Komplexe Zahlen: Eigenschaften – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Skript für diesen Artikel schreiben.

Betrag einer komplexen Zahl[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Motivation: Konvergenzbetrachtungen in andeuten

Anders als es bei den reellen Zahlen der Fall ist, können wir zwei komplexe Zahlen leider nicht unmittelbar miteinander vergleichen. Man kann sogar formal zeigen, dass Aussagen wie z.B. keinen Sinn ergeben und sich nicht mit der Aussage vertragen.

Auch wenn es uns nicht möglich sein wird, zwei komplexe Zahlen direkt vergleichbar zu machen, können wir eine besondere Eigenschaft suchen, um uns in der komplexen Zahlenebene zurechtzufinden. Es ist wünschenswert, Aussagen darüber treffen zu können, wie weit eine komplexe Zahl von der Null entfernt ist. Zum Beispiel ermöglicht ein Abstandsbegriff Konvergenzbetrachtungen, welche die Grundlage von Ableitungen und Integration bilden. Auch ermöglicht der Abstand zur 0 die Definition des Einheitskreises als die Menge aller Zahlen in , die den Abstand zur Null besitzen.

Diese Abstands-Eigenschaft ist uns aber nichts Neues! Bereits im Umgang mit den reellen Zahlen haben wir die Betragsfunktion kennengelernt, mit der wir den absoluten Abstand zur Zahl Null angeben konnten. An der reellen Zahlengerade visualisiert sieht das wie folgt aus:

Betrag von reellen Zahlen

Diese Intuition lässt sich mithilfe elementarer Geometrie auch auf die komplexen Zahlen ausweiten. Hierzu betrachten wir eine beliebige komplexe Zahl . Diese Zahl besitzt einen Realteil und einen Imaginärteil , die wir als Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks auffassen:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Die Zahl zu umbenennen und ohne konkrete Werte arbeiten. (Es ist irrelevant, ob wir mit 1+2i oder 3+2i arbeiten.)

Betrag einer komplexen Zahl

Wir erkennen also, dass sich die Länge der Hypotenuse dementsprechend als Kandidat für den Betrag einer komplexen Zahl anbietet, da diese die kürzeste Distanz zur Null repräsentiert. Mit dem Satz von Pythagoras ist es uns somit möglich diesen Betrag mithilfe der bekannten Katheten zu bestimmen. Diese Erkenntnis führt uns nun zur Definition.

Formale Definition des Betrags einer komplexen Zahl[Bearbeiten]

Dialog-information.svg
Definition (Betrag einer komplexen Zahl)

Es sei . Dann setzen wir und nennen die Zahl den Betrag von .

Emblem-important.svg

Hinweis

Der oben definierte Betrag auf den komplexen Zahlen stimmt für die reellen Zahlen mit dem üblichen Betrag überein! Sei . Dann gilt:

Komplexe Konjugation[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild zur Drehung um i, "hier könnte Ihr i liegen"

Stellen wir uns die Multiplikation einer Zahl mit als eine Drehung um 180 Grad vor und beachten , so scheint die Multiplikation einer Zahl mit als eine Drehung um 90 Grad sinnvoll. So entsteht die Vorstellung der komplexen Zahlen als Ebene. Nun ist aber eigentlich noch nicht gesagt, in welche Richtung eine Mulitplikation mit dreht. Allgemein gängig ist es, gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. So liegt dort, wo im die auf der -Achse liegt. Dabei hätte man genau so gut im Uhrzeigersinn drehen können. Dann läge das dort, wo zur Zeit unser liegt, wir hätten das an der rellen Achse gespiegelt. Dies führt zu Besonderheiten, die wir näher betrachten möchten.

So gilt z.B. für die Funktion , dass gilt. Daher ist eine Nullstelle von . Andererseits gilt auch und damit ist eine weitere Nullstelle.

Betrachten wir mit der Nullstelle . Unsere erste Idee mag nun vielleicht sein, dass das Negative der Zahl, also , eine weitere Nullstelle sein könnte. Dies ist leider nicht der Fall. Spiegeln wir allerdings an der reellen Achse, so kehrt sich der Imaginäranteil um und wir erhalten . Tatsächlich die Zahl eine weitere Nullstelle. Für die Nullstelle eines Polynoms scheint das an der reellen Achse gespiegelte eine weitere Nullstelle zu sein. Dies ist für alle Polynome mit rein reellen Koeffizienten wahr (hier ohne Beweis).

Eine weitere Besonderheit sehen wir, wenn wir mit multiplizieren. Mit der dritten binomischen Formel erhalten wir nämlich

, was immer reell und nicht negativ ist.

Dies allein ist bemerkenswert, man kann nun aber sogar das Inverse von bestimmen, denn für gilt:

Es folgt .

Da wir oftmals zu einem auch betrachten werden, verdient letzteres eine eigene Bezeichnung und eine eigene, kürzere Schreibweise.

Formale Definition der komplexen Konjugation[Bearbeiten]

Dialog-information.svg
Definition (Komplexe Konjugation einer komplexen Zahl)

Es sei . Dann heißt die Abbildung komplexe Konjugation und die Zahl die zu komplex konjugierte Zahl.

Geometrisch ist die komplexe Konjugation einer komplexen Zahl eine Spiegelung an der -Achse mit dem Ergebnis :

Komplexe Konjugation veranschaulicht
Blue pen icon.svg

Satz (Kriterium für rein reelle Zahlen)

Für eine Zahl gilt genau dann, wenn rein reell ist, d.h. .

Applications-office.svg

Beweis

Wir beweisen beide Richtungen der Äquivalenz

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Align

"" Sei mit und . , also ist reell.

"" Sei mit und sei reell, also .

Übersicht: Eigenschaften des Betrags und der komplexen Konjugation[Bearbeiten]

Im Folgenden seien immer und

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Eigenschaften des Betrags einer komplexen Zahlen[Bearbeiten]

  • und (positive Definitheit)
  • (Multiplikativität)
  • (Dreiecksungleichung)

Eigenschaften der komplexen Konjugation[Bearbeiten]

Beweise der Eigenschaften[Bearbeiten]

komplexe Betragsfunktion[Bearbeiten]

Der komplexe Betrag hat ähnliche Eigenschaften wie die reelle Betragsfunktion.

Blue pen icon.svg

Satz (Positive Definitheit)

Seien komplexe Zahlen, dann gilt: und

Applications-office.svg

Beweis (Positive Definitheit)

Sei in kartesischer Form gegeben. Dann gilt sowie .

Blue pen icon.svg

Satz (Multiplikativität)

Applications-office.svg

Beweis (Multiplikativität)

Emblem-important.svg

Hinweis

Die Multiplikativität des komplexen Betrags wird im Normkontext auch als Homogenität bezeichnet. Betrachtet man als eindimensionalen -Vektorraum, so erfüllt der komplexe Betrag sämtliche Normeigenschaften (positive Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung) und ist somit eine Norm.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Folgendes Lemma weglassen, bei der Dreiecksungleichung andere Eigenschaften benutzen

Blue pen icon.svg

Satz

Applications-office.svg

Beweis

Wir erinnern zunächst an die Ungleichung für . [Reminder zu deren Beweis: Die Ungleichung ist äquivalent zu , was nach binomischer Formel stets gilt.]

Diese benutzt du nun unter und berechnest

Blue pen icon.svg

Satz (Dreiecksungleichung)

Applications-office.svg

Beweis (Dreiecksungleichung)

Die Aussage des dritten Punkts wird benötigt um die vorletzte verbliebene Aussage des Beweises nachzurechnen:

Unter benutzten wir die Identität , gültig für alle .

Blue pen icon.svg

Satz

Applications-office.svg

Beweis

Wir beginnen mit der linken Ungleichung:

Die zweite Ungleichung beweisen wir wie folgt:


Blue pen icon.svg

Satz (umgekehrte Dreiecksungleichung)

Für komplexe Zahlen gilt

Applications-office.svg

Beweis (umgekehrte Dreiecksungleichung)

Wir verwenden eine beliebte Technik, um einen Beweis einer Aussage, welche den Betrag reeller Zahlen beinhaltet, zu führen. Genauer gesagt zeigen wir sowie .

Beginnen wir mit der ersten Ungleichung. Wir verwenden die Dreiecksungleichung des komplexen Betrag und den womöglich ältesten Trick der Analysis (das "Einschieben einer ") und berechnen

was nach algebraischer Umformung die erste Ungleichung zeigt.

Die zweite benötigte Ungleichung zeigen wir analog durch

und algebraischer Umformung.


Rechenregeln der komplexen Konjugation[Bearbeiten]

Für die komplexe Konjugation gelten diverse Rechenregeln, die wir im Folgenden festhalten.

Blue pen icon.svg

Satz (Involution)

Für eine komplexe Zahl gilt:

Applications-office.svg

Beweis (Involution)

Sei mit . Dann gilt: .

Blue pen icon.svg

Satz (Verträglichkeit mit Addition)

Für komplexe Zahlen gilt:

Applications-office.svg

Beweis

Sei von der Form , wobei und von der Form , wobei . Dann gilt:


Blue pen icon.svg

Satz (Verträglichkeit mit Multiplikation)

Für komplexe Zahlen gilt:

Applications-office.svg

Beweis

Sei von der Form , wobei und von der Form , wobei . Dann gilt:

Blue pen icon.svg

Satz (Real- und Imaginärteil)

Für eine komplexe Zahl gilt:

Applications-office.svg

Beweis

Sei mit . Dann gilt:

Endliche Summen mit vielen Summanden und Konjugation[Bearbeiten]

Wir wissen mithilfe der Verträglichkeit der Konjugation mit Addition und Multiplikation nun, wie sich die Konjugation für die Summe und das Produkt zweier Zahlen verhält. Wie verhalten sie sich nun für mehr als zwei Zahlen, was passiert z.B bei ? Wir behelfen uns mit einem Trick: Wir betrachten zuerst als eine einzige komplexe Zahl und benutzen zwei Mal aus obigem Satz 2.:

Es ist also auch für drei Summanden egal, ob wir zuerst alles summieren und dann auf die entstandene Zahl die Konjugation anwenden, oder ob wir zuerst einzelnd konjugieren und dann alles summieren. Dies geht allgemein für beliebig lange Summen und Produkte von komplexen Zahlen, wie wir im Folgenden formal beweisen werden. Wir führen einen Induktionsbeweis über die Anzahl der Summanden/ Faktoren n und schreiben die Summe mithilfe des Summenzeichens , sowie das Produkt mithilfe von

Blue pen icon.svg

Satz (Verträglichkeit für beliebig viele komplexe Zahlen)

Für jedes und alle komplexe Zahlen gilt:

Applications-office.svg

Beweis (Beweis von 1.)

Wie angekündigt induzieren wir nach der Anzahl der Summanden .

Induktionsanfang: Seien .

Es gilt mithilfe von obigem Satz:

also ist für die Gleichung 1. erfüllt.

Induktionsschritt:

Sei beliebig gewählt, bis auf die Einschränkung, dass und die Gleichung 1. für beliebige Summanden immer erfüllt ist. Es gelte also für dieses , dass für alle die Gleichung

erfüllt ist. Zu zeigen ist nun, dass die Gleichung auch für beliebige komplexe Summanden immer gilt. Wir müssen also zeigen, dass für alle gilt:

.

Wieder behelfen wir uns, wie schon bei drei Summanden, mit dem Trick der Klammerung. Wir betrachten als eine einzige komplexe Zahl und wenden aus vorherigem Satz zuerst die Verträglichkeit mit der Addition an und dann die Induktionsannahme:

Fertig!

ist kein geordneter Körper[Bearbeiten]

Es wäre natürlich angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können, also eine Größer/Kleiner-Relation dafür zu haben. Betrachten wir aber beispielweise die Zahlen und , so stellen wir fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand besitzen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild vom Einheitskreis mit den Punkten und

Nun stellt sich uns die Frage, ob wir nun , oder schreiben können. Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn der Betrag beider Zahlen ist gleich. Wie sieht es aus mit und ? Die Zahl ist weiter von der Null entfernt als . Gilt dann auch ? Kann eine negative Zahl wirklich größer als eine positive Zahl sein? Somit ist der Betrag als Unterscheidungskriterium hinfällig.

An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass es schwierig wird, die komplexen Zahlen derart anzuordnen, dass die bisherige Anordnung der reellen Zahlen erhalten bleibt. Dies ist tatsächlich gar nicht möglich und ist im folgenden Satz formalisiert.

Blue pen icon.svg

Satz

Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen , die die Ordnung der reellen Zahlen erhält.

Applications-office.svg

Beweis

Wir zeigen die Behauptung durch einen Widerspruch zur Trichotomie der Positivität. Demnach muss entweder oder oder gelten. Wir werden somit alle drei Aussagen widerlegen.

  • Offensichtlich gilt , denn besitzt, wie zuvor gesehen, ein Inverses, 0 jedoch nicht.
  • Angenommen es gilt , dann können wir aufgrund der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation die rechte Seite mit multiplizieren und erhalten . Dieses Ergebnis ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen und somit ist unsere Annahme nicht richtig.
  • Sei nun , dann ziehen wir auf beiden Seiten der Ungleichung ab und erhalten . Erneut können wir aufgrund der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation die rechte Seite mit multiplizieren und es folgt eine Aussage, die erneut nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen ist. Auch diese Annahme kann nicht richtig gewesen sein.

Nun haben wir gezeigt, dass das Erste der Anordnungsaxiome nicht erfüllt ist und somit kann kein geordneter Körper sein, der die Ordnung von erhält.