Funktionenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel betrachten wir Funktionenräume. Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Abbildungen von einer nichtleere Menge in einen Vektorraum sind.

Herleitung[Bearbeiten]

Ein Vektorraum mit überabzählbar vielen Einträgen[Bearbeiten]

Wir haben einige Beispiele für -Vektorräume über einem allgemeinen Körper kennengelernt: Für eine natürliche Zahl gibt es den Koordinatenraum . Die Vektoren in sind Tupel mit . Die Vektoren in haben also Koordinaten. Im Folgenraum sind die Vektoren Folgen in , d.h. die Vektoren haben die Form mit . Intuitiv haben die Vektoren im Folgenraum so viele Koordinaten, wie es natürliche Zahlen gibt, also abzählbar unendlich viele.

Gibt es einen Vektorraum, dessen Vektoren noch mehr als abzählbar unendlich viele Koordinaten haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns erst überlegen, wie wir Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten gefunden haben. Dafür haben wir Folgen über dem Körper betrachtet. Formal ist eine Folge eine Funktion

Also besteht der Folgenraum aus allen Funktionen aus den natürlichen Zahlen in den Körper . Weil der Definitionsbereich der Funktionen die abzählbar unendliche Menge ist, haben die Vektoren im Folgenraum abzählbar unendlich viele Koordinaten.

Wir können auch Funktionen aus einer Menge, die mächtiger als ist, untersuchen. Dafür nehmen wir eine überabzählbare Menge und betrachten alle Funktionen . So erhalten wir die Menge aller Abbildungen von nach :

Was ist eine mögliche Vektorraumstruktur auf ? Wieder können wir uns anschauen, wie die Vektorraumstruktur beim Folgenraum funktioniert. Im Folgenraum ist die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert, d.h. für zwei Folgen , und einem Skalar gilt

Wir erinnern uns, dass die Folgen die Folgen und formal Funktionen und sind:

Wie sieht die Funktionsvorschrift von und aus? Es ist

und

Also sind die Funktionen und definiert durch und .

So können wir auch allgemein die Vektoraddition und skalare Multiplikation in mit einer nichtleeren Menge definieren. Für zwei Funktionen und ist gegeben durch für . Genauso ist die Skalarmultiplikation gegeben durch .

Der Vektorraum hat für jedes Element in eine "Koordinate". Da überabzählbar ist, hat überabzählbar viele Koordinaten.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Wir haben uns überlegt, dass die Menge aller Abbildungen ein -Vektorraum sein sollte. Können wir noch einen allgemeineren Vektorraum der Abbildungen finden? Was muss eine Menge erfüllen, damit wir eine komponentenweise Addition und skalare Multiplikation auf definieren können? Für zwei Abbildungen soll gegeben sein durch

für jedes . Um die Abbildung zu definieren, muss also eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen in addieren können. Die skalare Multiplikation von mit der Abbildung ist definiert durch

mit . Hier muss eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen Elemente aus mit Elementen in multiplizieren können. Wir brauchen also eine skalare Multiplikation in .

Damit ein -Vektorraum ist, braucht man in eine Addition und skalare Multiplikation. D.h. muss ein -Vektorraum sein. Für jeden -Vektorraum und jede Menge sollte auch die Menge der Abbildungen einen -Vektorraum bilden. Diesen nennen wir Funktionenraum. Wir werden später noch formal beweisen, dass tatsächlich ein Vektorraum ist.

Definition des Funktionenraums[Bearbeiten]

Sei ein Körper, ein -Vektorraum und irgendeine nichtleere Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von nach definieren:

Definition (Menge der Abbildungen von nach )

Wir bezeichnen die Menge aller Abbildungen von nach durch . Das bedeutet formal .

Hinweis

Für diese Definition haben wir noch nicht benutzt, dass ein Vektorraum ist. Es genügt, wenn eine Menge ist.

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf )

Die Addition ist wie folgt definiert: Die Summe von zwei Abbildungen ist eine Abbildung , die durch

für alle gegeben ist.

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation : Für ein Skalar und eine Abbildung ist die Skalarmultiplikation definiert durch

für jedes .

Hinweis

und wie in der obigen Definition sind tatsächlich wieder Abbildungen , da wir sie auf jedem Element angegeben haben (und als Vektorraum abgeschlossen unter und ist).

Hinweis

Für die Definition brauchen wir nur, dass ein Vektorraum ist, da hier die Addition und die skalare Multiplikation stattfinden. kann tatsächlich eine beliebige Menge (d.h. ohne algebraischer Struktur) sein.

Erklärung zur Definition der Addition und skalaren Multiplikation[Bearbeiten]

Wir haben die Vektoraddition und die skalare Multiplikation im Funktionenraum formal definiert. Die Addition ist definiert durch . Aber was heißt das nun?

Für die Funktionen haben wir eine Funktion definiert. Jede Funktion ist durch ihre Werte an den bestimmt. Das heißt, um zu definieren, müssen wir für bestimmen. In unserer Definition ist festgelegt als die Addition der Vektoren und , also .

Ähnlich funktioniert die skalare Multiplikation. Für ein Skalar und eine Funktion haben wir die Funktion definiert. Die Werte dieser neuen Funktion sind gegeben durch die skalare Multiplikation von mit dem Vektor , also .

Der Funktionenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen. Also müssen wir die acht Vektorraumaxiome beweisen. An der Kommutativität der Addition zeigen wir, wie man solche Beweise führt. Für die Kommutativität müssen wir folgende Aussage beweisen

Seien also und . Wir müssen zeigen, dass gilt. Sowohl als auvch sind in , also Abbildungen von nach . Wann sind zwei Abbildungen gleich? Sie sind genau dann gleich, wenn sie für jedes den gleichen Funktionswert haben. Also gilt genau dann, wenn für alle das Folgende gilt: . Hier können wir nun die Definition von benutzen:

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien . Dann gilt für :

Da dies für alle gilt, folgt . Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien . Dann gilt für :

Das gilt für alle . Deshalb folgt . Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: neutrales Element der Addition

Wir müssen nun zeigen, dass es ein neutrales Element gibt.

Das heißt, soll für alle gelten. Wir zeigen, dass die Nullabbildung diese Eigenschaft besitzt.

Sei . Dann gilt für alle :

Also folgt . Damit ist gezeigt, dass ein neutrales Element bezüglich der Addition besitzt.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei mit . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass gilt. Da ein Vektorraum ist, existiert zu jedem ein Inverses bezüglich "" mit . Wir definieren . Es gilt . Wir zeigen, dass das Inverse zu ist. Es gilt für jedes :

Also gilt .

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt für :

Weil dies für jedes gilt, folgt . Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und . Für gilt

Also ist . Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität für Skalare

Seien und . Dann gilt für :

Somit gilt . Damit ist das Assoziativgesetz für Skalare gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei und sei außerdem das neutrale Element bezüglich der Multiplikation im Körper . Dann gilt für jedes :

Da das für alle gilt, folgt . Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Hinweis

Einige zählen die Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation auch noch zu den Vektorraumaxiomen. Diese folgen aber daraus, dass selbst ein -Vektorraum ist. Das haben wir uns im Hinweis nach der Definition der Verknüpfungen überlegt.

Außerdem muss gelten, dass nicht leer ist. Dies folgt direkt aus der Existenz eines neutralen Elements bezüglich der Addition.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen als Untervektorraum eines Funktionsraums[Bearbeiten]

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge in einen -Vektorraum wieder ein -Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall , und . Wir wissen bereits, dass ein -Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen ein -Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen . Wir bezeichnen diese mit .

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen bildet einen -Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen , d.h. . Um zu zeigen, dass einen -Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ein -Untervektorraum von ist. Dazu müssen wir die 3 Unterraumkriterien zeigen.

Beweisschritt:

Die Funktion ist eine differenzierbare Funktion. Also: .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Seien differenzierbar, d.h. . Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Funktion differenzierbar ist. Folglich gilt .

Beweisschritt: Für alle und alle gilt .

Sei und . Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Abbildung differenzierbar ist. Somit gilt .

Damit haben wir gezeigt, dass ein -Untervektorraum von ist.

Zusammenhang mit dem Folgenraum[Bearbeiten]

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge mit Einträgen in können wir auffassen als Funktion . In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionenraums , indem wir und setzen.