Nebenklassen eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum[Bearbeiten]

Inhalt: Neue aktualisierte grobe Planung: (oder S^2(grobe Planung))

  • Wir wollen einen Unterraum "ignorieren"
  • Erste Lösungsidee: Wir wählen ein Komplement und haben dann einen "-Teil" und einen Nicht--Teil
  • Für einen Vektor gibt es und nicht--Komponenten und (hier nochmal wiederholen, was Komplemente im Vektorraum sind)
  • Wir bekommen damit eine Gleichheit "ohne " indem wir sagen, dass und ohne gleich sind, falls gilt.
Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen
  • Problem: Komplemente sind nicht eindeutig und dieser Begriff von Gleichheit hängt von der Wahl des Komplements ab. Das heißt, so wie wir das bisher formuliert haben, ist dies Bezeichnung nicht unbeding wohldefiniert. (Verschiedene Wahlen von Komplementen, könnten verschiedene Gleichheitsbegriffe induzieren.)
  • Wir wollen zeigen dass diese Gleichheit unabhängig ist von der Wahl des Komplements. Betrachte deswegen ein anderes Komplement .
  • Dann haben wir zwei Zerspaltungen: und (Notation motivieren: v_U hängt auch von der Wahl des Komplements ab)
Weitere Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen
  • Z.z. wäre dann (Diese Notation nicht im Artikel verwenden, nur hier um kurz zu fassen)
  • Daraus hoffen wir, dass auf rechnerischem Weg sich schon andeutet, wie wir auf die Komplement-unabhängige Äquivalenzrelation kommen?

Beweisskizze:

Seien zwei Komplemente zu in , . Zeige dann . Da hier komplett vertauschbar sind, reicht es zu zeigen dass . Wir haben volgende Zerlegungen der Vektoren:

Wir wissen nach Vorraussetzung , und wollen zeigen .

Wir können durch einsetzen umformen in . Über den Raum wissen wir nicht soviel, deshalb tun wir „gleiches“ zu gleichem und erhalten, dass zu zeigen ist.

Nun haben wir noch eine Darstellung von , nämlich . Aus dieser Darstellung von soll nun die vorige folgen. Wenn wir sie einfach gleichsetzen und das als nächstes Beweisziel setzen, kommen wir jedoch nicht weiter. Wir müssen deshalb einen Zwischenschritt vornehmen.

Wir haben noch eine Gleichung für , und zwar . Wenn nun gleich 0 wäre, würde die obige Gleichung folgen.

Da wir schon nach Räumen sortiert haben könnten wir dies auch umformulieren in „Die -Komponente der -Zerlegung von soll gleich 0 sein“. Dass gilt aber wegen der Direktheit gdw. .

Und tatsächlich folgt dies aus der vorigen Gleichung, , da Untervektorraum und .

Alternative Beweisskizze: (rechnet sich zwar schön runter, es werden aber nur unmotiviert Gleichungssysteme umgeformt; man kommt nicht auf die Darstellung der Äquivalenzrelation, die von den Komplementen unabhängig ist, also v\sim v' gdw. v-v'\in U) Seien zwei Komplemente zu in , . Zeige dann . Da hier komplett vertauschbar sind, reicht es zu zeigen dass . Wir haben volgende Zerlegungen der Vektoren:

Wir wissen nach Vorraussetzung , und wollen zeigen .

Wir erhalten so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen: gilt, können wir durch abziehen der zweiten von der ersten Gleichung die erste Komponente eliminieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung

Wir wollen zeigen, dass . Das ist äquivalent zu . //Option a: Wir verallgemeinern hier von v_{Z,Z}=v'{Z,Z} auf „die Z Komponente“ Da wir schon nach Räumen sortiert haben könnten wir dies auch umformulieren in „Die -Komponente der -Zerlegung von soll gleich 0 sein“. Dass gilt aber wegen der Direktheit gdw. . Dies erhalten wir aber aus der Zerlegung.

//Option b: Wir rechnen weiter, weniger sprunghaft, wir verlieren aber zumindest ohne nachträglich wieder drauf kommen zu müssen die v-v' Darstellung Also stellen wir unsere Gleichung nach um:

Was wissen wir nun über ? Einerseits gilt , weil ein Untervektorraum ist. Andererseits folgt aus unserer Gleichung auch , weil ein Untervektorraum ist. Also folgt . Aber ist ein Komplement von und damit folgt . Somit muss gelten .

ganz alte Beweisskizze: (nur intuitiv erklärt, Ansätze fallen vom Himmel)

  • ist gleich ohne bzgl. gdw. , das heißt und unterscheiden sich nur in der -Komponente:
  • Das gilt aber gdw. , da die Summe von und direkt ist.
  • Wir bekommen damit eine Komplement-Unabhängige Definition des Begriffs "Gleich ohne ".
  • Nun stellt sich die Frage: Wir hatten oben eine Zuordnung von auf seinen "Teil ohne " in einem gegebenen Komplement. Können wir diese Zuordnung auf den "Teil ohne " ebenfalls Komplementunabhängig realisieren?
  • Lösung, wie Mathematiker es in Wahlsituationen gerne machen: Wir treffen keine Wahl sonder lassen alles zu und identifizieren alles, was gleich ist. Das heißt wir bekommen , wo gdw. . Dann erhalten wir duch das Bilden von Ä-Klassen eine Zuordnung auf den "Teil ohne "
  • Eine natürliche nächste Frage ist, ob ein Vektorraum ist, da unsere Zuordnungen auf den Teil ohne bei Wahl eines Komplements in einen Vektorraum abgebildet wurde. Damit werden wir uns im Artikel Faktorraum beschäftigen.

Alter Inhalt:

Stellen wir uns folgendes Szenario vor: wir betrachten Vektoren in einem Raum , deren Komponenten in einem Unterraum wir ignorieren wollen.

Aus dem Artikel zur inneren direkten Summe und Komplement wissen wir, dass ein beliebiger Vektor des Raums eindeutig als Summe zweier Vektoren, aus und einem Komplement zu in geschrieben werden. Wir finden also genau ein Paar von Vektoren , sodass .


Zwei Vektoren können wir auf die oben beschriebene Art zerlegen, wir finden also (eindeutig bestimmte) Vektoren und , sodass und .

Wir erreichen unser Ziel, dass wir ignorieren, indem wir in der Zerlegung den Vektor entfernen. Damit ist dann der teil von der außer betracht lässt.

(Den folgenden Abschnitt umformulieren, damit er verständlicher wird) Nun können wir bei den Vektoren, und , außer Betracht lassen, indem wir nur ihre Komponenten betrachten. Wir können uns das auch so vorstellen, dass wir die Komponenten aus auf setzen. Vektoren aus werden dabei allesamt zur , und Vektoren, die sich nur um ihre Komponenten in unterscheiden, fallen zusammen, sind also gleich bezüglich „nicht-“. Wir schreiben diese Gleichheit vorläufig als .

  • Problem: W ist nicht eindeutig. Und diese Lösung ist nicht-kanonisch, hängt also von der Wahl einer Basis ab. In anderen Worten: Wir suchen ein von Wahlen unabhängiges Komplement zu U

Wählen wir ein anderes Komplement . Dann ( ist wahrscheinlich noch blöde Notation - müssen noch sinnvoll betonen, dass v_U je nach gewähltem Komplement unterschiedlich ist). Also bekommen wir verschiedene Anteile aus "nicht-": und .

Die Relation könnte also erst mal nicht die gleiche wie sein.

  • v_W = w_W \iff 0 = v_W - w_W = (v - v_UW ) - (w - w_UW) = (v - w) + (w_UW - v_UW)

mit dieser Rechnung könnte man sehen, dass \sim_W g.d.w. die Differenz in U liegt

das Gleiche geht mit \sim_Z also müssen beide Relationen doch gleich sein

(Todo: oder finden wir doch noch einen Weg, direkt \sim_W und \sim_Z zu vergleichen? Wäre schöner, direkt zu sehen dass sie doch gleich sind Die aktuelle Herangehensweise suggeriert eher, dass die Relationen eben nicht gleich sind Vielleicht kann man das auch mit Bildern klar machen)

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To-Do:

Hier neue Graphik einfügen, in https://1drv.ms/o/s!ArOmWBhaTvIYgVA3tzZADXaxZkV8, Nebenklassen Faktorraum > Bilder Nebenklassen

Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen

Wählen wir ein anderes Komplement, so verhalten sich die Vektoren genauso:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Auch hier neue Graphik

Weitere Visualisierung von affinen Unterräumen und Komplementen

Es gibt aber potenziell unendlich verschiedene Komplemente zu in , also keine kanonische Wahl von .

Animation von affines Unterräumen und Komplementen

Wir wollen die Gleichheit von Vektoren bezüglich „nicht-“ betrachten. „nicht-“ ist jedoch nicht eindeutig. Wir sahen dass für jede Wahl eines Komplements die bzgl. gleichen Vektoren sich nur um ihre Komponenten in unterschieden, nämlich .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Der Beweis ist nicht ganz richtig, sollte schön ausgeschrieben werden als Stütze für das was wir in den Graphiken sowieso erkennen können

Also gibt uns eine Gleichheit „bzgl. nicht-“ bzw „abgesehn von “, die unabhängig von der Wahl eines Komplements ist.

Mögliche weitere Sprechweisen für diese Gleichheit sind:

  • Zwei Vektoren sind gegenseitig durch (einen Vektor in) erreichbar.
  • Zwei Vektoren unterscheiden sich nur (um einen Vektor) in .

Wir beweisen weiter unten dass es sich hierbei tatsächlich, wie man bei jeder Art Gleichheit erwarten sollte, um eine Äquivalenzrelation handelt.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind:

Definition (Affiner Unterraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter sei . Dann nennen wir die Menge den von erzeugten affinen Unterraum bzgl. .

In sind diese Mengen Parallelverschiebungen von .

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To-Do:

Zeichnung

Definition (Nebenklasse)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , also . Weiter seien . Definiere . Dann ist eine Äquivalenzrelation auf und die Äquivalenzklasse zu einem Element die Menge . Diese nennen wir die von erzeugte Nebenklasse bezüglich .

Wir weisen jetzt nach, dass tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist.

Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wiederholung: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse[Bearbeiten]

Hauptartikel: Äquivalenzrelation

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

  • reflexiv
  • symmetrisch
  • transitiv

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente und äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation sind, schreibt man oft oder einfach anstatt der sonst üblichen Schreibweise beziehungsweise . Alle Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation äquivalent sind, liegen in einer Äquivalenzklasse.

Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Wir haben in der Herleitung behauptet, sei eine Äquivalenzrelation und dies anschaulich in auch gesehen. Wir liefern hier den Beweis.

Satz ( ist eine Äquivalenzrelation)

Die Relation definiert über ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist eine Äquivalenzrelation)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

schreiben

Beweis ( ist eine Äquivalenzrelation)

Beweisschritt: Reflexivität

Da ein Untervektorraum ist, gilt , also ist für einen beliebigen Vektor . Nach Definition der Relation gilt damit für alle .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus die dazu symmetrische Beziehung folgt. Sei also . Somit ist . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch . Dies ist gleichbedeutend mit . Also gilt .

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus und die Beziehung folgt. Seien dafür , also , und , also . Da ein Untervektorraum ist, ist abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch . Weil gilt, ist also und damit .

Beispiele für Nebenklassen[Bearbeiten]

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die , , - Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die -- Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach ist somit:

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr -Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der -Vektorraum . Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungem, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in aus auf dieselbe Ebene parallel zur --Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die --Ebene ein Untervektorraum des ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der - Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.


Beispiel (Finanzen: Veränderung der Bilanz von zwei Konten)

Nehmen wir an, jede Person würde immer genau zwei Bankkonten besitzen. Nun wollen wir wissen, wie viel Geld jede Person insgesamt hat. Also interessiert uns die Summe aller Gelder, die jede Person auf ihren Bankkonten hat. Wir betrachten die zwei Bankkonten, die Anna besitzt. In diesen hat sie Beträge von bzw. angespart. Anna hat insgesamt Geld im Wert von .

Betrachten wir jetzt zwei Personen, Otto und Fritz. Otto besitzt in seinen Konten . Fritz hat in seinen Konten . Otto und Franz haben also genau dann gleich viel Geld, wenn gilt . Wir nennen wir die Paare an Konten und äquivalent, wenn gleich viel Geld auf ihnen liegt, also wenn gilt .

Mit dieser Definition sind zum Beispiel folgende Paare an Konten äquivalent:

Das liegt daran, dass .

Die zwei Konten von Otto und Fritz sind also äquivalent, wenn . Das ist gleichbedeutend mit . Wir definieren den Unterschied der Vektoren und durch

Die Vektoren und sind genau dann äquivalent, wenn gilt .

Anders ausgedrückt, die Summe der Gelder aus zwei Konten ist durch die folgende lineare Abbildung gegeben:

Somit ist der Kern von die Menge an Paaren von Konten, deren Summe Null ist. Also sind zwei Paare von Konten äquivalend, wenn sie sich nur durch einen Vektor aus unterscheiden. Den Kern von können wir weiter umformen:


Die Äquivalenzklassen bezüglich der Summe des Kontostandes sind also genau die Nebenklassen modulo dem Untervektorraum . Alle Nebenklassen sind von der Form

mit .

Wir können uns das auch so vorstellen: Wir wollen die summierte Bilanz der zwei Konten betrachten. Dabei geht Information verloren. Wir wissen zwar nach wie vor, wie viel Geld eine Person insgesamt besitzt, aber nicht mehr, wie sich das Geld auf die beiden Konten verteilt.

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To-Do:

“Abstraktes” Beispiel, mögl. in endlichem Körper, das aber sinnvoll ist um wieder Eigenschaften der Nebenklassen darin zu erkennen.

Eigenschaften von Äquivalenzklassen angewendet auf Nebenklassen[Bearbeiten]

neuer grober Plan:

  • in sind Nebenklassen verschobene parallele Geraden, in verschobene parallele Geraden oder Ebenen (Wenn der UVR nicht trivial ist). Das soll auch mit Beispielen und Bildern veranschaulicht werden
  • Dass die Objekte parallel sind kann man auch durch die Äquivalenzklassen erklären:
    • Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt
    • das heißt die Geraden sind gleich oder nicht gleich und parallel
  • alle Geraden zusammen decken den ganzen Raum ab.
  • Die Nebenklassen partionieren den Raum
  • die beiden letzten Punkte gelten auch allgemein, nicht nur in
    • Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt wenn sich Nebenklassen schneiden sind sie schon gleich
    • alle Nebenklassen zusammen ergeben den gesamten Vektorraum.
V=\R ^2 partitioniert durch Geraden

Ausblick[Bearbeiten]

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To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen