Determinanten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung der Determinantendefinition über Gauß

Einführung

In dem letzten Kapitel beschäftigten wir uns mit linearen Gleichungssystemen und deren Lösungen. Dabei waren wir insbesondere auch an Problemen folgender Art interessiert:

$Ax=b$

Dabei ist $A\in K^{n\times n}$ eine quadratische $n\times n$-Matrix und $x,b$ zwei Vektoren im Vektorraum $K^{n}$, wobei $K$ ein beliebiger Körper ist. Eine der wichtigsten Fragen im Zusammenhang mit derartigen Gleichungssysteme war, ob es eine eindeutige Lösung gibt. Unter Zuhilfenahme der bisherigen kennengelernten Theorie über Lineare Abbildungen und Matrizen, könnnen wir die Frage ganz leicht beantworten. Falls die Matrix $A$ invertierbar ist, dann gibt es eine eindeutige Lösung. Falls $A$ nicht invertierbar ist, dann gibt es entweder keine Lösung oder aber die Lösung ist nicht eindeutig. Beide Aussagen sind dabei direkte Konsequenzen der Dimensionsformel.

Die Quintessenz ist also: Wenn wir wissen möchten, ob $Ax=b$ eine eindeutige Lösung hat oder nicht, so müssen wir nur herausfinden, ob $A$ invertierbar ist. Doch wie können wir das herausfinden? Eine Möglichkeit (von mehreren, siehe auch den Artikel über inverse Matrizen) Invertierbarkeit von $A$ zu zeigen, wäre es, den Gaußalgorithmus aus dem vorherigen Abschnitt zu benutzen. Sobald das lineare Gleichungsystem sich in Zeilen-Stufen-Form befindet, lässt sich ganz leicht entscheiden, ob die Lösung eindeutig und damit $A$ invertierbar ist.

Beispiel (Matrix auf Invertierbarkeit mittels Gauß überprüfen)

Sei der Körper $K=\mathbb {R}$ und die Matrix $A={\begin{pmatrix}1&{0}&2\\-1&1&-1\\2&3&7\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$ wie oben. Wir führen nun Gaußumformungen bei der Matrix $A$ durch:

1. Wir addieren das Zweifache von Zeile 2 zu Zeile 3 hinzu, um eine Null im ersten Element von Zeile 3 zu erreichen:

   ${\begin{pmatrix}1&{0}&2\\-1&1&-1\\2&3&7\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&{0}&2\\-1&1&-1\\0&5&5\end{pmatrix}}$

2. Wir addieren Zeile 1 zu Zeile 2 und erhalten als erstes Element in Zeile 2 eine Null:

   ${\begin{pmatrix}1&{0}&2\\-1&1&-1\\0&5&5\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&{0}&2\\0&1&1\\0&5&5\end{pmatrix}}$

3. Wir ziehen das Fünffache von Zeile 2 von Zeile 3 ab und erhalten eine Nullzeile. Die resultierende Matrix definieren wir als $B$:

   ${\begin{pmatrix}1&{0}&2\\0&1&1\\0&5&5\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&{0}&2\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}}=:B$

Die Matrix $B$ ist nun offenbar nicht invertierbar, womit auch die ursprüngliche Matrix $A$ nicht invertierbar ist.

Wir haben nun festgestellt, dass die Matrix $A$ nicht invertierbar ist. Allerings mussten wir hierfür relativ umständlich vorgehen. Es wäre also schön, ein schnelles und handliches Kriterium zu haben, um zu entscheiden, ob eine vorgegebene Matrix invertierbar ist oder nicht.

Erster Versuch

Es ist naheliegend, dieses Kriterium mithilfe einer geeigneten Funktion $f$ umzusetzen. Die Funktion $f$ soll dabei irgendeiner quadratischen Matrix $A$ etwas zuordnen, an dem man erkennen kann, ob $A$ invertierbar ist. Eine Möglichkeit wäre es jetzt die Funktion $f$ wie folgt zu definieren:

$f(A):={\begin{cases}0&{\text{wenn }}A{\text{ nicht invertierbar}}\\1&{\text{wenn }}A{\text{ invertierbar}}\end{cases}}$

Offenbar wäre $f$ ausreichend für unsere Zwecke. Wenn wir eine Matrix $A$ in $f$ einsetzen, bekommen wir eine Antwort auf die Frage, ob $A$ eine inverse Matrix besitzt. Ist $f(A)=0$, dann ist $A$ nicht invertierbar, wenn $f(A)=1$ dann schon. Doch hilft uns die Funktion tatsächlich weiter bei unserem Problem? Die Antwort ist Nein, denn wir wissen nicht, wie der Funktionswert berechnet wird. Wir sind eigentlich nicht weiter gekommen und haben das Problem nur umformuliert.

Determinante für Dreiecksmatrizen

Wenn wir also eine Funktion $f$ mit der Eigenschaft von oben einführen, muss sie auch irgendwie berechnet werden können. Doch wie lässt sich das umsetzen? Ausgangspunkt könnte nun wieder das Gaußverfahren von oben sein. Betrachte in dem Beispiel die Matrix $B$. Dann sieht man direkt, dass $B$ nicht invertierbar ist, da eines seiner Diagonalargumente $0$ ist. Wir können nun für alle Matrizen in Zeilenstufenform (sprich obere Dreiecksmatrizen) eine Funktion $f$, die wir ab sofort $\det$ nennen, mit unserer gewünschten Eigenschaft angeben:

Definition (Determinantenfunktion für Dreiecksmatrizen)

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine obere Dreiecksmatrix über dem Körper $K$, also $A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\ldots &a_{1,n}\\&a_{2,2}&a_{2,3}&\ldots &a_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &a_{n-1,n}\\0&&&&a_{n,n}\end{bmatrix}}$. Dann definiere die Determinantenfunktion $\det$ als Produkt der Diagonalelemente:

$\det(A)=a_{1,1}\cdot \ldots \cdot a_{n,n}$

Falls $A$ eine invertierbare Dreiecksmatrix ist, dann sind alle Diagonalelemente ungleich $0$ und es folgt, dass $\det(A)\neq 0$. Umgekehrt ist $\det(A)=0$, wenn eines der Diagonalelemente $0$ ist, was äquivalent dazu ist, dass $A$ nicht invertierbar ist. Das ist genau das, was wir wollen: Eine Funktion, an deren Funktionswerten wir erkennen können, ob die Matrix invertierbar ist.

Determinante beliebiger Matrizen

Nehmen wir nun eine beliebige quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ und sei $B\in K^{n\times n}$ die durch Gaußumformungen aus $A$ hervorgehende obere Dreiecksmatrix. Wie können wir sinnvoll auch die Determinante für $A$ definieren? Da die Gaußumformungen die Lösungen von Gleichungssystemen invariant lassen, wäre es sinnvoll, dass $\det(A)$ genau dann den Wert $0$ annimmt, falls $\det(B)=0$ ist. Eine Möglichkeit wäre nun, die Determinante von $A$ mit der Determinante von $B$ gleichzusetzen, also

$\det(A):=\det(B)$

Allerdings gibt es ein Problem: Die Matrix $B$ ist nicht eindeutig definiert:

To-Do:

Beispiel

Wir müssen also eine oder mehrere zusätzliche Eigenschaften an die Funktion $\det$ fordern, damit die Definition von oben wohldefiniert wird. Betrachten wir nochmal die Definition der Determinante für eine obere Dreiecksmatrix $C$. Fasse die einzelnen Spalten der Matrix $C$ als Vektoren über $K^{n}$ auf. Dann könnte man die Determinante $\det(C)=c_{1,1}\ldots c_{n,n}$ als das Volumen interpretieren, das von den Spaltenvektoren der Matrix $C$ aufgespannt wird. Um sich das besser zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass unser Körper $K=\mathbb {R}$ und $n=2,3$ ist.

To-Do:

{{{1}}}

To-Do:

Aus diesem Grund wird die Determinantenfunktion, kurz Determinante, eingeführt. Die Determinante soll dabei eine Funktion sein, die einer quadratischen Matrix $A\in K^{n\times n}$ eine Zahl aus dem zugrundliegenden Körper $K$ zuordnet. Dabei soll die Eigenschaft, ob eine Matrix invertierbar ist, durch die Abbildung extrahiert werden. Das heißt, man soll anhand der Funktionswertes $\det(A)$ erkennen können, ob die Matrix $A$ invertierbar ist. Eine mögliche Umsetzung einer Funktion mit dieser Eigenschaft könnte also wie folgt ausschauen: Falls $\det(A)=0$, so ist $A$ nicht invertierbar. Umgekehrt ist $A$ invertierbar, falls $\det(A)\neq 0$ gilt.

Wir wollen nun eine neue Funktion einführen mit der sich die Invertierbarkeit von Matrizen feststellen lässt. Es stellen sich natürlich viele Fragen: Gibt es eine solche Funktion? Ist die Funktion eindeutig? Falls nein, welche zusätzliche(n) Bedingung(en) muss/müssen gefordert werden? Falls ja, wie sieht die Funktion konkret aus und wie kann man mit ihr rechnen?

Im Folgenden werden wir zunächst eine anschauliche Möglichkeit kennenlernen, die Determinantenfunktion für Matrizen im $\mathbb {R} ^{2\times 2}$ und $\mathbb {R} ^{3\times 3}$ zu definieren. Anschließend konstruieren wir die Determinantenfunktion für Vektorräume beliebiger Dimension und Körper.

Volumen in endlichen reellen Vektorräumen

Im Folgenden wollen wir das Volumen, das von $n$ Vektoren im reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ für $n\in \mathbb {N}$ aufgespannt wird, berechnen. Dafür untersuchen wir zuerst $n\in {1,2,3}$, da man sich diese Volumen noch anschaulich vorstellen kann.

Volumen in $\mathbb {R}$

Betrachten wir den Vektorraum $\mathbb {R}$ über dem Körper $\mathbb {R}$. Wir wollen nun die Länge, des Vektors $a\in \mathbb {R}$ bestimmen. Es ist intuitiv klar, dass diese gleich $|a|$ ist.

Volumen in $\mathbb {R} ^{2}$

Nun betrachten wir $\mathbb {R} ^{2}$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum. Wir wollen die Fläche $F(a_{1},a_{2})$ bestimmen, die von zwei Vektoren $a_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}}$ und $a_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ aufgespannt wird. Diese Fläche ist ein Parallelogramm.

Sei ${\tilde {F}}:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ eine Abbildung mit ${\bigg (}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{21}\\a_{22}\end{pmatrix}}{\bigg )}\mapsto |a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|$.

Es gilt $F={\tilde {F}}$, aber das können wir noch nicht zeigen. Deshalb beweisen wir nun, dass die beiden Abbildungen viele Eigenschaften gemeinsam haben:

• Wenn $a_{1}$ und $a_{2}$ linear abhängig sind, dann folgt $F=0$ und ${\tilde {F}}=0$. Es gilt $F=0$, denn es wird überhaupt keine Fläche von den Vektoren aufgespannt. ${\tilde {F}}=0$: Da die Vektoren linear abhängig sind, gibt es ein $\lambda \in \mathbb {R}$, so dass $a_{2}=\lambda \cdot a_{1}$. Also gilt ${\tilde {F}}(a_{1},a_{2})={\tilde {F}}(a_{1},\lambda a_{1})=|a_{11}\cdot \lambda a_{21}-\lambda a_{11}\cdot a_{21}|=0$.

To-Do:

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• Wir werden nun ein einfaches Beispiel untersuchen. Sei $a_{1}:=2\cdot e_{1}=2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $a_{2}:=3\cdot e_{2}=3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$. Dann ist die Fläche ein Rechteck mit Seitenlängen $2$ und $3$. Also folgt $F(a_{1},a_{2})=6$. Es gilt auch ${\tilde {F}}(a_{1},a_{2})=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|2\cdot 3-0|=6$.

• Als nächstes betrachten wir die Vektoren $a_{1}:={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und $a_{2}:={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$. Dann erzeugen $a_{1}$ und $a_{2}$ ein Quadrat mit Seitenlängen ${\sqrt {2}}$. Somit gilt $F(a_{1},a_{2})={\sqrt {2}}^{2}=2$. Auch mit unserer Abbildung folgt ${\tilde {F}}(a_{1},a_{2})=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|1\cdot (-1)-1\cdot 1|=2$.

To-Do:

Bilder einfügen

• Der Flächeninhalt und ${\tilde {F}}$ ist symmetrisch. Für F ist das klar. Bei ${\tilde {F}}$ gilt: ${\tilde {F}}(a_{1},a_{2})=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|a_{21}\cdot a_{12}-a_{11}\cdot a_{22}|={\tilde {F}}(a_{2},a_{1})$.

• Ist nun $a_{1}=b_{1}+b_{2}$ für $b_{1}={\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{pmatrix}}$ und $b_{2}={\begin{pmatrix}b_{12}\\b_{22}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$, dann gilt $F(b_{1}+b_{2},a_{2})=F(b_{1},a_{2})+F(b_{2},a_{2})$ und genauso ${\tilde {F}}(b_{1}+b_{2},a_{2})={\tilde {F}}(b_{1},a_{2})+{\tilde {F}}(b_{2},a_{2})$

Wir zeigen die Aussage zuerst für den Fall $b_{1}$ und $b_{2}$ linear abhängig. Also gibt es ein $\lambda \in \mathbb {R}$, sodass $b_{2}=\lambda b_{1}$. Dann lässt sich das von $b_{1}+b_{2}$ und $a_{2}$ erzeugte Parallelogramm in zwei disjunkte Parallelogramme aufteilen, die von $b_{1}$ und $a_{2}$ bzw. $b_{2}$ und $a_{2}$ aufgespannt werden. Addiert man den Flächeninhalt der beiden kleinen Parallelogramme, erhält man die Fläche des großen Parallelogramms.

Außerdem gilt

${\begin{aligned}&{\tilde {F}}(b_{1}+b_{2},a_{2})={\tilde {F}}((1+\lambda )b_{1},a_{2})=|(1+\lambda )b_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot (1+\lambda )b_{21}|\\=\ &|b_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot b_{21}|+|\lambda |\cdot |b_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot b_{21}|\\=\ &|b_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot b_{21}|+|\lambda b_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot \lambda b_{21}|\\=\ &{\tilde {F}}(b_{1},a_{2})+{\tilde {F}}(\lambda b_{1},a_{2})={\tilde {F}}(b_{1},a_{2})+{\tilde {F}}(b_{2},a_{2})\end{aligned}}$

To-Do:

Linearität ergänzen

Definition

Spezialfall: reelle 2x2-Matrix

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2x2}$

Wir konstruieren eine Funktion $D:\mathbb {R} ^{2x2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit der Hilfe man den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $a_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}},a_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}}$ aufgespannt wird.

To-Do:

Bild einfügen

Diese Abbildungen soll folgende Eigenschaften erfüllen:

Multilinearität (ML) (Linearität in jeder Komponente)

• $D(a_{1}+{\tilde {a}}_{1},a_{2})=D(a_{1},a_{2})+D({\tilde {a}}_{1},a_{2})$
• $D(\lambda a_{1},a_{2})=\lambda \cdot D(a_{1},a_{2})$
• $D(a_{1},a_{2}+{\tilde {a}}_{2})=D(a_{1},a_{2})+D(a_{1},{\tilde {a}}_{2})$
• $D(a_{1},\lambda a_{2})=\lambda \cdot D(a_{1},a_{2})$

Alterniertheitsbedingung (AB)

$D(a_{1},a_{1})=0$

Satz

$D(a_{1},a_{2})=-D(a_{2},a_{1})$

Beweis

${\begin{aligned}0&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(AB)}}\right.}\\[0.3em]&=\ D(a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]&=\ D(a_{1},a_{1}+a_{2})+D(a_{2},a_{1}+a_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]&=\ D(a_{1},a_{1})+D(a_{1},a_{2})+D(a_{2},a_{1})+D(a_{2},a_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(AB)}}\right.}\\[0.3em]&=\ D(a_{1},a_{2})+D(a_{2},a_{1})\end{aligned}}$

Normierungsbedingung (NB)

$D(e_{1},e_{2})=1$

Bemerkung: Diese Bedingung sollte intuitiv klar sein, wenn wir an das Parallelogramm denken, dass von den Einheitsvektoren aufgespannt.

Satz (Berechnung der Determinante in $\mathbb {R} ^{2x2}$)

$D(a_{1},a_{2})=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$

Beweis (Berechnung der Determinante in $\mathbb {R} ^{2x2}$)

${\begin{aligned}D(a_{1},a_{2})&=D(a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2},a_{12}e_{1}+a_{22}e_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]&=\ D(a_{11}e_{1},a_{12}e_{1})+D(a_{11}e_{1},a_{22}e_{2})+D(a_{21}e_{2},a_{12}e_{1})+D(a_{21}e_{2},a_{22}e_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]&=\ a_{11}\cdot a_{12}\cdot D(e_{1},e_{1})+a_{11}\cdot a_{22}\cdot D(e_{1},e_{2})+a_{21}\cdot a_{12}\cdot D(e_{2},e_{1})+a_{21}\cdot a_{22}\cdot D(e_{2},e_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(AB) }}D(e_{1},e_{1})=0{\text{ und }}D(e_{2},e_{2})=0\right.}\\[0.3em]&=\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot D(e_{1},e_{2})+a_{21}\cdot a_{12}\cdot D(e_{2},e_{1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{(AB) (Satz) }}D(e_{2},e_{1})=-D(e_{1},e_{2}){\text{ und (NB) }}D(e_{1},e_{2})=1\right.}\\[0.3em]&=\ a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\end{aligned}}$

In der Linearen Algebra II werden wir sehen, dass der Betrag der Determinante wirklich den Flächeninhalt des Parallelogramm ergibt.

To-Do:

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Allgemeiner Fall

Definition (Determinante)

Sei $K$ ein Körper. Eine Abbildung $\det :K^{n\times n}\rightarrow K$ heißt Determinante, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind.

• (ML) $\det$ ist linear bzgl. jeder Spalte von $A=(a_{i})_{i=1}^{n}$, wobei $a_{i}\in K^{n}$ (Spaltenvektor), d.h. für alle $i\in \{1,\ldots ,n\}$

1. ${\begin{aligned}&\,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+{\tilde {a}}_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&\,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])+\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},{\tilde {a}}_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])\\[1.0em]&\,{\text{ }}\end{aligned}}$
2. $\,\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},\lambda a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\lambda \cdot \det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])$

• (AB) $\det$ ist alternierend, d.h. $\det(A)=0$, falls A zwei identische Spalten hat.
• (NB) $\det$ ist normiert, d.h. $\det(I_{n})=1$

Existenz und Eindeutigkeit der Determinante

To-Do:

Existenz- und Eindeutigkeitssatz der Determinante

To-Do:

• Determinante für Dreiecksmatrizen
• Eigenschaften der Determinante
• Adjungierte
• Cramer'sche Regel
• Leibniz-Formel der Determinante
• x durch kartesisches Produkt ersetzen
• Extra-Kapitel für Permutationen