Komplexe Zahlen: Definition und Eigenschaften – Mathe für Nicht-Freaks

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Definition[Bearbeiten]

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Definition (Die komplexen Zahlen )

Die komplexen Zahlen sind gegeben durch alle Zahlen der Form .

Dabei ist die Zahl eine Zahl mit der Eigenschaft und wird als die imaginäre Einheit bezeichnet.

Die Zahl heißt der Realteil von , die Zahl Imaginärteil von . Man schreibt auch: .

Die reellen Zahlen kann man bekanntlich mit dem Zahlenstrahl darstellen, also mit einer Geraden.

Number line

Für eine graphische Darstellung der komplexen Zahlen genügt eine einzelne Gerade aber nicht mehr. Man kann aber stattdessen die reelle Achse um eine weitere Achse, die sogenannte "imaginäre" Achse, in ein kartesisches Koordinatensystem erweitern. Die komplexen Zahlen lassen sich also durch eine Ebene graphisch darstellen, wobei die -Achse genau den reellen Zahlen entspricht. Benannt wird diese Ebene nach ihrem Entdecker als "Gauß'sche Zahlenebene". Eine komplexe Zahl entspricht dann einem Punkt dieser Ebene, wobei der -Wert dem Realteil der Zahl entspricht und der -Wert ihrem Imaginärteil .

Complex number plain
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Hinweis

Diese Darstellung der komplexen Zahlen durch die Gauß'sche Zahlenebene spiegelt die Tatsache wider, dass die komplexen Zahlen einen zweidimensionalen reellen Vektorraum im Sinne der linearen Algebra bilden und isomorph zu sind.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Offenbar sind die reellen Zahlen in den komplexen Zahlen enthalten, sie sind genau diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil gleich Null ist. Die reellen Zahlen bilden also einen Teilkörper von . Die Rechenregeln für komplexe Zahlen sollten also so festgelegt werden, dass sie in den reellen Zahlen mit den gängigen Rechenregeln übereinstimmen.

Für zwei komplexe Zahlen legt man also fest:

Addition[Bearbeiten]

Multiplikation[Bearbeiten]

Mit diesen Verknüpfungen erhält man leicht:

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Satz

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.

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Beweis

Zu Überprüfen sind alle Körperaxiome. Assoziativ-, Kommutativ-, und Distributivgesetze kann man mit den obigen Definitionen leicht auf die Rechengesetze in zurückführen: Beispielsweise gilt für das Kommutativgesetz der Multiplikation:

Die restlichen Gesetze von den oben genannten rechnet man ebenso leicht nach.

Das Neutralelement bezüglich der Addition ist offensichtlich gegeben durch , das Neutralelement bezüglich der Multiplikation durch .

Das additive Inverse eines beliebigen Elements ist offenbar gegeben durch .

Interessanter ist die Frage nach dem multiplikativem Inversen von einem beliebigen Element außer der Null: Sei . Das multiplikative Inverse ist dann gleich . Doch man muss noch zeigen, dass dieses Element in der Form dargestellt werden kann. Das sieht man durch folgende Rechnung:

Also bilden die komplexen Zahlen einen Körper.

Die komplexe Konjugation[Bearbeiten]

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Definition (Komplexe Konjugation)

Sei eine komplexen Zahl. Dann heißt die zu komplex konjugierte Zahl.

Wird also eine komplexe Zahl komplex konjugiert, so ändert sich nur das Vorzeichen ihres Imaginärteils. In der Gauß'schen Zahlenebene wird der Punkt, der zu dieser Zahl gehört, also durch die komplexe Konjugation einfach an der reellen Achse gespiegelt!

Komplexe Konjugation veranschaulicht

Eigenschaften der komplexen Konjugation[Bearbeiten]

Mit Hilfe der oben verwendeten komplexen Konjugation ergeben sich weitere nützliche Rechenregeln und Zusammenhänge:

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Satz

Für zwei komplexe Zahlen gilt:

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Beweis

Sei von der Form , wobei und sei von der Form , wobei . Dann gilt:

Betrag einer komplexen Zahl[Bearbeiten]

Der Betrag einer Zahl entspricht auf der Zahlengerade genau dem Abstand der Zahl zur Null.

Betrag von reellen Zahlen

Mit der gleichen Idee kann man nun auch einen Betrag für alle komplexen Zahlen definieren! Eine komplexe Zahl liegt in der Gauß'schen Zahlenebene, die Zahl Null entspricht dabei dem Ursprung. Für eine Zahl betrachte man nun ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck:

Betrag einer komplexen Zahl

Der Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung lässt sich dann mit dem Satz des Pythagoras bestimmen! Die Längen der Katheten entsprechen genau dem Realteil und dem Imaginärteil der komplexen Zahl. Damit erhalten wir die folgende Definition:

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Definition (Betrag einer komplexen Zahlen)

Es sei .

Dann setzen wir und nennen die Zahl den Betrag von .

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Hinweis

Der oben definierte Betrag auf den komplexen Zahlen stimmt für die reellen Zahlen mit dem üblichen Betrag überein! Sei . Dann gilt:

Existiert eine Anordnung von ?[Bearbeiten]

Eine der wichtigen Eigenschaften der reellen Zahlen ist, dass sie einen angeordneten Körper bilden. Sie erfüllen die Anordnungsaxiome, das heißt, dass die auf ihnen definierte Ordnungsrelation mit der Körperstruktur der Addition und Multiplikation verträglich ist. Anschaulich ist von zwei Zahlen einfach diejenige die Größere, die auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt.

Ordnungsrelation am Zahlenstrahl

Kann man nun auch eine Anordnung der komplexen Zahlen finden? Man könnte versuchen, den oben definierten Betrag zu verwenden, um zwei verschiedene komplexe Zahlen nach ihrer "Größe" zu vergleichen. Allerdings gibt es ja verschiedene komplexe Zahlen, die den gleichen Betrag haben! Zum Beispiel gilt für .

Der Betrag entspricht schließlich dem euklidischen Abstand der Punkte zum Ursprung der komplexen Ebene. Es gibt aber sogar unendlich viele Punkte, die vom Ursprung einen bestimmten positiven Abstand haben, nämlich alle Punkte auf dem Kreis um den Ursprung, der als Radius diesen Abstand hat.

Betragsgleiche komplexe Zahlen

Das bedeutet, dass diese Ordnungsrelation nicht die Eigenschaft der Antisymmetrie besitzt, also keine Totalordnung, nicht einmal mehr eine Halbordnung ist! Man kann sich leicht überlegen, dass die Relation reflexiv und transitiv, also zumindest eine Quasiordnung ist. Doch dies genügt nicht, um zu einem geordneten Körper zu machen. Dies ist auch mit keiner anderen Ordnungsrelation möglich, was wir mit dem nächsten Satz beweisen werden:

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Satz

Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen .

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Beweis

Eine der Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen war, dass in einem geordneten Körper das Quadrat einer beliebigen Zahl immer positiv ist. In gilt allerdings , also kann kein geordneter Körper sein.

Das bedeutet, dass in die Quasiordnung, die man durch den Betrag erhält, die bestmögliche Art und Weise ist, um komplexe Zahlen der "Größe" nach zu vergleichen.