Leere Menge – Mathe für Nicht-Freaks

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Definition[Bearbeiten]

Die leere Menge (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Die leere Menge ist diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Für die leere Menge werden die Symbole , oder die Schreibweise verwendet. Dabei ist die leere Menge nicht „nichts“. Sie ist ein existentes Objekt, nämlich diejenige Menge, die nichts enthält.

Stellen wir uns vor, man trinkt ein Glas leer. Nachdem das Glas ganz ausgetrunken wurde, verbleibt keine Flüssigkeit mehr darin – das Glas ist also leer. Dem Inhalt des leeren Glases entspricht die leere Menge. Sie ist eine Menge, welches nichts umfasst und damit den leeren Inhalt repräsentiert.

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Definition (leere Menge)

Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Es gilt also für die leere Menge:

Verständnisfrage: Gilt für jede Menge , dass ? Ist es also so, dass jede Teilmenge der leeren Menge gleich der leeren Menge sein muss?

Ja, dem ist so. Sei eine Menge mit . Dann ist jedes Element von auch Element der leeren Menge. Nun enthält aber die leere Menge keine Elemente. Damit kann aber auch keine Elemente enthalten, womit diese Menge selbst die leere Menge ist.

Beispiele[Bearbeiten]

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Beispiel (leere Menge)

Anmerkungen zu den Beispielen:

Beispiel 1: Es kann kein geben, dass sich von sich selbst unterscheidet – anders ausgedrückt: ist immer oder Ich bin immer Ich.

Beispiel 2: Die Nullstellenmenge der Polynomfunktion ist leer in , da der Ausdruck innerhalb der reellen Zahlen unlösbar ist.

Beispiel 3: Die Menge ist die einelementige Menge der leeren Menge (also eine Menge, die die leere Menge beinhaltet und damit nicht leer ist!). Im Gegensatz dazu besitzt keine Elemente.

Eigenschaften der leeren Menge[Bearbeiten]

Eigenschaften der leeren Menge (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Für die leere Menge gelten folgende Eigenschaften:

  1. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, das heißt für jede Menge ist .
  2. Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge: .
  3. Jede Existenzaussage über der leeren Menge ist falsch. Dies bedeutet, dass jede Aussage der Form und der Form falsch ist, denn es gibt kein Objekt in der leeren Menge, welches erfüllen würde.
  4. Jede Allaussage über der leeren Menge ist wahr. Dies bedeutet, dass jede Aussage der Form wahr ist, weil es kein Objekt in der leeren Menge gibt, für das man überprüfen müsste.
  5. Nach dem Extensionalitätsprinzip gibt es nur eine leere Menge. Zwei Mengen sind nämlich identisch, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Zwei leere Mengen besitzen dieselben Elemente (nämlich keine) und müssen deswegen ein- und dasselbe Objekt sein. Es ist also , da beide Mengen leer sind.

Anmerkungen zu den Eigenschaften:

Eigenschaft 3 & 4: Um die Eigenschaften zu verstehen, müssen die Symbole (Allquantor) und (Existenzquantor) verstanden sein. So lautet etwa die Aussage ausgesprochen: Es gibt mindestens ein aus der leeren Menge, für welches die Aussage wahr ist.

Verständnisfragen: Sind die Folgenden Aussagen richtig oder falsch?

Lösungen:

  1. Richtig, denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also auch von sich selbst.
  2. Richtig, denn die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
  3. Falsch, denn es gilt und .
  4. Falsch, denn die leere Menge enthält keine Elemente.
  5. Richtig, denn die Menge enthält als Element.
  6. Richtig, dies ist die Kontraposition zur Aussage .
  7. Richtig. Zunächst ist stets . Wenn zusätzlich nicht leer ist, ist die leere Menge eine echte Teilmenge von .
  8. Richtig, denn .