Laplacescher Entwicklungssatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Entwicklung nach Laplace[Bearbeiten]

Wir haben im vorherigen Satz gesehen, dass wir die Determinante einer Matrix folgendermaßen berechnen können:

(Entwicklung nach der -ten Zeile)

Diese Formel schaut erstmal total kompliziert aus. Die Berechnung an sich läuft allerdings relativ leicht.

Beispiel (Entwicklung nach Laplace)

Sei

  1. Zunächst wählst du ein Zeile nach der du entwickeln willst. Idealerweise mit so vielen -Einträgen wie möglich, denn dadurch verringert sich die Anzahl der Summanden

Wir wählen hier also die 3. Zeile:

  1. Dann betrachtest du jeden Eintrag in dieser Spalte. Jeder Eintrag ergibt einen Summanden. Du hast also Summanden. Natürlich fallen Summanden mit -Einträgen raus. Das Vorzeichen des Summanden ergibt sich aus Summe des Zeilen und Spaltenindex. Außerdem wird dieser Eintrag mit der Determinante multipliziert, die sich ergibt durch das Streichen der -ten Zeile (nach der wir entwickeln) und der -ten Spalte (also in der der aktuelle Eintrag steht.

Wir entwickeln also so lange, bis wir die Determinante explizit berechnen können. In jedem Schritt verlieren wir eine Dimension.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Schachbrettgrafik für Vorzeichen, Bild zum Streichen der Zeilen

Beispiel (Allgemeine Formel für die Determinante)

Fall 1:

für

Fall 2:

Diese Regel kennen wir bereits. Wir können aber auch hier entwickeln und die Formel auf - Matrizen bzw. reele Zahlen zurückführen.

Entwicklung nach erster Zeile.

Fall 3:

Wir werden jetzt die Regel von Sarrus beweisen, mit der sich die Determinante von -Matrizen leicht berechnen lassen.

Entwicklung nach der ersten Zeile: