Matrix: Rang – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Bildes. Matrizen sind lineare Abbildungen; zumindest haben wir gesehen, wie man Matrizen mit endlich-dimensionalen linearen Abbildungen identifiziert. Also ist folgende Definition sinnvoll:

Definiton über Dimension des Bildes[Bearbeiten]

Definition (Rang einer Matrix)

Ist , so nennt man den von .

Speziell für Matrizen können wir und definieren:

Definiton über Spaltenrang[Bearbeiten]

Definition (Rang einer Matrix)

Der einer Matrix ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von . Analog definieren wir den als die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von . Es gilt

Hinweis

Genaugenommen enthält die Definiton über den Spaltenrang schon einen Satz, den wir beweisen sollten.

Satz (Definiton über Spaltenrang)

Es gilt

Beweis (Definiton über Spaltenrang)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis

Seien o.E. die ersten Spalten von linear unabhängig, also insbesondere . Wir schreiben , wobei mit die -te Spalte von gemeint ist. Es gibt offensichtlich für jedes ein , sodass . Damit gilt aber für allgemeines

,
also . Da aber linear unabhängig sind folgt
.

Der erlaubt uns die Klassifikation von Matrizen auf eine intuitive Art und Weise.

Äquivalenz (im engeren Sinne) von Matrizen[Bearbeiten]

Definition

Seien . Wir nennen und äquivalent (in engerem Sinne), geschrieben , falls invertierbare Matrizen und existieren, so dass
gilt.

Satz

Die Relation ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis?

Reflexivität: Diese folgt bereits aus und , denn .

Symmetrie: Wenn mit und gilt, so gilt mit und . Genauer: .

Transitivität: Wenn mit und und mit und gilt, so gilt mit und . Genauer: .

Warum soll das intuitiv sein? Folgender Satz liefert die Begründung.

Satz (Rangsatz)

Zwei -Matrizen und sind genau dann im obigen Sinne äquivalent, wenn sie den selben Rang haben.

Beweis (Rangsatz)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis führen

Um es vollkommen klar zu machen, etwas für das Auge: Der Rang der Matrix

ist offensichtlich gleich der Anzahl der Einsen auf der Diagonale des ersten Blocks. Ist die Anzahl nun , so liefert der Rangsatz, dass jede Matrix mit Rang äquivalent zu ist. Den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Einsen auf der Diagonale des ersten Blocks und dem Rang kann man sich natürlich gut merken. Wir nennen daher Matrizen der Form auch . Diese sind als Repräsentanten obiger Äquivalenzrelation besonders gut geeignet.