Russells Antinomie – Mathe für Nicht-Freaks

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Obwohl wir bisher noch nicht sehr viel Mathematik betrieben haben (wir haben nur definiert, was eine Menge ist und wie man diese notieren kann), haben wir bereits jetzt einen Fehler gemacht, der zu einer widersprüchlichen Theorie der Mengenlehre führt. Worin könnte dieser Fehler liegen?

Russells Antinomie[Bearbeiten]

Russells Antinomie und die Grenzen der naiven Mengenlehre (Video vom Podcast The Wicked Mu)
Bertrand Russell

Das Problem ist unsere intuitive Definition einer Menge. Nach ihr müsste es nämlich auch Mengen geben, die nicht existieren können. Ein Beispiel findet sich in Russells Antinomie, die Bertrand Russell 1903 publizierte[1]:

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Beispiel (Russells Antinomie)

Durch den Ausdruck

ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.“

beziehungsweise

wird keine sinnvolle Menge definiert.

Frage: Wieso definiert keine sinnvolle Menge?

Stelle dir vor, es gäbe eine Menge , die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Ist dann ?

Wäre ein Element von sich selbst, dann ist gerade nach Definition, kein Element von sich selbst ↯.

Ist , dann ist nach Definition von gerade ↯.

Wir erhalten also sowohl für als auch für einen Widerspruch. Damit kann weder noch sein. Für eine Menge muss aber immer klar sein, was ihre Elemente sind. Dies zeigt, dass es die Menge nicht geben kann, obwohl sie nach unseren Regeln der Mengenlehre sinnvoll definiert ist.

Analog kannst du auch so argumentieren: Für die Menge gilt:

Für alle Objekte ist also genau dann , wenn ist. Nun ist als Menge ein existierendes Objekt und damit können wir in der Äquivalenz für die Menge einsetzen. Wir erhalten dann den Widerspruch:

Grenzen der Mengenlehre[Bearbeiten]

Bereits Cantor kannte ähnliche Antinomien. Er glaubte aber nicht, dass seine Definition geändert werden müsse[2]. Er unterteilte hierzu Mengen in konsistente Vielheiten, bei denen eine Zusammenfassung zu einem Ganzen möglich ist und in inkonsistente Vielheiten, bei denen dies nicht der Fall ist. Da in Cantors Mengendefinition ausdrücklich von „Zusammenfassungen zu einem Ganzen“ die Rede ist, werden laut Cantor Mengenausdrücke ausgeschlossen, die nicht sinnvoll eine Menge definieren können. Dass dies aber die richtige Interpretation der obigen Definition ist, ist fraglich.

Hier zeigt sich ein weiteres Problem: Es ist nicht klar, wie Cantors Mengendefinition interpretiert werden muss. Wir haben aus dieser Definition beispielsweise geschlossen, dass Ausdrücke der Form stets eine Menge definieren. Hieraus ergibt sich aber obiges Problem mit Russells Antinomie. Ist unsere Interpretation also falsch? Wenn ja, wie lautet die richtige Interpretation?

Dies sind Fragen, die keine mathematische Definition hinterlassen darf. Mathematische Begriffe müssen für jeden Mathematiker eindeutig definiert sein, so dass sie darunter immer dasselbe verstehen. Cantors Definition erfüllt diese Bedingung nicht.

Welche Auswege gibt es aus dieser Misere? Hierfür wurden mehrere alternative Theorien der Mengenlehre vorgeschlagen. Die aktuell bekannteste ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Sie ist zum einen mathematisch exakt aufgebaut. Zum anderen werden die Möglichkeiten der Mengenbildung so eingeschränkt, dass bekannte Widersprüche wie Russells Antinomie vermieden werden.

Sie ist aber komplizierter und deshalb möchte ich an dieser Stelle auf eine detaillierte Einführung verzichten (die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre begegnet einem Mathematikstudenten in der Regel erst im Hauptstudium). In den folgenden Kapiteln werden wir auch nicht an die Grenzen der Mengenlehre stoßen. Du solltest aber wissen, dass die hier vorgestellte Mengenlehre widersprüchlich ist und es mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre eine Alternative gibt. Die hier vorgestellte Mengenlehre wird deswegen auch naive Mengenlehre genannt, da sie auf intuitiven Definitionen beruht und (je nach Interpretation dieser Definitionen) zu Widersprüchen führt.

Im Übrigen siehst du am Beispiel der naiven Mengenlehre, wie wichtig eine mathematisch exakt aufgebaute Theorie ohne intuitive Begrifflichkeiten ist. Du siehst auch, wie schnell es zu Problemen bei intuitiv definierten Begriffen kommen kann. Wer hätte beim ersten Lesen gedacht, dass Cantors Mengendefinition zu Problemen führen könnte?! Natürlich ist deine Intuition für deine mathematische Tätigkeit unverzichtbar und extrem wertvoll, jedoch solltest du ihr nie voll und ganz vertrauen und sie immer hinterfragen.