Äußere direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Aufbau des Artikels[Bearbeiten]

Vorschlag für neue Struktur des Artikels[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Manchmal möchte man zwei VR zu einem großen VR kombinieren, die nichts miteinander zu tun haben, also nicht offensichtlich Teilräume eines größeren Vektorraums sind.

Einführungsbeispiel: Mögliche Beispiele wären:

wobei als -VR gesehen wird.

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To-Do:

bessere oder mehr Beispiele finden

Definition[Bearbeiten]

Definition für zwei -VR und .

Definition (Äußere direkte Summe)

Definiere die äußere direkte Summe von zwei -VR und durch

zusammen mit der Addition

und der skalaren Multiplikation

ist ein Vektorraum.

Beweis, dass die äußere direkte Summe ein VR ist[Bearbeiten]

Nachrechnen.

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

Beziehung zur direkten Summe von UVR[Bearbeiten]

Bei der äußeren direkten Summe baut man einen großen VR , so dass V und W als Untervektorräume davon aufgefasst werden können (dafür braucht man eine Einbettungsabbildung). Die direkte Summe von diesen eingebetteten Untervektorräumen ist im Wesentlichen, d.h. bis auf Isomorphie, nichts anderes als die äußere direkte Summe.

Ausblick[Bearbeiten]

Hier können folgende Punkte besprochen werden:

  • Unendliche direkte Summe
  • Unterschied von unendlicher direkter Summe und unendlichem direktem Produkt
  • Anwendungen, wie z.B. Fockräume (hier muss man aber aufpassen, da das eher dem direkten Produkt entspricht)

Direktes Produkt[Bearbeiten]

Analogie zum kartesischen Produkt, welches nur auf Mengen definiert ist

Anschauung direktes Produkt: Wir bewegen und auf zwei Geraden unabhängig voneinander. Wenn wir die Geraden nebeneinanderlegen (kartesisches Produkt) können wir uns trotzdem noch genauso auf den Geraden bewegen. Nebeneinanderstellen von Vektorräumen

Definition

Beispiel (Folgen über R oder Q)

Äußere direkte Summe[Bearbeiten]

Man kann eine "Teilmenge" des direkten Produkts nehmen, und erhält einen Vektoraum. Denn für einen Vektorraum ist es ausreichend, dass endliche Summen von Elementen wieder im Vektorraum liegen. Schließlich wird in der Definition des VR nur gefordert, dass die Summe zweier Elemente im VR liegt. Wir erhalten also eine weitere Konstruktionsmöglichkeit für Vektorräume. Im endlichdimensionalen Fall liefern direktes Produkt und direkte Summe das gleiche Ergebnis. Problem: Dimensionsbegriff noch nicht klar Beispiel der endlichen Folgen über Q oder R, um Unterschied zum direkten Produkt zu verdeutlichen.

Definition[Bearbeiten]

Definition der äußeren direkten Summe erst für zwei Vektorräume, dann für endlich viele.

Beispiele[Bearbeiten]

(z.B. kann man so die Position auf einer Kugeloberfläche angeben). (unendlich langer Zylinder)

Vergleich innere und äußere Direkte Summe[Bearbeiten]

Innere und äußere direkte Summe werden häufig einfach als direkte Summe bezeichnet. Dies liegt daran, dass beide ähnliche Eigenschaften haben. Verweis: Dimensionssatz, Falls eine innere direkte Summe existiert, so gibt es eine Bijektion zwischen direkter und innerer direkter Summe. Bijektion angeben, und zeigen, dass diese die Eigenschaften einer linearen Abbildungen erfüllt. Begriff der Isomorphie fallen lassen. Die äußere direkte Summe zweier Untervektorräume kann man immer bilden, die innere Summe ist häufig nicht direkt. Außerdem ist die äußere direkte Summe aauf Vektorräumen, und die innere direkte Summe auf Untervektorräumen definiert. Da man aber stets Vektorräume bijektiv (und linear) auf Untervektorräume eines Vektorraums abbilden kann, und Unterräume selbst Vektorräume darstellen, ist dieser Unterschied nur eine Formalität.

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Sei und und . Dann ist die direkte innere Summe, da und die direkte äußere Summe
  2. Sei und . Dann ist die direkte äußere Summe. Die innere direkte Summe existiert in diesem Fall nicht.
  3. Die n-fache äußere direkte Summe von durch gegeben.

Gerne um weitere Beispiele ergänzen

Konstruktion der Isomorphie füt und