Polarform bzw. Polardarstellung komplexer Zahlen – Mathe für Nicht-Freaks

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Motivation[Bearbeiten]

Das Rechnen mit komplexen Zahlen der Form ist uns bereits bekannt. Die Multiplikation komplexer Zahlen kann jedoch zeitaufwändig sein, da zunächst Klammern aufgelöst werden müssen. So ergibt sich folgender Rechenweg, um das Produkt zu bestimmen:

Es ist nicht direkt ersichtlich, was das Produkt zweier komplexer Zahlen der Form ist. Man muss zuerst die Klammern auflösen und dann die Produkte zusammenfassen. Damit eng verknüpft ist auch die Wurzelbestimmung schwierig. Da dieser Ausdruck eine Wurzel einer Summe ist, kann er nicht vereinfacht werden.

Mit der Polardarstellung gibt es eine andere Form, mit der komplexe Zahlen aufgeschrieben werden können. In dieser Darstellung können komplexe Zahlen schneller multipliziert werden und es kann leichter eine Wurzel gezogen werden. Das durch die Änderung der Darstellung Berechnungen leichter durchgeführt werden können, sieht man am Beispiel der Primfaktorzerlegung. Während man beispielsweise bei den Zahlen und nicht direkt sieht, was ihr größter gemeinsamer Teiler ist, ist dies in der Primfaktorzerlegung beider Zahlen einfacher. Mit und ist der größte gemeinsame Teiler gleich , da und die gemeinsamen Teiler sind. Ähnlich vereinfacht die Polardarstellung die Multiplikation und das Wurzelziehen komplexer Zahlen.

Was macht die Multiplikation?[Bearbeiten]

  • Um die Multiplikation komplexer Zahlen besser zu verstehen, kann man sich einige Beispiele anschauen.
  • Bild zeichnen mit fester Zahl -1-i und den Multiplikationen (farbig):
  • Herleitung, dass es sich bei der Multiplikation um eine Drehstreckung handelt.

Trigonometrische Polardarstellung[Bearbeiten]

Was ist die trigonometrische Polardarstellung?[Bearbeiten]

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist eine Drehstreckung in der komplexen Ebene. Für wird um gestreckt und um den Winkel, den und die -Achse einschließen, gedreht. Für die Multiplikation wäre es hilfreich, wenn wir mithilfe seines Betrags und seines Winkels darstellen können. Wir kennen bisher nur die Darstellung , wobei der Realteil und der Imaginärteil ist. Wir werden nun diese Darstellung umformen, sodass wir in Abhängigkeit vom Winkel und Betrag schreiben können. Dafür können wir und durch und ausdrücken. Wir schauen uns in der komplexen Ebene an.

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To-Do:

Bild der komplexen Ebene mit mit eingezeichnetem Winkel , Betrag und und (in einem Dreieck) einfügen

Wir können und den Betrag so einzeichnen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel zwischen den Seiten der Länge und . Wir wissen schon, dass die Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Da dies ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir einfach mit und in Beziehung setzen. Wir wissen:

Also folgt sowie . Für ergibt sich dann

.

Dialog-information.svg
Definition (trigonometrische Polardarstellung)

Sei . Wir nennen für und die trigonometrische Polardarstellung.

Das einen Winkel angibt, können wir ihn sogar in wählen.

Ist diese Darstellung eine gute Alternative zu ? Dafür müssen wir zeigen, dass jede komplexe Zahl eine trigonometrische Polardarstellung hat. Also für jede komplexe Zahl gibt es und , so dass . Dann können wir in Beweisen und Rechenaufgaben über komplexe Zahlen die Polardarstellung nutzen. Aber das reicht noch nicht, damit es eine gute Alternative ist. Wir wollen auch Zahlen, die in trigonometrischer Polardarstellung gegeben sind, in unsere alte Darsellung umrechnen können. Dafür müssen wir beweisen, dass es für alle und reelle Zahlen und gibt mit . Wenn wir das gezeigt haben können wir die trigonometrische Polardarstellung komplexer Zahlen genauso wie die kartesische Darstellung verwenden. Diese Umrechnungen wollen wir nun beweisen.

Berechnung der trigonometrischen Polardarstellung aus der kartesischen Darstellung[Bearbeiten]

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Satz (Umformung zur Polardarstellung)

Jede komplexe Zahl kann in der trigonometrischen Polardarstellung umgeformt werden. Dabei kann eine nicht negative Zahl und eine Zahl mit werden. Für ist und eindeutig.

Applications-office.svg

Beweis (Umformung zur Polardarstellung)

Wir müssen Existenz der Darstellung für alle und Eindeutigkeit im Fall zeigen.

Beweisschritt: Existenz der trigonometrischen Darstellung

Sei . Um die trigonometrische Polardarstellung von zu berechnen, bestimmen wir zunächst den Betrag der komplexen Zahl:

Die Berechnung des Betrags ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Nach diesem ist nämlich :

Berechnung des Betrags über den Satz des Pythagoras

Im Spezialfall ist . Hier kann beliebig gewählt werden, denn es ist für alle . Gehen wir nun davon aus, dass und damit ist. Der Winkel kann aus folgenden Beziehungen bestimmt werden:

Zur Berechnung von benutzen wir die erste Gleichung und . Bei der Umstellung nach muss man darauf achten, in welchen Quadranten die komplexe Zahlen liegt. Der Wertebereich von ist . Unser gesuchtes liegt in , wenn die komplexe Zahl oberhalb der -Achse liegt bzw. wenn , ist . Für kann der Winkel über bestimmt werden. Denn dann gilt

.

Außerdem gilt auch . So wie wir das wollen.

Insgesamt ergibt sich für den Winkel:


Alternativ kann der Winkel auch über berechnet werden. Es ist

Mit den so berechneten Werten ergibt sich

Beweisschritt: Eindeutigkeit für

Nun wollen wir noch die Eindeutigkeit von und im Fall von zeigen. Sei mit . Dann gilt ist eindeutig bestimmt. Seien und mit . Dann und . Wegen folgt auch sowie . Nun multiplizieren wir die beiden Gleichungen:

.

Also gibt es ein mit . Wegen folgt . Folglich muss und damit .

Damit haben wir die Eindeutigkeit von bewiesen.

Kartesische Darstellung aus der trigonometrischen Polardarstellung[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Umformung in kartesische Darstellung)

Sei der Betrag einer komplexen Zahl und der Winkel zwischen der -Achse und der komplexen Zahl. Der Realteil von ist dann und der Imaginärteil gleich . Insgesamt erhalten wir .

Accessories-calculator.svg

Beispiel (Umformung in kartesische Darstellung)

Mit und erhalten wir

Applications-office.svg

Beweis (Umformung in kartesische Darstellung)

Zum einen ergibt sich diese Zusammenhang direkt aus der folgenden Schreibweise für die trigonometrische Polardarstellung:

Diesen Zusammenhang können wir auch direkt aus dem Diagramm für die Polardarstellung herleiten:

Die trigonometrische Polardarstellung einer komplexen Zahl

Der Sinus und der Kosinus von ergibt sich über:

Durch Umstellung beider Formeln erhalten wir

Damit können wir auch die kartesische Darstellung aus und herleiten:

Wirkung der komplexen Multiplikation[Bearbeiten]

Wir wollen nun versuchen die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mithilfe dieser neuen Darstellung auszudrücken. Hierfür multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen und mit und :

Die bekannten Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lauten

Setzen wir das in die obige Rechnung ein, erhalten wir

Wir sehen also, dass die Radien von und multipliziert und die Winkel addiert wurden. Durch die Multiplikation mit wurde die komplexe Zahl also um den Winkel von gedreht und um den Radius von gestreckt.

Exponentielle Polardarstellung[Bearbeiten]

Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis[Bearbeiten]

  • Betrachten wir komplexe Zahlen der Form . Bei der Multiplikation wird um den Winkel entgegen des Uhrzeigerzinns gedreht:
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To-Do:

Abbildung: Bei der Multiplikation wird um den Winkel entgegen des Uhrzeigerzinns gedreht

  • Sei . Diese Funktion wird komplexe Funktion genannt.
  • liegt auf den Einheitskreis, weil (Betrag von cis ausrechnen)
  • Da ist, ist es die Zahl, die bei der Drehung von 1 um den Vektor phi entsteht
  • Abbildung
  • Als Operation aufgefasst entspricht einer Drehung um den Winkel theta und anschließend um den Winkel phi. Wenn man erst um theta und dann um phi dreht, ist es dasselbe, als wenn man gleich um theta+\phi dreht. Also haben wir .
  • cis erfüllt die charakteristische Gleichung einer Potenz
  • Es sollte für ein geeignet gewähltes gelten
  • Wie bestimmt man a?
  • Es ist . Leiten wir cis ab -> cis'(phi) = i cis(phi) -> a=e^i herleiten
  • e^i\phi definieren
  • e^i\phi =cos(\phi)+isin(\phi) nennt man die eulersche Formel

Ausblick: Formaler Beiweis der eulerschen Formel[Bearbeiten]

  • Warum ist die Herleitung oben kein Formaler Beweis?
  • Wie kann man die Formel formal beweisen?
  • Wie sind die Begriffe überhaupt definiert
  • Man kann sinus und kosinus über die e funktion definieren. Aber dann drehen wir uns im Kreis bzw. die Formel gilt per definition
  • Oft Definition über (Potenz-)Reihe. Potenzreihe ist eine unendliche verallgemeinerung von Polynomen. (Potenzreihen von sin, cos, e evtl angeben) Dann kann man durch Rechnen die Gleichung herleiten (muss hier nicht gemacht werden)

Definition der exponentiellen Polarform[Bearbeiten]

...

Herleitung über Ableitung[Bearbeiten]

f(x) = e^\lambda x hat die beiden charakteristischen Eigenschaften:

  • f(0) = 1
  • f'(x) = \lambda * f(x)

Die momentane Änderung von ist also nichts anderes als die Streckung von f(x) mit dem Wert \lambda. Damit kann auch die Formel cis(\phi) = ... = e^i\phi hergeleitet werden

Nachprüfung der Eigenschaften

Eigenschaften der exponentiellen Polarform[Bearbeiten]

  • Die komplexe e-Funktion ist periodisch. Das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die ebenfalls periodisch sind.
    • Die komplexe e-Funktion ist periodisch, das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die (bei reellen Argumenten) ebenfalls periodisch sind.

Das Bild veranschaulicht die Funktion . Da periodisch verläuft, muss der Graph von auch periodisch sein. Durch die Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass genau alle komplexen Zahlen mit Betrag durchläuft. Also zeigt das Bild, wie der Einheitskreis gezeichnet wird. (Kopiert von Darstellung von komplexen Funktionen)

Wurzel komplexer Zahlen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

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