Grundlegende Eigenschaften algebraischer Strukturen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Grundlegende Eigenschaften algebraischer Strukturen

Im Folgenden: Beschäftigung mit abstrakten Eigenschaften, die verschiedene math. Strukturen oft teilen, z.B. Kommutativität, Abgeschlossenheit. Motivation dafür: Möglichkeit, (auf einfache Weise) gleichzeitig Aussagen über diese - trotz ihrer Unterschiedlichkeit - zu treffen. Beispiele für fundamentale Charakteristika math. Strukturen:

Definition/Erklärung/Einführung: Was ist eine Verknüpfung? (Eventuell Unterscheidung innere, äußere Verknüpfung) Es existiert bereits ein Artikel in den Grundlagen zur Mathematik.

1.1 Assoziativität Negativbeispiele: Vorstellung: Bretter verkleben oder verbinden Farbmischung Verpacken Was ist nicht assoziativ? -> Potenzen Rechnen am Computer( Runden nach jeder Operation)

1.2 Kommutativität Die Reihenfolge, in der die Elemente miteinander verknüpft werden, ist egal. Rechnen mit ganzen/rationalen/reellen Zahlen wie aus der Schule bekannt Beispiel Spiegelungen/Rotationen Beispiel nte symmetrische Gruppe

1.3 Distributivität

1.4 Abgeschlossenheit Frage: Was ist eine math. Struktur? (ergibt sich z.B. durch Def. der Algebra in “Was ist Algebra?”) → Struktur muss wohldefiniert sein, um math. behandelt zu werden, bei Operationen: Abgeschlossenheit. [formale Def. der Abgeschlossenheit]

Beispiel: Ganze Zahlen, Rotationen, nte symmetrische Gruppe Beispiel für nicht-Abgeschlossenheit: Bijektive Abbildungen bzgl. der Addition, Subtraktion der natürlichen Zahlen