Inverse Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Das Ziel des Kapitels ist es

Einführung[Bearbeiten]

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To-Do:

NOCH RICHTIG AUSARBEITEN

Da wir eine Multiplikation von Matrizen eingeführt haben, stellt sich natürlich die Frage, ob es zu einer gegebenen Matrix eine Matrix gibt, derart, dass ergibt. (Die Einheitsmatrix spielt, wie wir bei den Rechenregeln zur Multiplikation von Matrizen gesehen haben, die Rolle der 1, da sie bei der Multiplikation mit anderen Matrizen diese nicht verändert.) Und falls es eine solche Matrix gibt, ist diese dann auch eindeutig?

Die beiden Fragen sind nicht so einfach zu beantworten, da wir für eine allgemeine Antwort noch weitere mathematische Konzepte benötigen, die wir erst später behandeln werden.

Wir wollen zur Einführung nur den Fall von -Matrizen vom Typ (2,2) genauer untersuchen. Wir fragen uns zunächst, was muss notwendigerweise gelten, damit die Matrix invertierbar ist.

Sei also mit . Damit muss gelten:

Definition[Bearbeiten]

Definition (Inverse Matrix)

Sei ein Körper und eine quadratische -Matrix über den Körper . Dann heißt eine Matrix inverse Matrix von , falls gilt:

Dabei handelt es sich bei um das Matrixprodukt von und bei um die Einheitsmatrix.

Hinweis

Manche Autoren nennen invertierbare Matrizen auch 'regulär'

Hinweis

Man kann die Frage stellen, ob es unterschiede zwischen linksinversen und rechtsinversen gibt. D.h., falls gilt, gilt dann auch ?

Die Antwort ist überraschenderweise ja, obwohl die Matrizenmultiplikation im allgemeinen nicht kommutativ ist.

Das sehen wir am besten, in dem wir zeigen, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe bildet, die allgemeine lineare Gruppe.

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To-Do:

Menge der invertierbaren Matrizen hier definieren?

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To-Do:

linksinvers und rechtsinvers ist gleich

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lösbarkeitskriterien Gleichungssysteme

Es gibt viele Möglichkeiten um herauszufinden, ob eine vorgegbene quadratischen Matrix invertierbar ist oder nicht. Wir werden jetzt eine Möglichkeit kennenlernen, die wir mit unseren bisherigen Methoden behandeln können. Daraus folgt schließlich auch, dass die inverse Matrix, falls existent, eindeutig ist. Letzeres bedeutet: Falls es zwei Matrizen gibt mit der Eigenschaft , dann folgt bereits .

Wir wollen nun zeigen, dass die Invertierbarkeit von Matrizen gleichbedeutend ist mit der Existenz der Umkehrfunktionen gewisser induzierter Abbildungen. Während wir noch keine Ahnung haben, wann eine Matrix invertierbar ist, so wissen wir jedoch bereits, wann eine Funktion umkehrbar ist. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn die Funktion bijektiv ist.

Satz (Existenz und Eindeutigkeit)

Sei eine quadratische -Matrix über den Körper . Sei die von der Matrix induzierte lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutige inverse Matrix genau dann, wenn die Abbildung bijektiv ist.

Zusammenfassung des Beweises (Existenz und Eindeutigkeit)

Wir müssen zwei Richtungen zeigen. Einmal nehmen wir an, dass die Matrix eine inverse Matrix besitzt und zeigen dann, dass die von der Matrix induzierte Abbildung bijektiv ist.

Umgekehrt zeigen wir, falls die induzierte Abbildung bijektiv ist, dass dann die Matrix invertierbar ist.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit)

“: Sei invertierbar. Dann gibt es eine Matrix , so dass . Betrachte nun die induzierte Abbildung . Da der Vektorraum endlich dimensional ist, reicht es zu zeigen, dass L injektiv ist.

Sei also . Das heißt, dass . Dann ist aber auch Daher ist also , also injektiv.

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To-Do:

Rückrichtung

Eigenschaften[Bearbeiten]

Wir wollen nun die wichtigsten Eigenschaften invertierbarer Matrizen zusammenfassen.

Satz (Inverse vom Matrixprodukt)

Seien zwei invertierbare Matrizen über dem Körper mit den Inversen bzw. . Dann gilt: Das Matrixprodukt ist ebenfalls invertierbar und für die inverse Matrix gilt:

Beweis (Inverse vom Matrixprodukt)

Wir haben . Also ist

Satz (Menge invertierbarer Matrizen bildet Gruppe)

Sei ein Körper und definiere die Menge aller invertierbarer Matrizen . Dann gilt: ist eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Beweis (Menge invertierbarer Matrizen bildet Gruppe)

Das Produkt von zwei invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar, siehe dazu den vorhergehenden Satz.

Wir haben bereits gesehen, dass die Multiplikation von Matrizen assoziativ ist.

Die Einheitsmatrix ist invertierbar, und es gilt für alle invertierbaren Matrizen

Daher ist das neutrale Element von

Die Existenz von Inversen ist klar: Wenn , dann ist invertierbar, also gibt es ein mit . Wir müssen nur noch zeigen, dass auch invertierbar ist. Aber ist ein inverses zu , also ist .

Damit sind alle Gruppenaxiome gezeigt, bildet also eine Gruppe.

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To-Do:

Bedeutung der Gruppe erläutern

Satz (Inverse der Inversen)

Sei eine Matrix über dem Körper . Sei invertierbar mit der inversen Matrix . Dann ist die inverse Matrix ebenfalls invertierbar und es gilt:

In Worten: Die inverse Matrix der inversen Matrix ist wieder .

Beweis (Inverse der Inversen)

Es gilt , wenn wir nun von links mit multiplizieren erhalten wir . Damit folgt

Satz (Inverse der transponierten Matrix)

Sei eine Matrix über dem Körper . Sei invertierbar mit der inversen Matrix . Dann ist die transponierte Matrix ebenfalls invertierbar und es gilt:

In Worten: Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der transponierten der inversen Matrix.

Beweis (Inverse der transponierten Matrix)

Es gilt . Wenn wir beide Seiten transponieren erhalten wir (Erinnerung: ). Jetzt multipliziern wir von rechts mit : und es ergibt sich

Berechnung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lösung von Gleichungssystemen