Eigenschaften der Determinante – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Dieses Kapitel gibt eine Übersicht über die Eigenschaften der Determinantenfunktion.

Übersicht der Eigenschaften[Bearbeiten]

Herleitung und Beweis der Eigenschaften[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Folgendes in den jeweiligen Eigenschaften einfügen:

Satz (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Sei ein Körper und

1) Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile (o.B.d.A )

Für gilt:

2) Multiplikation der i-ten Zeile mit

Für gilt:

3) Multiplikation des <math<\lambda \in K> fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile

Für gilt:

Wir wollen später den Gauß-Algorithmus nutzen, um die Matrix, von der wir die Determinante berechnen wollen, zu vereinfachen. Dazu müssen wir natürlich wissen, wie die Multiplikation mit den jeweiligen Elementarmatrizen die Determinante verändert.

Beispiel (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

Wir können schon die Determinanten für (2x2)-Matrizen berechnen. Wir wollen hier mal ein kleines Beispiel rechnen. (Später werden wir das auch noch für größere Matrizen machen.)

1) Sei

Natürlich können wir hier mit obiger Formel leicht die Determinante berechnen:

Wir wollen jetzt mit dem Gauß-Algorithmus die Berechnung vereinfachen (,auch wenn das hier keinen so größen Unterschied macht).

Multiplikation der ersten Zeile mit

Es gilt dann:

2) Sei

Subtraktion des 4-fachen der zweiten Zeile von der ersten Zeile:

Damit gilt

Wir sehen also: Es kommt jeweils dasselbe Ergebnis!

3) Jetzt wollen wir uns noch ein Beispiel für eine (3x3)-Matrix anschauen. Da wir noch keine Formel dafür haben, greifen wir auf einen kleinen Trick zurück. Wir wissen bereits, dass gilt. Außerdem können wir jede Matrix mit vollem Rang auf die Einheitsmatrix transformieren.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Hyperlink auf entsprechendes Kapitel

Betrachten wir also folgende Matrix

Wir nehmen hier der Übersicht halber bereits eine Matrix in Zeilenstufenform. Für kompliziertere Gauß-Transformationen kannst du ja in das entsprechende Kapitel schauen.

Multiplikation der 3. Zeile mit Determinante der transformierten Matrix mit 7 multiplizieren:

Subtraktion der dritten Zeile von der zweiten Zeile und zweimal von der ersten Zeile: Determinante ändert sich nicht

Subtraktion der zweiten Zeile zweimal von der ersten Zeile: Determinante ändert sich nicht

Multiplikation der 1. Zeile mit Determinante der transformierten Matrix mit 2 multiplizieren:

Damit erhalten wir für die Determinante

Beweis (Bezug zum Gauß-Algorithmus)

1) Seien o.B.d.A. (sonst Umbenennung)

2) Sei

3) Seien

Notiz: Analog kann man das für elementare Spaltenumformungen beweisen. (Multiplikation von links mit den Elementarmatrizen)

Satz (Lemma)

Sei ein Körper und eine Nullspalte, so ist

Beweis (Lemma)

Insbesondere hat die Matrix keinen vollen Rang. Wir werden später sehen, dass die

Definition

Sei ein Körper und mit

Wir definieren dann die Matrix als die Matrix, die aus A durch streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Wir nennen Minor (n-1)-ter Ordnung von A

Vertauschen von Zeilen und Spalten[Bearbeiten]

Satz (Vertauschen von Zeilen und Spalten)

Addition von Zeilen und Spalten[Bearbeiten]

Satz (Addition von Zeilen und Spalten)

Multiplikation mit Skalaren[Bearbeiten]

Satz

Sei eine -Matrix über den Körper und ein Skalar aus dem Körper. Dann gilt:

Produkte von Matrizen[Bearbeiten]

Satz

Seien zwei -Matrizen über den Körper . Dann gilt für das Matrixprodukt :

Inverse Matrix[Bearbeiten]

Satz

Sei eine invertierbare -Matrix über den Körper . Sei die inverse Matrix zu A, das heißt . Dann gilt:

Transponierte Matrix[Bearbeiten]

Satz

Sei eine -Matrix über den Körper und sei die transponierte Matrix. Dann gilt:

Ähnliche Matrizen[Bearbeiten]

Satz

Sei eine -Matrix über den Körper und eine weitere -Matrix, die ähnlich zu ist. Das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix , so dass . Dann gilt:

Warnung

Die Umkehrung gilt nicht! Aus der Gleichheit der Determinanten folgt nicht, dass die beiden Matrizen zueinander ähnlich sind.
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beispiel