Funktionsräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Vektorraum der Abbildungen eines K-Vektorraums in einen K-Vektorraum [Bearbeiten]

In der Mathematik ist eine Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Wir gehen hier davon aus, dass Abbildungen algebraischen Objekten wieder algebraische Objekte zuordnen. Beispielsweise wird einem Ortsvektor eine Gerade zugeordnet. Das Konzept der Abbildung nimmt in der modernen Mathematik und eben auch in der linearen Algebra eine zentrale Stellung ein. Beispiele sind Skalar- und Vektorfelder, Gleichungssysteme, Operatoren und vieles mehr.

Deshalb ist es wichtig, dass wir uns mit der Menge der Abbildungen zwischen zwei K-Vektorräume und befassen.

Seien in diesem Abschnitt immer und Vektorräume über dem Körper . Die Menge aller Abbildungen bezeichnen wir mit .

Satz ( ist ein Vektorraum über )

Seien zwei Abbildungen von in .

Mit den beiden Verknüpfungen und für alle und alle ist ein K-Vektorraum.

Da der Umgang mit Abbildungen noch nicht so geläufig ist, werde ich die acht Vektorraumaxiome einmal explizit nachweisen.

Nachweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]

Lösung ( ist ein Vektorraum.)

, denn die Nullabbildung , die jedem Element die zuordnet, ist ein Element von .

Seien im Folgenden immer .


A1: Kommutativgesetz: Da gilt:

 Damit git: .

A2: Assoziativgesetz: Da gilt:

 Damit gilt: .

A3: Neutrales Element der Addition: Sei für alle .

Dann ist

 Damit gilt: .

A4: Inverses Element: Sei mit folgender Eigenschaft: , also

 Damit gilt:  ist das Inverse zu  und  und damit 

Seien .

A5: Skalares Distributivgesetz:

 Damit gilt: 

A6: Vektorielles Distributivgesetz:

 Damit gilt: 

A7: Assoziativgesetz für Skalare:

 Damit gilt: 

A8: Neutrales Element der S-Multiplikation:

  Damit gilt: 

Die Menge der differenzierbaren Funktionen als -Vektorraum[Bearbeiten]

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen eines -Vektorraums in einen -Vektorraum ein -Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall und . Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen ein -Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen . Wir bezeichnen diese mit .

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen bildet einen -Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen , d.h. . Um zu zeigen, dass einen -Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ein -Untervektorraum von ist.

Die Funktion ist eine differenzierbare Funktion. Also: .

  • Für alle gilt .

Seien differenzierbar, d.h. . Dann ist aus der Analysis bekannt, dass die Funktion differenzierbar ist. Folglich gilt .

  • Für alle und alle gilt .

Sei und . Aus Analysis oder aus der Schule wissen wir, dass die Abbildung differenzierbar ist. Somit gilt .

Damit haben wir gezeigt, dass ein -Untervektorraum von ist.