Funktionsräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel betrachten wir Funktionsräume. Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Abbildungen $f\colon X\to V$ von einer Menge $X$ in einen Vektorraum $V$ sind.

Herleitung

Ein Vektorraum mit überabzählbar vielen Einträgen

Wir haben einige Beispiele für $K$-Vektorräume über einem allgemeinen Körper $K$ kennengelernt: Für eine natürliche Zahl $n$ gibt es den Koordinatenraum $K^{n}$. Die Vektoren in $K^{n}$ sind Tupel $(x_{1},\dots ,x_{n})$ mit $x_{i}\in K$. Die Vektoren in $K^{n}$ haben also $n$ Koordinaten. Im Folgenraum $\omega$ sind die Vektoren Folgen in $K$, d.h. die Vektoren haben die Form $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )$ mit $x_{i}\in K$. Intuitiv haben die Vektoren im Folgenraum $\omega$ so viele Koordinaten, wie es natürliche Zahlen gibt, also abzählbar unendlich viele.

Gibt es einen Vektorraum, dessen Vektoren noch mehr als abzählbar unendlich viele Koordinaten haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns erst überlegen, wie wir Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten gefunden haben. Dafür haben wir Folgen über dem Körper $K$ betrachtet. Formal ist eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine Funktion

${\begin{aligned}\mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto x_{i}\end{aligned}}$

Also besteht der Folgenraum $\omega$ aus allen Funktionen aus den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ in den Körper $K$. Weil der Definitionsbereich der Funktionen die abzählbar unendliche Menge $\mathbb {N}$ ist, haben die Vektoren im Folgenraum abzählbar unendlich viele Koordinaten.

Wir können auch Funktionen aus einer Menge, die mächtiger als $\mathbb {N}$ ist, untersuchen. Dafür nehmen wir eine überabzählbare Menge $X$ und betrachten alle Funktionen $X\to K$. So erhalten wir die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $K$:

$\operatorname {Abb} (X,K):=\left\{f\mid f\colon X\to K\right\}$

Was ist eine mögliche Vektorraumstruktur auf $\operatorname {Abb} (X,K)$? Wieder können wir uns anschauen, wie die Vektorraumstruktur beim Folgenraum funktioniert. Im Folgenraum ist die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert, d.h. für zwei Folgen $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$, $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und einem Skalar $\lambda \in K$ gilt

${\begin{aligned}(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }+(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }&=(x_{i}+y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\\\lambda \cdot (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }&=(\lambda \cdot x_{i})_{i\in \mathbb {N} }.\end{aligned}}$

Wir erinnern uns, dass die Folgen die Folgen $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und $y=(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ formal Funktionen $x$ und $y\colon \mathbb {N} \to K$ sind:

${\begin{aligned}x\colon \mathbb {N} &\to K,\ i\mapsto x(i)=x_{i}\\y\colon \mathbb {N} &\to K,\ i\mapsto y(i)=y_{i}\end{aligned}}$

Wie sieht die Funktionsvorschrift von $x+y$ und $\lambda \cdot x$ aus? Es ist

${\begin{aligned}x+y\colon \mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto x_{i}+y_{i}=x(i)+y(i)\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\lambda \cdot x\colon \mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto \lambda \cdot x_{i}=\lambda \cdot x(i)\end{aligned}}$

Also sind die Funktionen $x+y$ und $\lambda \cdot x$ definiert durch $(x+y)(i)=x(i)+y(i)$ und $(\lambda \cdot x)(i)=\lambda \cdot x(i)$.

So können wir auch allgemein die Vektoraddition $\boxplus$ und skalare Multiplikation $\boxdot$ in $\operatorname {Abb} (X,K)$ definieren. Für zwei Funktionen $f\colon X\to K$ und $g\colon X\to K$ ist $f\boxplus g$ gegeben durch $(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)$ für $x\in X$. Todo Auch bei der Menge der Abbildungen $\operatorname {Abb} (X,K)$ können wir mit Funktionen komponentenweise rechnen. Die Komponenten einer Abbildung $f\colon X\to K$ sind die Werte $f(x)$ für $x\in X$. Wir haben zwei Funktionen $f\colon X\to K$ und $g\colon X\to K$ und wollen $f\boxplus g$ definieren. Für jedes $x\in X$ soll die $x$-te Komponente von $f\boxplus g$ gegeben sein durch die Summe der $x$-ten Komponenten von $f$ und $g$, d.h. $(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)$. Genauso ist die Skalarmultiplikation gegeben durch $(\lambda \boxdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)$. Wir werden unten sehen, dass mit dieser Addition und Skalarmultiplikation die Menge der Abbildungen $\operatorname {Abb} (X,K)$ ein Vektorraum ist. Diesen nennen wir Funktionenraum über $X$.

Der Funktionenraum $\operatorname {Abb} (X,K)$ hat für jedes Element in $X$ eine "Koordinate". Da $X$ überabzählbar ist, hat $\operatorname {Abb} (X,K)$ überabzählbar viele Koordinaten.

Verallgemeinerung

• Haben gesehen, dass Abb(X,K) ein K-VR ist
• Was haben wir gebraucht, damit wir die Addition und skalare Mult. definieren konnten?
• Wir haben die Add. und Skalare Mult in K benutzt
• --> VR-Struktur von K hat zum definieren gereicht
• für V K-VR sollte auch Abb(X,V) sollte ein K-VR sein
• Ja, wir können das definieren und sehen später, dass es ein VR ist

Definition des Funktionsraums

Sei $K$ ein Körper, $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein $K$-Vektorraum und $X$ irgendeine Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$ definieren:

Definition (Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$)

Wir bezeichnen die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $V$ durch $\operatorname {Abb} (X,V)$. Das bedeutet formal $\operatorname {Abb} (X,V):=\{f\,\vert \,f\colon X\to V\,\}$.

Hinweis

Für diese Definition haben wir noch nicht benutzt, dass $V$ ein Vektorraum ist. Es genügt, wenn $V$ eine Menge ist.

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf $\operatorname {Abb} (X,V)$)

Die Addition $\boxplus \colon \operatorname {Abb} (X,V)\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$ ist definiert durch

$(f\boxplus g)(x):=f(x)+_{V}g(x)$

für alle $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ und $x\in X$.

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$ durch

$(\lambda \boxdot f)(x):=\lambda \cdot _{V}f(x)$

für alle $f\in \operatorname {Abb} (X,V),\lambda \in K$ und $x\in X$.

Hinweis

$f\boxplus g$ und $\lambda \boxdot f$ wie in der obigen Definition sind tatsächlich wieder Abbildungen $X\to V$, da wir sie auf jedem Element $x\in X$ angegeben haben (und $V$ abgeschlossen unter $+_{V}$ und $\cdot _{V}$ ist).

Hinweis

Für die Definition brauchen wir nur, dass $V$ ein Vektorraum ist, $X$ kann tatsächlich eine beliebige Menge (d.h. ohne algebraischer Struktur) sein.

Der Funktionenraum ist ein Vektorraum

Satz ($V$ ist ein Vektorraum)

$(\operatorname {Abb} (X,V),\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($V$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

To-Do:

Ausführliche Erklärung anhand von einem Beispiel

Beweis ($V$ ist ein Vektorraum)

To-Do:

Beweis überarbeiten

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen. Daher sei im Folgenden immer $x\in X$.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $f,g,h\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]((f\boxplus g)\boxplus h)(x)&=(f\boxplus g)(x)+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f(x)+_{V}g(x))+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g(x)+_{V}h(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g\boxplus h)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f\boxplus (g\boxplus h))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=g(x)+_{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(g\boxplus f)(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: neutrales Element der Addition

Wir müssen nun zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{Abb}\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt.

Das heißt, $(f\boxplus 0_{Abb})(x)=f(x)$ soll für alle $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gelten. Es liegt auf der Hand, dass die Nullabbildung $0_{Abb}\colon X\to V\ ;x\mapsto 0_{V}$ diese Eigenschaft besitzt.

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus 0_{Abb})(x)&=f(x)+_{V}0_{Abb}(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)\end{aligned}}$

Damit ist gezeigt, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ ein neutrales Element bezüglich der Addition besitzt.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ mit $f\colon X\to V;x\mapsto f(x)$. Wir müssen zeigen, dass es ein $g\in Abb(X,V)$ gibt, sodass $(f\boxplus g)(x)=0_{Abb}(x)$ gilt. Da $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein Vektorraum ist, existiert zu jedem $x\in V$ ein Inverses $-x$ bezüglich "$+_{V}$" mit $x+_{V}(-x)=0_{V}$. Wir zeigen nun, dass $g\colon X\to V,x\mapsto -f(x)$ das Inverse zu $f$ ist. Es gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(-f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Inversenbildung in V bezüglich }}+_{V}\right.}\\[0.3em]&=0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=0_{Abb}(x)\end{aligned}}$

Weiterhin ist $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$, durch die Wohldefiniertheit von $f$ und der Eindeutigkeit der Inversen in $V$, eindeutig bestimmt. Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ ein $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt mit $(f\boxplus g)(x)=0_{Abb}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](\lambda +_{K}\mu )\boxdot f(x)&=(\lambda +_{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot _{V}f)\boxplus (\mu \cdot _{V}f))(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $f,g\in Abb(X,V)$.

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]\lambda \boxdot (f\boxplus g)(x)&=\lambda \boxdot (f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\lambda \cdot _{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot f)(x)+_{V}(\lambda \boxdot g)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\lambda \boxdot g))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]((\lambda \cdot _{K}\mu )\boxdot f)(x)&=(\lambda \cdot _{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \boxdot f)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](1_{K}\boxdot f)(x)&=1_{K}\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Skalarmultiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x).\end{aligned}}$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Hinweis

Einige zählen die Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation auch noch zu den Vektorraumaxiomen. Diese folgen aber daraus, dass $V$ selbst ein $K$-Vektorraum ist. Das haben wir uns im Hinweis nach der Definition der Verknüpfungen überlegt.

Außerdem muss gelten, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ nicht leer ist. Dies folgt direkt aus der Existenz eines neutralen Elements bezüglich der Addition.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer Menge $X$ in einen $K$-Vektorraum $V$ wieder ein $K$-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall $X=]0,1[\subseteq \mathbb {R}$, $K=\mathbb {R}$ und $V=\mathbb {R}$. Wir wissen bereits, dass $V$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$. Wir bezeichnen diese mit ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ bildet einen $\mathbb {R}$-Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$, d.h. ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$. Um zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ einen $\mathbb {R}$-Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist. Dazu müssen wir die 3 Unterraumkriterien zeigen.

Beweisschritt: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$

Die Funktion $f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto 0$ ist eine differenzierbare Funktion. Also: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$.

Beweisschritt: Für alle $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Seien $f,g:]0,1[\to \mathbb {R}$ differenzierbar, d.h. $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Funktion $f+g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ differenzierbar ist. Folglich gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Beweisschritt: Für alle $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und alle $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Sei $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Abbildung $\lambda \cdot f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ differenzierbar ist. Somit gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Damit haben wir gezeigt, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist.

Zusammenhang mit dem Folgenraum

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über $K$ einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge $(a_{n})_{n}$ mit Einträgen in $K$ können wir auffassen als Funktion $\mathbb {N} \to K,n\mapsto a_{n}$. In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionsraums $\operatorname {Abb} (X,V)$, indem wir $X:=\mathbb {N}$ und $V:=K$ setzen.