Nebenklassen eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel zu Unterräumen Teilmengen eines Vektorraums kennengelernt, die bezüglich der Vektorraumverknüpfungen in sich abgeschlossen sind. Betrachten wir einen Unterraum . Aus dem Artikel zur Summe und direkten Summe wissen wir ausserdem, dass ein beliebiger Vektor des Raums eindeutig als Summe zweier Vektoren, aus und einem Komplement zu in geschrieben werden. Wir finden also genau ein Paar von Vektoren , sodass .

Zwei Vektoren können wir auf die oben beschriebene Art zerlegen, wir finden also (eindeutig bestimmte) Vektoren und , sodass und .

Nun können wir bei den Vektoren, und , außer Betracht lassen, indem wir nur ihre Komponenten betrachten. Wir können uns das auch so vorstellen, dass wir die Komponenten aus auf setzen. Vektoren aus werden dabei allesamt zur , und Vektoren, die sich nur um ihre Komponenten in unterscheiden, fallen zusammen, sind also gleich bezüglich „nicht-“. Wir schreiben diese Gleichheit vorläufig als .

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To-Do:

Hier neue Graphik einfügen, in https://1drv.ms/o/s!ArOmWBhaTvIYgVA3tzZADXaxZkV8, Nebenklassen Faktorraum > Bilder Nebenklassen

Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen

Wählen wir ein anderes Komplement, so verhalten sich die Vektoren genauso:

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To-Do:

Auch hier neue Graphik

Weitere Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen

Es gibt aber potenziell unendlich verschiedene Komplemente zu in , also keine kanonische Wahl von .

Animation von affines Unterräumen und Komplementen

Wir wollen die Gleichheit von Vektoren bezüglich „nicht-“ betrachten. „nicht-“ ist jedoch nicht eindeutig. Wir sahen dass für jede Wahl eines Komplements die bzgl. gleichen Vektoren sich nur um ihre Komponenten in unterschieden, nämlich .

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To-Do:

Der Beweis ist nicht ganz richtig, sollte schön ausgeschrieben werden als Stütze für das was wir in den Graphiken sowieso erkennen können

Also gibt uns eine Gleichheit „bzgl. nicht-“ bzw „abgesehn von “, die unabhängig von der Wahl eines Komplements ist.

Mögliche weitere Sprechweisen für diese Gleichheit sind:

  • Zwei Vektoren sind gegenseitig durch (einen Vektor in) erreichbar.
  • Zwei Vektoren unterscheiden sich nur (um einen Vektor) in .

Wir beweisen weiter unten dass es sich hierbei tatsächlich, wie man bei jeder Art Gleichheit erwarten sollte, um eine Äquivalenzrelation handelt.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind:

Definition (Affiner Unterraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter sei . Dann nennen wir die Menge den von erzeugten affinen Unterraum bzgl. .

In sind diese Mengen Parallelverschiebungen von .

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To-Do:

Zeichnung

Definition (Nebenklasse)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter seien . Definiere . Dann ist eine Äquivalenzrelation auf und die Äquivalenzklasse zu einem Element die Menge . Diese nennen wir die von erzeugte Nebenklasse bezüglich .

Wir weisen jetzt nach, dass tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist.

Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wiederholung: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse[Bearbeiten]

Hauptartikel: Äquivalenzrelation

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

  • reflexiv
  • symmetrisch
  • transitiv

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente und äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation sind, schreibt man oft oder einfach anstatt der sonst üblichen Schreibweise beziehungsweise . Alle Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation äquivalent sind, liegen in einer Äquivalenzklasse.

Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wir haben in der Herleitung behauptet, sei eine Äquivalenzrelation und dies anschaulich in auch gesehen. Wir liefern hier den Beweis.

Satz ( ist eine Äquivalenzrelation)

Die Relation definiert über ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Beweis ( ist eine Äquivalenzrelation)

Beweisschritt: Reflexivität

Da ein Untervektorraum ist, gilt , also ist für einen beliebigen Vektor . Nach Definition der Relation gilt damit für alle .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus die dazu symmetrische Beziehung folgt. Sei also . Somit ist . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch . Dies ist gleichbedeutend mit . Also gilt .

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To-Do:

Vielleicht jst Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation einfacher.

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus und die Beziehung folgt. Seien dafür , also , und , also . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch . Weil gilt, ist also und damit .

Beispiele für Nebenklassen[Bearbeiten]

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die , , - Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die -- Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach ist somit:

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr -Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der -Vektorraum . Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungem, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in aus auf dieselbe Ebene parallel zur --Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die --Ebene ein Untervektorraum des ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der - Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.


Beispiel (Finanzen: Veränderung der Bilanz von zwei Konten)

Wir betrachten zwei Bankkonten und interessieren uns für die Summe ihrer Bilanzen. D.h. zwei Zustände (kontoA1,kontoB1), (kontoA2,kontoB2) sehen wir als äquivalent an wenn kontoA1 + kontoB1 = kontoA2 + kontoB2. Wir wollen diese Äquivalenz aber auf der Vektoren, nicht Komponenteneben ausdrücken. Wir schreiben um: = 0. Wir sehen dass die Vektoren in gewichtete Summen umgewandelt wurden. Insbesondere nämlich: . Mit dem Distributivgesetz erhalten wir: . Es soll also im Kern der linearen Abbildung liegen. Dieser ist . Die Äquivalenzklassen bzgl. der Summe des Kontostandes sind also genau die Nebenklassen modulo  ! Wir können uns das auch so vorstellen: Wir wollen die summierte Bilanz der zwei Konten betrachten. Dabei geht Information verloren. Und zwar welche? Bilanzen der zwei Konten die sich gegenseitig aufheben. Und die beschreibt gerade der Unterraum !


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To-Do:

“Abstraktes” Beispiel, mögl. in endlichem Körper, das aber sinnvoll ist um wieder Eigenschaften der Nebenklassen darin zu erkennen.

Bedeutung der Eigenschaften von Äquivalenzrelationen im Kontext von Nebenklassen[Bearbeiten]

Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen[Bearbeiten]

Wir wissen dass Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sein müssen. Dies sehen wir in bzw. auf sehr anschauliche Weise: Die Klassen sind parallelverschobene Geraden/Ebenen, die sich nur schneiden, wenn sie zusammenfallen.

Äquivalenzrelationen partitionieren den Raum[Bearbeiten]

Genau wie wir den Raum durch den Nullraum in Punkte partitionieren können (), können wir ihn auch durch andere Unterräume in entsprechende Nebenklassen partitionieren. Beispiel durch eine Gerade:

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To-Do:

Durch schönere Graphik ersetzen

V=\R ^2 partitioniert durch Geraden

Ausblick[Bearbeiten]

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To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen