Inverse Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Das Ziel des Kapitels ist es

Einführung[Bearbeiten]

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To-Do:

NOCH RICHTIG AUSARBEITEN

Da wir eine Multiplikation von Matrizen eingeführt haben, stellt sich natürlich die Frage, ob es zu einer gegebenen Matrix eine Matrix gibt, derart, dass ergibt. (Die Einheitsmatrix spielt, wie wir bei den Rechenregeln zur Multiplikation von Matrizen gesehen haben, die Rolle der 1, da sie bei der Multiplikation mit anderen Matrizen diese nicht verändert.) Und falls es eine solche Matrix gibt, ist diese dann auch eindeutig?

Die beiden Fragen sind nicht so einfach zu beantworten, da wir für eine allgemeine Antwort noch weitere mathematische Konzepte benötigen, die wir erst später behandeln werden.

Wir wollen zur Einführung nur den Fall von -Matrizen vom Typ (2,2) genauer untersuchen. Wir fragen uns zunächst, was muss notwendigerweise gelten, damit die Matrix invertierbar ist.

Sei also mit . Damit muss gelten:

Definition[Bearbeiten]

Definition (Inverse Matrix)

Sei ein Körper und eine quadratische -Matrix über den Körper . Dann heißt eine Matrix inverse Matrix von , falls gilt:

Dabei handelt es sich bei um das Matrixprodukt von und bei um die Einheitsmatrix.

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To-Do:

linksinvers und rechtsinvers ist gleich

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To-Do:

Menge der inversen Matrizen hier definieren?

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To-Do:

Hinweis: invertiere matrizen werden auch regulär genannt

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lösbarkeitskriterien Gleichungssysteme

Es gibt viele Möglichkeiten um herauszufinden, ob eine vorgegbene quadratischen Matrix invertierbar ist oder nicht. Wir werden jetzt eine Möglichkeit kennenlernen, die wir mit unseren bisherigen Methoden behandeln können. Daraus folgt schließlich auch, dass die inverse Matrix, falls existent, eindeutig ist. Letzeres bedeutet: Falls es zwei Matrizen gibt mit der Eigenschaft , dann folgt bereits .

Wir wollen nun zeigen, dass die Invertierbarkeit von Matrizen gleichbedeutend ist mit der Existenz der Umkehrfunktionen gewisser induzierter Abbildungen. Während wir noch keine Ahnung haben, wann eine Matrix invertierbar ist, so wissen wir jedoch bereits, wann eine Funktion umkehrbar ist. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn die Funktion bijektiv ist.

Satz (Existenz und Eindeutigkeit)

Sei eine quadratische -Matrix über den Körper . Sei die von der Matrix induzierte lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutige inverse Matrix genau dann, wenn die Abbildung bijektiv ist.

Zusammenfassung des Beweises (Existenz und Eindeutigkeit)

Wir müssen zwei Richtungen zeigen. Einmal nehmen wir an, dass die Matrix eine inverse Matrix besitzt und zeigen dann, dass die von der Matrix induzierte Abbildung bijektiv ist.

Umgekehrt zeigen wir, falls die induzierte Abbildung bijektiv ist, dass dann die Matrix invertierbar ist.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit)

“: Sei invertierbar. Dann gibt es eine Matrix , so dass . Betrachte nun


Eigenschaften[Bearbeiten]

Wir wollen nun die wichtigsten Eigenschaften invertierbarer Matrizen zusammenfassen.

Satz (Menge invertierbarer Matrizen bildet Gruppe)

Sei ein Körper und definiere die Menge aller invertierbarer Matrizen . Dann gilt: ist eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation.

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To-Do:

Bedeutung der Gruppe erläutern

Satz (Inverse der Inversen)

Sei eine Matrix über dem Körper . Sei invertierbar mit der inversen Matrix . Dann ist die inverse Matrix ebenfalls invertierbar und es gilt:

In Worten: Die inverse Matrix der inversen Matrix ist wieder .

Satz (Inverse vom Matrixprodukt)

Seien zwei invertierbare Matrizen über dem Körper mit den Inversen bzw. . Dann gilt: Das Matrixprodukt ist ebenfalls invertierbar und für die inverse Matrix gilt:

Satz (Inverse der transponierten Matrix)

Sei eine Matrix über dem Körper . Sei invertierbar mit der inversen Matrix . Dann ist die transponierte Matrix ebenfalls invertierbar und es gilt:

In Worten: Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der transponierten der inversen Matrix.

Berechnung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lösung von Gleichungssystemen