Matrix: Rang – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!

Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Bildes. Matrizen sind lineare Abbildungen; zumindest haben wir gesehen, wie man Matrizen mit endlich-dimensionalen linearen Abbildungen identifiziert. Also ist folgende Definition sinnvoll:

Definiton über Dimension des Bildes

Definition (Rang einer Matrix)

Ist $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, so nennt man ${\text{rg}}A:={\text{dim}}({\text{im}}(f_{A}))$ den ${\textbf {Rang}}$ von $A$.

Speziell für Matrizen können wir ${\textit {Spalten-}}$ und ${\textit {Zeilenrang}}$ definieren:

Definiton über Spaltenrang

Definition (Rang einer Matrix)

Der ${\textbf {Spaltenrang}}$ einer Matrix $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$ ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von $A$. Analog definieren wir den ${\textbf {Zeilenrang}}$ als die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von $A$. Es gilt

${\text{rg}}A={\text{Spaltenrang}}A.$

Hinweis

Genaugenommen enthält die Definiton über den Spaltenrang schon einen Satz, den wir beweisen sollten.

Satz (Definiton über Spaltenrang)

Es gilt

${\text{rg}}A={\text{Spaltenrang}}A.$

Beweis (Definiton über Spaltenrang)

To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis

Seien o.E. die ersten ${\tilde {n}}$ Spalten von $A$ linear unabhängig, also insbesondere ${\text{Spaltenrang}}A={\tilde {n}}$. Wir schreiben $A=(a_{\bullet 1},\ldots ,a_{\bullet n})$, wobei mit $a_{\bullet j}$ die $j$-te Spalte von $A$ gemeint ist. Es gibt offensichtlich für jedes $j>{\tilde {n}}$ ein $\lambda ^{j}\in \mathbb {K} ^{\tilde {n}}$, sodass $a_{\bullet j}=(a_{\bullet 1},\ldots ,a_{\bullet {\tilde {n}}})\lambda ^{j}$. Damit gilt aber für allgemeines $x\in \mathbb {K} ^{n}$

$Ax=\sum _{i=1}^{n}a_{\bullet i}x_{i}=\sum _{i=1}^{\tilde {n}}a_{\bullet i}\left(x_{i}+\sum _{j={\tilde {n}}+1}^{n}x_{j}\lambda _{i}^{j}\right)$,

also ${\text{im}}(f_{A})={\text{span}}\{a_{\bullet 1},\ldots ,a_{\bullet {\tilde {n}}}\}$. Da aber $(a_{\bullet 1},\ldots ,a_{\bullet {\tilde {n}}})$ linear unabhängig sind folgt

${\text{rg}}A={\text{dim}}({\text{im}}(f_{A}))={\text{dim}}({\text{span}}\{a_{\bullet 1},\ldots ,a_{\bullet {\tilde {n}}}\})={\tilde {n}}={\text{Spaltenrang}}A$.

Der ${\textbf {Rang}}$ erlaubt uns die Klassifikation von Matrizen auf eine intuitive Art und Weise.

Äquivalenz (im engeren Sinne) von Matrizen

Definition

Seien $A,B\in \mathbb {K} ^{m\times n}$. Wir nennen $A$ und $B$ äquivalent (in engerem Sinne), geschrieben $A\sim B$, falls invertierbare Matrizen $P\in \mathbb {K} ^{n\times n}$ und $Q\in \mathbb {K} ^{m\times m}$ existieren, so dass

$B=Q^{-1}AP$

gilt.

Satz

Die Relation $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis?

Reflexivität: Diese folgt bereits aus $P:=I_{n}=P^{-1}$ und $Q:=I_{m}=Q^{-1}$, denn $A=I_{m}AI_{n}$.

Symmetrie: Wenn $A\sim B$ mit $P$ und $Q$ gilt, so gilt $B\sim A$ mit $P^{-1}$ und $Q^{-1}$. Genauer: $A=Q(Q^{-1}AP)P^{-1}=QBP^{-1}=(Q^{-1})^{-1}BP^{-1}$.

Transitivität: Wenn $A\sim A_{1}$ mit $P_{1}$ und $Q_{1}$ und $A_{1}\sim A_{2}$ mit $P_{2}$ und $Q_{2}$ gilt, so gilt $A\sim A_{2}$ mit $P_{1}P_{2}$ und $Q_{1}Q_{2}$. Genauer: $A_{2}=Q_{2}^{-1}A_{1}P_{2}=Q_{2}^{-1}Q_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}=(Q_{1}Q_{2})^{-1}AP_{1}P_{2}$.

Warum soll das intuitiv sein? Folgender Satz liefert die Begründung.

Satz (Rangsatz)

Zwei $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind genau dann im obigen Sinne äquivalent, wenn sie den selben Rang haben.

Beweis (Rangsatz)

To-Do:

Beweis führen

Um es vollkommen klar zu machen, etwas für das Auge: Der Rang der Matrix

$A=\left[{\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}1&&\\&\ddots &\\&&1\end{matrix}}&0\\\hline 0&0\end{array}}\right]$

ist offensichtlich gleich der Anzahl der Einsen auf der Diagonale des ersten Blocks. Ist die Anzahl nun $r\leq \min\{m,n\}$, so liefert der Rangsatz, dass jede Matrix $B$ mit Rang $r$ äquivalent zu $A$ ist. Den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Einsen auf der Diagonale des ersten Blocks und dem Rang kann man sich natürlich gut merken. Wir nennen daher Matrizen der Form $A$ auch ${\textit {Normalform}}$. Diese sind als Repräsentanten obiger Äquivalenzrelation besonders gut geeignet.