Folgendes in den jeweiligen Eigenschaften einfügen:
Satz (Bezug zum Gauß-Algorithmus)
Sei
ein Körper und
1) Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile (o.B.d.A
)
Für
gilt:
2) Multiplikation der i-ten Zeile mit
Für
gilt:
3) Multiplikation des <math<\lambda \in K> fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile
Für
gilt:
Wir wollen später den Gauß-Algorithmus nutzen, um die Matrix, von der wir die Determinante berechnen wollen, zu vereinfachen. Dazu müssen wir natürlich wissen, wie die Multiplikation mit den jeweiligen Elementarmatrizen die Determinante verändert.
Beispiel (Bezug zum Gauß-Algorithmus)
Wir können schon die Determinanten für (2x2)-Matrizen berechnen. Wir wollen hier mal ein kleines Beispiel rechnen.
(Später werden wir das auch noch für größere Matrizen machen.)
1) Sei
Natürlich können wir hier mit obiger Formel leicht die Determinante berechnen:
Wir wollen jetzt mit dem Gauß-Algorithmus die Berechnung vereinfachen (,auch wenn das hier keinen so größen Unterschied macht).
Multiplikation der ersten Zeile mit
Es gilt dann:
2) Sei
Subtraktion des 4-fachen der zweiten Zeile von der ersten Zeile:
Damit gilt
Wir sehen also: Es kommt jeweils dasselbe Ergebnis!
3) Jetzt wollen wir uns noch ein Beispiel für eine (3x3)-Matrix anschauen.
Da wir noch keine Formel dafür haben, greifen wir auf einen kleinen Trick zurück. Wir wissen bereits, dass
gilt.
Außerdem können wir jede Matrix mit vollem Rang auf die Einheitsmatrix transformieren.
To-Do:
Hyperlink auf entsprechendes Kapitel
Betrachten wir also folgende Matrix
Wir nehmen hier der Übersicht halber bereits eine Matrix in Zeilenstufenform. Für kompliziertere Gauß-Transformationen kannst du ja in das entsprechende Kapitel schauen.
Multiplikation der 3. Zeile mit
Determinante der transformierten Matrix mit 7 multiplizieren:
Subtraktion der dritten Zeile von der zweiten Zeile und zweimal von der ersten Zeile:
Determinante ändert sich nicht
Subtraktion der zweiten Zeile zweimal von der ersten Zeile:
Determinante ändert sich nicht
Multiplikation der 1. Zeile mit
Determinante der transformierten Matrix mit 2 multiplizieren:
Damit erhalten wir für die Determinante
Beweis (Bezug zum Gauß-Algorithmus)
1) Seien
o.B.d.A.
(sonst Umbenennung)
2) Sei
3) Seien
Notiz: Analog kann man das für elementare Spaltenumformungen beweisen. (Multiplikation von links mit den Elementarmatrizen)
Satz (Lemma)
Sei
ein Körper und
eine Nullspalte, so ist
Beweis (Lemma)
Insbesondere hat die Matrix keinen vollen Rang. Wir werden später sehen, dass die
Definition
Sei
ein Körper und
mit
Wir definieren dann die Matrix
als die Matrix, die aus A durch streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
Wir nennen
Minor (n-1)-ter Ordnung von A