Funktionsräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel wollen wir den Funktionsraum, also den Vektorraum aller Abbildungen $f\colon X\to V$ von einer Menge $X$ in einen Vektorraum $V$ betrachten.

Definition des Funktionsraums

Sei $K$ ein Körper, $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein $K$-Vektorraum und $X$ irgendeine Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$ definieren:

Definition (Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$)

Wir bezeichnen die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $V$ durch $\operatorname {Abb} (X,V)$. Das bedeutet formal $\operatorname {Abb} (X,V):=\{f\,\vert \,f\colon X\to V\,\}$.

Hinweis

Für diese Definition haben wir noch nicht benutzt, dass $V$ ein Vektorraum ist. Es genügt, wenn $V$ eine Menge ist.

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf $\operatorname {Abb} (X,V)$)

Die Addition $\boxplus \colon \operatorname {Abb} (X,V)\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$ ist definiert durch

$(f\boxplus g)(x):=f(x)+_{V}g(x)$

für alle $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ und $x\in X$.

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$ durch

$(\lambda \boxdot f)(x):=\lambda \cdot _{V}f(x)$

für alle $f\in \operatorname {Abb} (X,V),\lambda \in K$ und $x\in X$.

Hinweis

$f\boxplus g$ und $\lambda \boxdot f$ wie in der obigen Definition sind tatsächlich wieder Abbildungen $X\to V$, da wir sie auf jedem Element $x\in X$ angegeben haben (und $V$ abgeschlossen unter $+_{V}$ und $\cdot _{V}$ ist).

Hinweis

Für die Definition brauchen wir nur, dass $V$ ein Vektorraum ist, $X$ kann tatsächlich eine beliebige Menge (d.h. ohne algebraischer Struktur) sein.

Der Funktionenraum ist ein Vektorraum

Satz ($V$ ist ein Vektorraum)

$(\operatorname {Abb} (X,V),\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($V$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ($V$ ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen. Daher sei im Folgenden immer $x\in X$.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $f,g,h\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]((f\boxplus g)\boxplus h)(x)&=(f\boxplus g)(x)+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f(x)+_{V}g(x))+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g(x)+_{V}h(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g\boxplus h)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f\boxplus (g\boxplus h))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=g(x)+_{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(g\boxplus f)(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: neutrales Element der Addition

Wir müssen nun zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{Abb}\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt.

Das heißt, $(f\boxplus 0_{Abb})(x)=f(x)$ soll für alle $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gelten. Es liegt auf der Hand, dass die Nullabbildung $0_{Abb}\colon X\to V\ ;x\mapsto 0_{V}$ diese Eigenschaft besitzt.

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus 0_{Abb})(x)&=f(x)+_{V}0_{Abb}(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)\end{aligned}}$

Damit ist gezeigt, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ ein neutrales Element bezüglich der Addition besitzt.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ mit $f\colon X\to V;x\mapsto f(x)$. Wir müssen zeigen, dass es ein $g\in Abb(X,V)$ gibt, sodass $(f\boxplus g)(x)=0_{Abb}(x)$ gilt. Da $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein Vektorraum ist, existiert zu jedem $x\in V$ ein Inverses $-x$ bezüglich "$+_{V}$" mit $x+_{V}(-x)=0_{V}$. Wir zeigen nun, dass $g\colon X\to V,x\mapsto -f(x)$ das Inverse zu $f$ ist. Es gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(-f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Inversenbildung in V bezüglich }}+_{V}\right.}\\[0.3em]&=0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=0_{Abb}(x)\end{aligned}}$

Weiterhin ist $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$, durch die Wohldefiniertheit von $f$ und der Eindeutigkeit der Inversen in $V$, eindeutig bestimmt. Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ ein $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt mit $(f\boxplus g)(x)=0_{Abb}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](\lambda +_{K}\mu )\boxdot f(x)&=(\lambda +_{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot _{V}f)\boxplus (\mu \cdot _{V}f))(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $f,g\in Abb(X,V)$.

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]\lambda \boxdot (f\boxplus g)(x)&=\lambda \boxdot (f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\lambda \cdot _{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot f)(x)+_{V}(\lambda \boxdot g)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\lambda \boxdot g))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]((\lambda \cdot _{K}\mu )\boxdot f)(x)&=(\lambda \cdot _{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \boxdot f)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](1_{K}\boxdot f)(x)&=1_{K}\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Skalarmultiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x).\end{aligned}}$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Hinweis

Einige zählen die Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation auch noch zu den Vektorraumaxiomen. Diese folgen aber daraus, dass $V$ selbst ein $K$-Vektorraum ist. Das haben wir uns im Hinweis nach der Definition der Verknüpfungen überlegt.

Außerdem muss gelten, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ nicht leer ist. Dies folgt direkt aus der Existenz eines neutralen Elements bezüglich der Addition.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer Menge $X$ in einen $K$-Vektorraum $V$ wieder ein $K$-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall $X=]0,1[\subseteq \mathbb {R}$, $K=\mathbb {R}$ und $V=\mathbb {R}$. Wir wissen bereits, dass $V$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$. Wir bezeichnen diese mit ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ bildet einen $\mathbb {R}$-Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$, d.h. ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$. Um zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ einen $\mathbb {R}$-Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist. Dazu müssen wir die 3 Unterraumkriterien zeigen.

Beweisschritt: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$

Die Funktion $f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto 0$ ist eine differenzierbare Funktion. Also: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$.

Beweisschritt: Für alle $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Seien $f,g:]0,1[\to \mathbb {R}$ differenzierbar, d.h. $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Funktion $f+g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ differenzierbar ist. Folglich gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Beweisschritt: Für alle $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und alle $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Sei $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Abbildung $\lambda \cdot f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ differenzierbar ist. Somit gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Damit haben wir gezeigt, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist.

Zusammenhang mit dem Folgenraum

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über $K$ einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge $(a_{n})_{n}$ mit Einträgen in $K$ können wir auffassen als Funktion $\mathbb {N} \to K,n\mapsto a_{n}$. In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionsraums $\operatorname {Abb} (X,V)$, indem wir $X:=\mathbb {N}$ und $V:=K$ setzen.