Funktionsräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Vektorraum der Abbildungen eines K-Vektorraums $V$ in einen K-Vektorraum $W$

In der Mathematik ist eine Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Wir gehen hier davon aus, dass Abbildungen algebraischen Objekten wieder algebraische Objekte zuordnen. Beispielsweise wird einem Ortsvektor eine Gerade zugeordnet. Das Konzept der Abbildung nimmt in der modernen Mathematik und eben auch in der linearen Algebra eine zentrale Stellung ein. Beispiele sind Skalar- und Vektorfelder, Gleichungssysteme, Operatoren und vieles mehr.

Deshalb ist es wichtig, dass wir uns mit der Menge $Abb(V,W)$ der Abbildungen zwischen zwei K-Vektorräume $V$ und $W$ befassen.

Seien in diesem Abschnitt immer $V$ und $W$ Vektorräume über dem Körper $K$. Die Menge aller Abbildungen $f\colon V\rightarrow W$ bezeichnen wir mit $Abb(V,W)$.

Satz ($Abb(V,W)$ ist ein Vektorraum über $K$)

Seien $f,g\in Abb(V,W)$ zwei Abbildungen von $V$ in $W$.

Mit den beiden Verknüpfungen $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$ und $(\rho \cdot f)(v)=\rho f(v)$ für alle $v\in V$ und alle $\rho \in K$ ist $Abb(V,W)$ ein K-Vektorraum.

Da der Umgang mit Abbildungen noch nicht so geläufig ist, werde ich die acht Vektorraumaxiome einmal explizit nachweisen.

Nachweis der Vektorraumaxiome

Lösung ($Abb(V,W)$ ist ein Vektorraum.)

$Abb(V,W)\neq \emptyset$, denn die Nullabbildung $O$, die jedem Element $v\in V$ die $0_{W}\in W$ zuordnet, ist ein Element von $Abb(V,W)$.

Seien im Folgenden immer $f,g,h\in Abb(V,W){\text{ und }}v\in V$.

A1: Kommutativgesetz: Da $f(v){\text{ und }}g(v)\in W$ gilt: $(f+g)(v)=f(v)+g(v)=g(v)+f(v)=(g+f)(v)$

 Damit git: $f+g=g+f$.

A2: Assoziativgesetz: Da $f(v),g(v),h(v)\in W$ gilt: $((f+g)+h)(v)=(f+g)(v)+h(v)=(f(v)+g(v))+h(v)=f(v)+(g(v)+h(v))=f(v)+(g+h)(v)=(f+(g+h))(v)$

 Damit gilt: $f+(g+h)=(f+g)+h$.

A3: Neutrales Element der Addition: Sei $O\colon V\rightarrow W\colon O(v)=0_{W}$ für alle $v\in V$.

Dann ist $(O+f)(v)=O(v)+f(v)=0_{W}+f(v)=f(v)$

 Damit gilt: $O+f=f$.

A4: Inverses Element: Sei $i\in Abb(V,W)$ mit folgender Eigenschaft: $f(v)+i(v)=O(v)$, also $f(v)+i(v)=0_{W}\Rightarrow i(v)=-f(v)$

 Damit gilt: $-f$ ist das Inverse zu $f$ und $(f-f)(v)=O(v)$ und damit $f-f=O$

Seien $\lambda ,\rho \in K$.

A5: Skalares Distributivgesetz: $((\lambda +\rho )\cdot f)(v)=(\lambda +\rho )f(v)=\lambda f(v)+\rho f(v)$

 Damit gilt: $(\lambda +\rho )\cdot f=\lambda f+\rho f$

A6: Vektorielles Distributivgesetz: $(\rho \cdot (f+g))(v)=(\rho \cdot (f(v)+g(v))=\rho f(v)+\rho g(v)$

 Damit gilt: $\rho \cdot (f+g)=\rho \cdot f+\rho \cdot g$

A7: Assoziativgesetz für Skalare: $((\lambda \rho )\cdot f)(v)=(\lambda \rho )\cdot f(v)=\lambda \cdot (\rho f(v))$

 Damit gilt: $((\lambda \rho )\cdot f)=\lambda \cdot (\rho \cdot f)$

A8: Neutrales Element der S-Multiplikation: $(1_{K}\cdot f)(v)=1_{K}f(v)=f(v)$

  Damit gilt: $(1_{K}\cdot f)=f$

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen eines $K$-Vektorraums $V$ in einen $K$-Vektorraum $W$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall $V=W=\mathbb {R}$ und $K=\mathbb {R}$. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Wir bezeichnen diese mit ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ bildet einen $\mathbb {R}$-Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, d.h. ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\subseteq Abb(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Um zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ einen $\mathbb {R}$-Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $Abb(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ist.

• ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\neq \emptyset$

Die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 0$ ist eine differenzierbare Funktion. Also: ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\neq \emptyset$.

• Für alle $f,g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

Seien $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ differenzierbar, d.h. $f,g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Dann ist aus der Analysis bekannt, dass die Funktion $f+g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ differenzierbar ist. Folglich gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

• Für alle $f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ und alle $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

Sei $f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Aus Analysis oder aus der Schule wissen wir, dass die Abbildung $\lambda \cdot f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ differenzierbar ist. Somit gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

Damit haben wir gezeigt, dass ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $Abb(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ist.