnet die Determinante deshalb auch als normierte alternierende Multilinearform.
Existenz und Eindeutigkeit der Determinante[Bearbeiten]
To-Do:
Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante
Um die Existenz und Eindeutigkeit der Determinante zu beweisen, müssen wir zunächst die Auswirkungen der elementaren Zeilenoperationen auf den Wert der Determinante untersuchen.
Beweis (Auswirkungen der elementaren Zeilenoperationen auf die Determinante)
Beweisschritt:
, wenn
durch das Vertauschen zweier Zeilen entsteht
Sei
mit den Spaltenvektoren
. Dann hat nach der Voraussetzung
die Form
mit
.
Zu zeigen ist also
. Wir nutzen die Eigenschaften von
und rechnen:
Also gilt
. Formen wir das um, erhalten wir
.
Beweisschritt:
, wenn
durch die Addition des
-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile entsteht
Sei
mit den Spaltenvektoren
. Dann hat nach der Voraussetzung
die Form
mit
. Unter Verwendung der Eigenschaften von
rechnen wir:
Also gilt:
bzw.
.
Mit diesem Wissen können wir uns nun dem Beweisen der Existenz und Eindeutigkeit der Determinante zuwenden.
Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante.)
Es existiert genau eine multilineare, alternierende und normierte Determinante
Zusammenfassung des Beweises (Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante.)
Der Satz besteht aus zwei Komponenten, dem Existenzbeweis und dem Eindeutigkeitsbeweis. Die Existenz können wir über vollständige Induktion nachweisen und die Eindeutigkeit direkt mittels Fallunterscheidung. Allerdings benötigen wir für beide Schritte den vorangegangenen Satz.
Beweis (Existenz der Determinante)
Wir beweisen die Existenz der Determinante
mittels vollständiger Induktion nach
.
Beweisschritt: Induktionsanfang (
)
Wir definieren
. Dies ist erlaubt, da die Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit erfüllt werden.
Beweisschritt: Induktionsvoraussetzung
Beweisschritt: Induktionsschritt von
nach 
Für die Determinante gelte
wobei
die Matrix ohne die
-te Zeile und
-te Spalte sei.
Nun müssen wir nur noch die Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit beweisen:
Multilinearität:
Alterniertheit:
Normiertheit:
Damit ist bewiesen, dass eine Determinante mit den Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit existiert.
Beweis (Eindeutigkeit der Determinante)
Sei
eine Abbildung, mit den Eigenschaften Multilinearität, Alterniertheit und Normiertheit. Zeige
für alle quadratischen Matrizen
.
Hier unterscheiden wir zwei Fälle:
Fall 1:
ist singulär
Fall 2:
ist regulär
In beiden Fällen gilt also
, folglich ist die Determinante eindeutig.
To-Do:
- Determinante für Dreiecksmatrizen
- Eigenschaften der Determinante
- Adjungierte
- Cramer'sche Regel
- Leibniz-Formel der Determinante
- x durch kartesisches Produkt ersetzen
- Extra-Kapitel für Permutationen