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Vektorraum der Abbildungen eines K-Vektorraums
in einen K-Vektorraum
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In der Mathematik ist eine Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Wir gehen hier davon aus, dass Abbildungen algebraischen Objekten wieder algebraische Objekte zuordnen. Beispielsweise wird einem Ortsvektor eine Gerade zugeordnet. Das Konzept der Abbildung nimmt in der modernen Mathematik und eben auch in der linearen Algebra eine zentrale Stellung ein. Beispiele sind Skalar- und Vektorfelder, Gleichungssysteme, Operatoren und vieles mehr.
Deshalb ist es wichtig, dass wir uns mit der Menge
der Abbildungen zwischen zwei K-Vektorräume
und
befassen.
Seien in diesem Abschnitt immer
und
Vektorräume über dem Körper
.
Die Menge aller Abbildungen
bezeichnen wir mit
.
Da der Umgang mit Abbildungen noch nicht so geläufig ist, werde ich die acht Vektorraumaxiome einmal explizit nachweisen.
Nachweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]
Lösung (
ist ein Vektorraum.)
, denn die Nullabbildung
, die jedem Element
die
zuordnet, ist ein Element von
.
Seien im Folgenden immer
.
A1: Kommutativgesetz: Da
gilt:
Damit git:
.
A2: Assoziativgesetz: Da
gilt:
Damit gilt:
.
A3: Neutrales Element der Addition: Sei
für alle
.
Dann ist
Damit gilt:
.
A4: Inverses Element: Sei
mit folgender Eigenschaft:
, also
Damit gilt:
ist das Inverse zu
und
und damit
Seien
.
A5: Skalares Distributivgesetz:
Damit gilt:
A6: Vektorielles Distributivgesetz:
Damit gilt:
A7: Assoziativgesetz für Skalare:
Damit gilt:
A8: Neutrales Element der S-Multiplikation:
Damit gilt:
Die Menge der differenzierbaren Funktionen
als
-Vektorraum[Bearbeiten]
Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen eines
-Vektorraums
in einen
-Vektorraum
ein
-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall
und
. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen
ein
-Vektorraum ist.
Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen
. Wir bezeichnen diese mit
.
Satz
Die Menge der differenzierbaren Funktionen
bildet einen
-Vektorraum.
Beweis
Die Menge der differenzierbaren Funktionen
ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen
, d.h.
. Um zu zeigen, dass
einen
-Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass
ein
-Untervektorraum von
ist.

Die Funktion
ist eine differenzierbare Funktion. Also:
.
- Für alle
gilt
.
Seien
differenzierbar, d.h.
. Dann ist aus der Analysis bekannt, dass die Funktion
differenzierbar ist. Folglich gilt
.
- Für alle
und alle
gilt
.
Sei
und
. Aus Analysis oder aus der Schule wissen wir, dass die Abbildung
differenzierbar ist. Somit gilt
.
Damit haben wir gezeigt, dass
ein
-Untervektorraum von
ist.