Eigenschaften der Determinante – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Dieses Kapitel gibt eine Übersicht über die Eigenschaften der Determinantenfunktion.

Herleitung und Beweis der Eigenschaften

To-Do:

Folgendes in den jeweiligen Eigenschaften einfügen:

Satz (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Sei $K$ ein Körper und $A\in K^{n\times n}$

1) Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile (o.B.d.A $i<j$)

Für $P_{ij}=[e_{1},\ldots ,e_{i-1},\color {red}e_{j}\color {black},e_{i+1},\ldots ,e_{j-1},\color {red}e_{i}\color {black},e_{j+1},\ldots ,e_{n}]$ gilt: $\det(A\cdot P_{ij})=\color {red}-\color {black}\det(A)$

2) Multiplikation der i-ten Zeile mit $\lambda \in K$

Für $M_{i}(\lambda )=[e_{1},\ldots ,e_{i-1},\color {red}\lambda e_{i}\color {black},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]$ gilt: $\det(A\cdot M_{i}{\lambda })=\color {red}\lambda \color {black}\cdot \det(A)$

3) Multiplikation des <math<\lambda \in K> fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile

Für $G_{ij}(\lambda )=[e_{1},\ldots ,e_{j-1},\color {red}e_{j}+\lambda e_{i}\color {black},e_{j+1},\ldots ,e_{n}]$ gilt: $\det(A\cdot G_{ij}(\lambda ))=\det(A)$

Wir wollen später den Gauß-Algorithmus nutzen, um die Matrix, von der wir die Determinante berechnen wollen, zu vereinfachen. Dazu müssen wir natürlich wissen, wie die Multiplikation mit den jeweiligen Elementarmatrizen die Determinante verändert.

Beispiel (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Wir können schon die Determinanten für (2x2)-Matrizen berechnen. Wir wollen hier mal ein kleines Beispiel rechnen. (Später werden wir das auch noch für größere Matrizen machen.)

1) Sei $A={\begin{pmatrix}4&4\\1&2\end{pmatrix}}$

Natürlich können wir hier mit obiger Formel leicht die Determinante berechnen:

$\det(A)=4\cdot 2-1\cdot 4=4$

Wir wollen jetzt mit dem Gauß-Algorithmus die Berechnung vereinfachen (,auch wenn das hier keinen so größen Unterschied macht).

Multiplikation der ersten Zeile mit ${\frac {1}{4}}$

${\tilde {A}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$

Es gilt dann: $\det({\tilde {A}})={\frac {1}{4}}\cdot \det(A)\Rightarrow \det(A)=4\cdot \det({\tilde {A}})=4\cdot (1\cdot 2-1\cdot 1)=4$

2) Sei $A={\begin{pmatrix}5&4\\1&1\end{pmatrix}}$

$\det(A)=5\cdot 1-1\cdot 4=1$

Subtraktion des 4-fachen der zweiten Zeile von der ersten Zeile: ${\tilde {A}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$

Damit gilt $\det(A)=\det({\tilde {A}})=1\cdot 1-1\cdot 0=1$

Wir sehen also: Es kommt jeweils dasselbe Ergebnis!

3) Jetzt wollen wir uns noch ein Beispiel für eine (3x3)-Matrix anschauen. Da wir noch keine Formel dafür haben, greifen wir auf einen kleinen Trick zurück. Wir wissen bereits, dass $det(I_{n})=1$ gilt. Außerdem können wir jede Matrix mit vollem Rang auf die Einheitsmatrix transformieren.

To-Do:

Hyperlink auf entsprechendes Kapitel

Betrachten wir also folgende Matrix $A={\begin{pmatrix}2&2&2\\0&1&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$

Wir nehmen hier der Übersicht halber bereits eine Matrix in Zeilenstufenform. Für kompliziertere Gauß-Transformationen kannst du ja in das entsprechende Kapitel schauen.

Multiplikation der 3. Zeile mit ${\frac {1}{7}}\Rightarrow$ Determinante der transformierten Matrix mit 7 multiplizieren:

${\begin{pmatrix}2&2&2\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Subtraktion der dritten Zeile von der zweiten Zeile und zweimal von der ersten Zeile: $\Rightarrow$ Determinante ändert sich nicht

${\begin{pmatrix}2&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Subtraktion der zweiten Zeile zweimal von der ersten Zeile: $\Rightarrow$ Determinante ändert sich nicht

${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Multiplikation der 1. Zeile mit ${\frac {1}{2}}\Rightarrow$ Determinante der transformierten Matrix mit 2 multiplizieren:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Damit erhalten wir für die Determinante $\det(A)=7\cdot 2\cdot 1=14$

Beweis (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

1) Seien $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ o.B.d.A. $i<j$ (sonst Umbenennung)

${\begin{aligned}&0=\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(AB) }}a_{i}+a_{j}{\text{ und }}a_{j}+a_{i}{\text{ identisch }}\right.}\\[0.3em]=\ &\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},\color {red}a_{i}+a_{j}\color {Black},\ldots ,a_{i+1},\ldots ,a_{j-1},\color {red}a_{j}+a_{i}\color {black},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]=\ &\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])+\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{j-1},a_{i},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])+\\[0.3em]&\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])+\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{j-1},a_{i},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(AB)}}\right.}\\[0.3em]=\ &\det(A)+0+0+\det(A\cdot P_{ij})\\[0.3em]&\Rightarrow \det(A\cdot P_{ij})=-\det(A)\end{aligned}}$

2) Sei $i\in \{1,\ldots ,n\}$

${\begin{aligned}&\det(A\cdot M_{i}(\lambda ))=\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},\lambda a_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \det(A)\end{aligned}}$

3) Seien $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

${\begin{aligned}\\[0.3em]&\det(A\cdot G_{ij}(\lambda )=\det([a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j}+\lambda a_{i},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]=\ &\det([a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])+\lambda \cdot \det([a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{i},a_{j+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(AB) Die zweite Matrix hat zweimal die Spalte }}a_{i}\right.}\\[0.3em]=\ &\det(A)+\lambda \cdot 0=\det(A)\end{aligned}}$

Notiz: Analog kann man das für elementare Spaltenumformungen beweisen. (Multiplikation von links mit den Elementarmatrizen)

Satz (Lemma)

Sei $K$ ein Körper und $A\in K^{n\times n}$ eine Nullspalte, so ist $\det(A)=0$

Beweis (Lemma)

${\begin{aligned}\\[0.3em]&\det(A)=\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},0,a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]=\ &\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a-a,a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{(ML)}}\right.}\\[0.3em]=\ &\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a,a_{i+1},\ldots ,a_{n}])-\det([a_{1},\ldots ,a_{i-1},a,a_{i+1},\ldots ,a_{n}])=0\\[0.3em]\end{aligned}}$

Insbesondere hat die Matrix keinen vollen Rang. Wir werden später sehen, dass die $\det(A)\neq 0\Leftrightarrow rg(A)=n$

Definition

Sei $K$ ein Körper und $A\in K^{n\times n}$ mit $n\geq 2$

Wir definieren dann die Matrix $A_{ij}\in K^{(n-1)\times (n-1)}$ als die Matrix, die aus A durch streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Wir nennen $\det(A_{ij})$ Minor (n-1)-ter Ordnung von A

Vertauschen von Zeilen und Spalten

Satz (Vertauschen von Zeilen und Spalten)

Addition von Zeilen und Spalten

Satz (Addition von Zeilen und Spalten)

Multiplikation mit Skalaren

Satz

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine $n\times n$-Matrix über den Körper $K$ und $k\in K$ ein Skalar aus dem Körper. Dann gilt:

$\det(k\cdot A)=k^{n}\det(A)$

Produkte von Matrizen

Satz

Seien $A,B\in K^{n\times n}$ zwei $n\times n$-Matrizen über den Körper $K$. Dann gilt für das Matrixprodukt $AB$:

$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

Inverse Matrix

Satz

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine invertierbare $n\times n$-Matrix über den Körper $K$. Sei $A^{-1}$ die inverse Matrix zu A, das heißt $AA^{-1}=I$. Dann gilt:

$\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$

Transponierte Matrix

Satz

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine $n\times n$-Matrix über den Körper $K$ und sei $A^{T}$ die transponierte Matrix. Dann gilt:

$\det(A^{T})=\det(A)$

Ähnliche Matrizen

Satz

Sei $A\in K^{n\times n}$ eine $n\times n$-Matrix über den Körper $K$ und $B\in K^{n\times n}$ eine weitere $n\times n$-Matrix, die ähnlich zu $A$ ist. Das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix $S$, so dass $A=S^{-1}BS$. Dann gilt:

$\det(A)=\det(B)$

Warnung

Die Umkehrung gilt nicht! Aus der Gleichheit der Determinanten folgt nicht, dass die beiden Matrizen zueinander ähnlich sind.

To-Do:

Beispiel