Funktionsräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel betrachten wir Funktionsräume. Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Abbildungen von einer Menge in einen Vektorraum sind.

Herleitung[Bearbeiten]

Ein Vektorraum mit überabzählbar vielen Einträgen[Bearbeiten]

Wir haben einige Beispiele für -Vektorräume über einem allgemeinen Körper kennengelernt: Für eine natürliche Zahl gibt es den Koordinatenraum . Die Vektoren in sind Tupel mit . Die Vektoren in haben also Koordinaten. Im Folgenraum sind die Vektoren Folgen in , d.h. die Vektoren haben die Form mit . Intuitiv haben die Vektoren im Folgenraum so viele Koordinaten, wie es natürliche Zahlen gibt, also abzählbar unendlich viele.

Gibt es einen Vektorraum, dessen Vektoren noch mehr als abzählbar unendlich viele Koordinaten haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns erst überlegen, wie wir Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten gefunden haben. Dafür haben wir Folgen über dem Körper betrachtet. Formal ist eine Folge eine Funktion

Also besteht der Folgenraum aus allen Funktionen aus den natürlichen Zahlen in den Körper . Weil der Definitionsbereich der Funktionen die abzählbar unendliche Menge ist, haben die Vektoren im Folgenraum abzählbar unendlich viele Koordinaten.

Wir können auch Funktionen aus einer Menge, die mächtiger als ist, untersuchen. Dafür nehmen wir eine überabzählbare Menge und betrachten alle Funktionen . So erhalten wir die Menge aller Abbildungen von nach :

Was ist eine mögliche Vektorraumstruktur auf ? Wieder können wir uns anschauen, wie die Vektorraumstruktur beim Folgenraum funktioniert. Im Folgenraum ist die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert, d.h. für zwei Folgen , und einem Skalar gilt

Wir erinnern uns, dass die Folgen die Folgen und formal Funktionen und sind:

Wie sieht die Funktionsvorschrift von und aus? Es ist

und

Also sind die Funktionen und definiert durch und .

So können wir auch allgemein die Vektoraddition und skalare Multiplikation in definieren. Für zwei Funktionen und ist gegeben durch für . Todo Auch bei der Menge der Abbildungen können wir mit Funktionen komponentenweise rechnen. Die Komponenten einer Abbildung sind die Werte für . Wir haben zwei Funktionen und und wollen definieren. Für jedes soll die -te Komponente von gegeben sein durch die Summe der -ten Komponenten von und , d.h. . Genauso ist die Skalarmultiplikation gegeben durch . Wir werden unten sehen, dass mit dieser Addition und Skalarmultiplikation die Menge der Abbildungen ein Vektorraum ist. Diesen nennen wir Funktionenraum über .

Der Funktionenraum hat für jedes Element in eine "Koordinate". Da überabzählbar ist, hat überabzählbar viele Koordinaten.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

  • Haben gesehen, dass Abb(X,K) ein K-VR ist
  • Was haben wir gebraucht, damit wir die Addition und skalare Mult. definieren konnten?
  • Wir haben die Add. und Skalare Mult in K benutzt
  • --> VR-Struktur von K hat zum definieren gereicht
  • für V K-VR sollte auch Abb(X,V) sollte ein K-VR sein
  • Ja, wir können das definieren und sehen später, dass es ein VR ist

Definition des Funktionsraums[Bearbeiten]

Sei ein Körper, ein -Vektorraum und irgendeine Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von nach definieren:

Definition (Menge der Abbildungen von nach )

Wir bezeichnen die Menge aller Abbildungen von nach durch . Das bedeutet formal .

Hinweis

Für diese Definition haben wir noch nicht benutzt, dass ein Vektorraum ist. Es genügt, wenn eine Menge ist.

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf )

Die Addition ist definiert durch

für alle und .

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation durch

für alle und .

Hinweis

und wie in der obigen Definition sind tatsächlich wieder Abbildungen , da wir sie auf jedem Element angegeben haben (und abgeschlossen unter und ist).

Hinweis

Für die Definition brauchen wir nur, dass ein Vektorraum ist, kann tatsächlich eine beliebige Menge (d.h. ohne algebraischer Struktur) sein.

Der Funktionenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Ausführliche Erklärung anhand von einem Beispiel

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis überarbeiten

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen. Daher sei im Folgenden immer .

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: neutrales Element der Addition

Wir müssen nun zeigen, dass es ein neutrales Element gibt.

Das heißt, soll für alle gelten. Es liegt auf der Hand, dass die Nullabbildung diese Eigenschaft besitzt.

Sei . Dann gilt:

Damit ist gezeigt, dass ein neutrales Element bezüglich der Addition besitzt.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei mit . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass gilt. Da ein Vektorraum ist, existiert zu jedem ein Inverses bezüglich "" mit . Wir zeigen nun, dass das Inverse zu ist. Es gilt:

Weiterhin ist , durch die Wohldefiniertheit von und der Eindeutigkeit der Inversen in , eindeutig bestimmt. Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und .

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei . Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Hinweis

Einige zählen die Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation auch noch zu den Vektorraumaxiomen. Diese folgen aber daraus, dass selbst ein -Vektorraum ist. Das haben wir uns im Hinweis nach der Definition der Verknüpfungen überlegt.

Außerdem muss gelten, dass nicht leer ist. Dies folgt direkt aus der Existenz eines neutralen Elements bezüglich der Addition.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen als -Vektorraum[Bearbeiten]

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer Menge in einen -Vektorraum wieder ein -Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall , und . Wir wissen bereits, dass ein -Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen ein -Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen . Wir bezeichnen diese mit .

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen bildet einen -Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen , d.h. . Um zu zeigen, dass einen -Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ein -Untervektorraum von ist. Dazu müssen wir die 3 Unterraumkriterien zeigen.

Beweisschritt:

Die Funktion ist eine differenzierbare Funktion. Also: .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Seien differenzierbar, d.h. . Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Funktion differenzierbar ist. Folglich gilt .

Beweisschritt: Für alle und alle gilt .

Sei und . Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Abbildung differenzierbar ist. Somit gilt .

Damit haben wir gezeigt, dass ein -Untervektorraum von ist.

Zusammenhang mit dem Folgenraum[Bearbeiten]

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge mit Einträgen in können wir auffassen als Funktion . In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionsraums , indem wir und setzen.