Leibniz-Formel der Determinante – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung

To-Do:

Was ist die Leibnizformel? Alternative Definition. Warum betrachtet man sie? Es ist möglich Eigenschaften zu zeigen, die mit der ursprünglichen Definition nicht möglich ist, man hat eine konkrete formel, mit der man arbeiten kann

Vorbereitungen

To-Do:

Permutationen und Signum

Definition

Definition (Leibniz-Formel der Determinante)

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper, $n\in \mathbb {N}$ und $A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$. Dann gilt: $\det(A)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\pi )\cdot a_{\pi (1)1}\cdot a_{\pi (2)2}\cdot ...\cdot a_{\pi (n)n}=\sum _{\pi \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{\pi (i)i}\right)$.

To-Do:

Zeige, dass die Definition äquivalent zu der ursprünglichen ist