Komplexe Zahlen: Polardarstellung – Mathe für Nicht-Freaks

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Motivation[Bearbeiten]

Das Rechnen mit komplexen Zahlen in der Darstellung , insbesondere die Multiplikation, ist uns bereits bekannt. Diese kann jedoch unter Umständen zeitaufwändig oder kompliziert sein. Folgende Beispiele sollen dazu dienen, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie viel Zeit und Rechenschritte für die Berechnung notwendig sind. Nimm dir kurz Zeit und versuche einige der Beispiele selbst zu rechnen.

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To-Do:

Verlinkung von Multiplikation mit Komplexen Zahlen. (oder der Artikel in dem das Erklärt wird, ich weiß den Namen nicht.


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Aufgabe

Multipliziere die Komplexen Zahlen miteinander und verschaffe dir ein Gefühl über den Arbeitsaufwand einzelner Aufgaben.

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Lösung

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:

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To-Do:

Rechenschritte ausführlicher und wirklich bewerten wieviel Schritte, Aufwand das ist, wie oben bereits angekündigt.


An diesen Beispielen kann man sehen, dass die Multiplikation durchaus rechenaufwändig und wenig intuitiv sein kann. Wir suchen also eine neue Darstellung einer komplexen Zahl, die diese Multiplikationen soweit vereinfacht, dass sie einfacher und eventuell sogar im Kopf lösbar sind. Außerdem ist es wünschenswert, dass Wurzeln in dieser Darstellung einfacher zu ziehen sind. Die Wurzel von einer komplexen Zahl lässt sich nicht ohne weiteres Berechnen und, da es eine Summe in einer Wurzel darstellt, auch nicht mehr weiter vereinfachen.



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To-Do:

Soweit ist es "fertig" oberer Teil

Um Multiplikation von komplexen Zahlen durchzuführen muss man momentan noch den "umständlichen" Weg über die (a+ \mathrm i b) Darstellung gehen.

Hier werden Beispiele durchgerechnet....

Der Leser soll diese Aufgaben lösen und sich Gedanken machen, wie viel Aufwand das ist:Bsp1:

Bsp2:

Bsp3:

Bsp4:

Mit diesen Beispielen ist ersichtlich, dass man für die meisten Multiplikationen binomische Formeln braucht und dass man viel rechnen muss.

Gesucht wird nun eine einfachere Darstellung, in der Multiplikation einfacher ist und die auch für das Wurzelziehen geeignet ist.

Denn: Die Wurzel einer komplexen Zahl zu ziehen, bedeutet ja auch die Wurzel aus einer Summe zu ziehen.

Herleitung[Bearbeiten]

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To-Do:
  • ✔Bild der komplexen Ebene mit einem Vektor
  • Berechnung von Betrag/Länge über Pythagoras
  • Berechnung des Winkels mit cos/sin als Ankatete und Gegenkatete
  • ✔Umformung zu
  • Begründung, dass auf dem Einheitskreis liegt
  • für die Eulersche Formel Verweis auf Sin Cos Artikel: [1]
  • Betonen, dass einfacher ist (Multiplikation ohne Additionstheoreme, Wurzelziehen)

Berechnung von Betrag/Länge über Pythagoras[Bearbeiten]

Den Betrag einer Komplexen Zahl können wir auch als Abstand zum Koordinatenursprung auffassen. Damit können wir aus dem x-Achsenabschnitt und dem y-Achsenabschnitt der komplexen Zahl diesen Abstand berechnen. Dazu verwenden wir den Satz von Pythagoras. ()

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To-Do:

Bild von Koordinatensystem mit Einheitskreis, Imaginär und Realteil, sowie Winkel

Der x-Achsenabschnitt, also der Punkt auf der x-Achse, der von der zur y-Achse parallelen Gerade durch die komplexe Zahl geschnitten wird, entspricht dem Realteil der komplexen Zahl. Der y-Achsenabschnitt ist der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Wir indentifizieren den Realteil mit und den Imaginärteil mit . Dann wenden wir den Satz von Pythagoras an und erhalten

Uns interessiert der Betrag (oder Radius, bei Betrachtung des Kreises) und wir indentifizieren den Betrag/Radius mit . Somit müssen wir die Wurzel ziehen.

Herleitung des Winkels mit cos/sin als Ankatete und Gegenkatete[Bearbeiten]

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To-Do:

Bild von Einheitskreis, Vektor und x,y-Achsenabschnitt und Winkel, evtl hilfreich den Rechten Winkel einzuzeichnen

Im Bild können wir den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl sehen. Außerdem erkennen wir den Betrag, als Abstand zum Ursprung des Koordinatensystems.

Der Sinus ist bestimmt durch und der Kosinus durch .

Suchen wir die Gegenkathete zum Winkel , finden wir den Imaginärteil von . Die Hypotenuse ist hier der Betrag von . Somit bleibt für die Ankathete nur noch der Realteil übrig.

Eingesetzt in die Sinus und Kosinus Formeln bekommen wir folgende zwei Gleichungen:

Stellen wir nun beide Gleichungen nach Real- und Imaginärteil um ergeben sich neue Zusammenhänge.

Uns ist bekannt, dass sich eine komplexe Zahl aus Real- und Imaginärteil zusammensetzt. Daher können wir unsere Zahl nun wieder zusammensetzen.

Das ist die Darstellung in trigonometrischer Form.

liegt auf dem Einheitskreis[Bearbeiten]

Wenn eine Zahl den Betrag 1 besitzt, liegt sie auf dem Einheitskreis. Sei also ein beliebiger Winkel. Wir argumentieren:

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To-Do:

Gleichung in Zeilen aufteilen und einzelne Schritte erklären, z.B. Erklärung zu (...

Erklärung zu : Wir wissen, dass die Konjugation sich mit endlichen Summen verträgt. Auch wenn wir diese Eigenschaft im Moment nur im Endlichen nachweisen können, gilt sie ebenfalls für unendliche Summen. Schreiben wir die Reihendarstellug des Terms und ziehen die Konjugation immer weiter rein, so erhalten wir, da natürlich ist und somit gilt:

Umformung von arithmethischer Form zu Polardarstellung[Bearbeiten]

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To-Do:

"arithmethischer Form", gibt es da einen besseren Ausdruck? a+bi?

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Satz (Umformung zur Polardarstellung)

Eine komplexe Zahl der Form kann in die Polardarstellung umgeformt werden.

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Beweis (Umformung zur Polardarstellung)

Der Radius ist der Betrag der komplexen Zahl:

Der Winkel entsteht aus der Argumentfunktion

Somit ist die komplexe Zahl in der Polardarstellung

Die Argumentfunktion wird über eine Fallunterscheidung definiert. Es wird unterschieden ob der Realteil und der Imaginärteil größer gleich oder kleiner 0 ist.

Das bedeutet im Endeffekt, dass wenn die komplexe Zahl in der oberen Halbenbene liegt...(...?)

Diagramm zum Verständnis der Argumentfunktion

Man kann für die Argumentfunktion nach folgendem Schema vorgehen. Wenn klar ist aus welchen Quadranten die komplexe Zahl liegt, wird einfach die Formel für verwendet, die im zugehörigen Quadranten steht.


Manchmal sieht man auch die Berechnung durch denn Arcuskosinus mit dem Realteil und dem Radius .

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To-Do:

Überprüfen ob diese Formeln wirklich stimmen und gegebenenfalls vereinfachen.

Umformung von Polardarstellung in arithmetische Darstellung[Bearbeiten]

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Satz (Umformung zur arithmetischen Darstellung)

Man erkennt die deutliche Ähnlichkeit zu den Polarkoordinaten.


Wieso die e-Funktion?[Bearbeiten]

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To-Do:

Dies ist erst das Konzept:

  • Wir haben uns bereits klar gemacht, dass die Multiplikation mit komplexen Zahlen eine Streck-Drehung ist
  • wir kennen die cos + i sin Darstellung
  • Eine Multiplikation (d.h. DREHUNG) arbeitet über die ADDITION der Winkel

Wir suchen eine Funktion, bei der ein Teil ADDIERT wird, wenn man zwei dieser Funktionen MULTIPLIZIERT

  • Eine Multiplikation ist zum Teil auch eine Streckung.

ein Teil der Funktionen soll MULTIPLIZIERT werden, wenn man zwei dieser Funktionen MULTIPLIZIERT

  • Wird die + i Darstellung nach dem Winkel abgeleitet, wird aus z -> -z
  • Als DGL bedeutet das

Die e-Funktion erfüllt alle diese Bedingungen

  • Man kann verschiedene Funktionen durchprobieren, aber mit Schulwissen ist sehr schnell klar, dass nur die e-Funktion die Bedingungen erfüllt.
  • DGL:

Definition[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Aufgreifen der Eigenschaften, die schon hergeleitet wurden
  • Satz, dass es für jede komplexe Zahl eine Polardarstellung gibt mit eindeutigem Winkel, der der Betrag ist. Das Argument/der Winkel ist für alle komplexen Zahlen ungleich 0 eindeutig modulo (evtl Bild zum Beweis)
  • Beweis zur Multiplikation in Polarkoordinaten (Radien werden Multipliziert, Winkel werden addiert)
  • Polardarstellung sind die Polarkoordinaten auf anders als die kartesischen Koordinaten mit bzw.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die komplexe e-Funktion ist periodisch. Das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die ebenfalls periodisch sind.
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To-Do:

Beweis, dass die komp. e Funktion periodisch ist.

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To-Do:

Hier ein Koordinatensystem einfügen, auf dem der Einheitskreis zu sehen ist und ein Punkt (verbunden mit dem Ursprung) gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Daneben steht [entsprechende Zahl zwischen 0 und 2 Pi].



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To-Do:
  • Die komplexe e-Funktion ist periodisch, das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die (bei reellen Argumenten) ebenfalls periodisch sind.
  • Dazu ist ein Gif von einem Einheitskreis und einem rotierenden "Zeiger" geplant, daneben eventuell der Wert von zwischen 0 und 2 PiDie n Wurzeln einer komplexen Zahl bilden (wenn man sie verbindet) ein regelmäßiges n-Eck. Eine der Ecken ist bei der Zahl 1.
  • Die Einheitswurzel soll auch behandelt werden. Schwerpunkt 2. und 3. Einheitswurzel.Achtung!: Die komplexe e-Funktion ist nicht mehr immer >0.

Das Bild veranschaulicht die Funktion . Da periodisch verläuft, muss der Graph von auch periodisch sein. Durch die Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass genau alle komplexen Zahlen mit Betrag durchläuft. Also zeigt das Bild, wie der Einheitskreis gezeichnet wird. (Kopiert von Darstellung von komplexen Funktionen)

Anwendungen/Zusammenhänge[Bearbeiten]

Hier werden alle wichtigen Dinge rein, die woanders nich dazu Passsen. Physikalische Anschauung zB.

Ausblick: Körper der Drehstreckungen[Bearbeiten]

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Satz (Körper der Drehstreckungen)

Die Menge

bildet mit der Matrixaddition und -multiplikation den Körper der Drehstreckungen. Dieser Körper ist isomorph zu vermöge dem Körperisomorphismus

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To-Do:

Den Beweis werde ich demnächst einfügen (Christian I.)

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Beweis

Trivial.