Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Notation[Bearbeiten]

In diesem Artikel sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von oft mit und .

Direkte Summe von Untervektorräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

  • Wir haben bereits gesehen, dass die Darstellung von Vektoren in der Summe eindeutig ist, und manchmal nicht.
  • Diese Eindeutigkeit ist uns wichtig, da wir somit Resultate wieder zerlegen können, welche anderenfalls verloren gehen würden.
  • Eigentlich ist die Motivation auch eher, maximale direkte Summen zu finden, d.h. Komplemente.
  • Sehr viele Sachen, die motivierend hierfür sein könnten, brauchen aber lineare Abbildungen (z.B. die Zerlegung bei idempotenten Endomorphismen, lineare Abbildungen auf einer direkten Summe werden durch die Komponenten bestimmt, etc.).

Definition der direkten Summe[Bearbeiten]

Definition (Direkte Summe)

Sei ein -Vektorraum und zwei Unterräume.

Wir sagen, dass die Summe direkt ist, falls sich jedes auf eindeutige Weise als mit schreiben lässt.

Wir schreiben dann statt auch .

Hinweis

"Auf eindeutige Weise" bedeutet hierbei: Wenn mit und , dann gilt bereits und .

Hinweis

Per Definition ist eine direkte Summe also auch eine Summe. Damit hat sie alle Eigenschaften der Summe.

Äquivalente Charakterisierungen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Motivation

Satz (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Seien Unterräume von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Summe von und ist direkt
    (d.h. ).
  2. Die Darstellung aller Elemente von ist eindeutig
    (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits und ).
  3. Die Darstellung der Null ist eindeutig
    (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits ).
  4. und haben trivialen Schnitt
    (d.h. ist der triviale Untervektorraum).

Beweis (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Wir sehen sofort aus der Definition, dass . Wir zeigen nun die Implikationen . Dann folgt die Behauptung durch Ringschluss!

Beweisschritt:

Sei und mit . Dies ist eine Darstellung von .

Andererseits ist auch eine Darstellung von .

Da Darstellungen nach Voraussetzung eindeutig sind, folgt und .

Beweisschritt:

Sei . Dann ist und . Also ist eine Darstellung der . Mit der Voraussetzung folgt . Also ist der Schnitt trivial.

Beweisschritt:

Sei . Wir müssen zeigen, dass sich auf eindeutige Weise als Summe von Elementen von und schreiben lässt.

Seien dazu und mit der Eigenschaft, dass . Wir haben also zwei Darstellungen von und müssen zeigen, dass sie gleich sind. "Gleich" bedeutet dabei, dass und .

Es gilt . Dieses Element liegt in (wegen der Darstellung links von "") und in (wegen der Darstellung rechts von ""). Also liegt es im Schnitt . Nach Voraussetzung ist . Damit folgt . Also gilt und . Das ist genau, was wir zeigen wollten.

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Beispiele von direkten und nicht-direkten Summen)

Sei . Betrachte die Unterräume , und .

Zeige, dass die Summen , und direkt sind, nicht aber die Summe .

Lösung (Beispiele von direkten und nicht-direkten Summen)

Wir nutzen die alternative Charaktersierung. Es genügt also zu zeigen, dass , und gilt, aber nicht .

Beweisschritt:

Sei also . Also ist , da und , da . Das bedeutet: .

Damit haben wir gezeigt, dass , und deshalb auch .

Beweisschritt:

Sei also . Also ist , da und , da . Das bedeutet: .

Damit haben wir gezeigt, dass , und deshalb auch .

Beweisschritt:

Sei also . Also ist , da und , da . Das bedeutet: .

Damit haben wir gezeigt, dass , und deshalb auch .

Beweisschritt:

Wir wissen, dass und liegen. Daher ist .

Andererseits gilt auch .

Daher ist . Also ist der Schnitt nicht-trivial und die Summe daher nicht direkt.

Aufgabe (Idempotente Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung mit . Zeige: .

Lösung (Idempotente Abbildungen)

Wir zeigen, dass und dass . Nach dem Satz über äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe ist somit direkt.

Beweisschritt:

Da sowohl der Kern als auch das Bild von Untervektorräume von sind, ist für die Inklusion nichts zu tun. Sei andererseits . Dann gilt nach Voraussetzung , oder in anderen Worten . Wegen der Linearität von folgt . Also liegt das Element im Kern von . Außerdem liegt das Element per Definition im Bild von . Somit ist die Summe eines Elementes aus und eines Elementes aus . Also liegt in .

Beweisschritt: Wir zeigen .

Sei , d.h. und es existiert , sodass . Somit gilt , da idempotent ist. Dies zeigt wie gewünscht.

Komplemente von Untervektorräumen [Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

  • Wir können die gleiche Herleitung nutzen wie bei Nebenklassen: Wir wollen den UVR ignorieren. D.h. wir wollen V aufteilen in einen U und einen nicht-U Anteil.

Definition und Existenz von Komplementen[Bearbeiten]

Definition (Komplement eines Untervektorraums)

Sei ein Unterraum. Ein Unterraum heißt Komplement von in , falls gilt.

Wir werden zunächst zeigen, dass Komplemente immer existieren:

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Unterraum sodass , d.h. ist ein Komplement von in .

Beweis (Komplemente existieren immer)

In diesem Beweis werden wir Basen verwenden. Diese werden erst später definiert, sind hier aber unumgänglich. Es treten keine Zirkelschlüsse auf.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Verlinken

Sei ein Untervektorraum. Wir wählen eine Basis von .

Nach dem Basisergänzungssatz
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

link

können wir zu einer Basis von ergänzen.

Sei dann . Dies ist per Definition ein Untervektorraum von .

Es gilt , da bereits die Basis von enthält.

Es bleibt zu zeigen, dass . Sei . Dann hat Darstellungen als Linearkombination von Vektoren in einerseits, und von Vektoren in andererseits. Da aber eine Basis von bildet und somit linear unabängig ist, kann nur gelten.

Warnung

In unserem Setting existieren immer Komplemente. Jedoch kann es dir im weiteren Studium passieren, dass der Begriff "Komplement" etwas anders definiert wird, z.B in der Funktionalanalysis. Dann gibt es Beispiele von Untervektorräumen, die kein Komplement haben.

Nichteindeutigkeit von Komplementen[Bearbeiten]

Komplemente sind im allgemeinen nicht eindeutig:

Beispiel (Komplemente sind nicht eindeutig)

Wir betrachten den -Vektorraum . Sei . Dies ist ein Unterraum von .

Wir werden jetzt zwei verschiedene Komplemente von in finden.

Sei dazu und . Dies sind Unterräume von .

Außerdem sind beides Komplemente von .

Aufgabe (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweise, dass und wie im Beispiel oben Komplemente von in sind, aber .

Wie kommt man auf den Beweis? (Beweis des Gegenbeispiels)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

lösungsweg

Lösung (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweisschritt:

Das gilt, denn , aber .

Beweisschritt:

Sei dazu . Dann können wir schreiben . Also gilt . Sei nun . Nach Definition von muss gelten. Nach Definition von muss gelten. Also ist . Insgesamt folgt: ist ein Komplement von in .

Beweisschritt:

Sei dazu . Dann können wir schreiben . Also gilt . Sei nun . Nach Definition von muss gelten. Nach Definition von muss gelten. Also ist . Insgesamt folgt: ist ein Komplement von in .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Lösungsweg der Aufgabe

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Ein Unterrraum ist ein Komplement zu einem Komplement)

Sei ein -Vektorraum und ein Unterraum. Sei ein Komplement zu in . Das bedeutet .

Dann ist ein Komplement zu in , denn . Dies gilt, da die (direkte) Summe kommutativ ist.

Beispiel (Triviale Komplemente)

Sei ein Vektorraum. Es gilt . Also ist ein Komplement zu in .

Hier ist das Komplement sogar eindeutig: Wenn ein Komplement zu in ist, dann gilt . Nach der alternativen Charaktersisierung von direkten Summen gilt dann: . Da aber gilt, ist . Also ist .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgaben!

Alter Content: Intuitive Veranschaulichung der inneren direkten Summe[Bearbeiten]

In der linearen Algebra unterscheidet man das Konzept der inneren direkten Summe von dem dazu verwandten Konzept der äußeren direkten Summe. Um zunächst einen Zugang zur inneren direkten Summe zu erhalten, betrachten wir als erstes anschaulich die Lage zweier Untervektorräume und des dreidimensionalen Raums zueinander, also die Fälle

sind jeweils Geraden; und

ist eine Gerade und ist eine Ebene

sind jeweils Ebenen; und

Wir wollen nun diese drei Fälle etwas näher untersuchen.

  • Sind und zwei Geraden im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich im Ursprung, d.h. im Punkt , und damit ist .
  • Ist dagegen eine Gerade und eine Ebene im (die beide den Ursprung enthalten), dann liegt entweder in , also oder und schneiden sich im Ursprung, und damit ist .
  • Sind zum Schluss und zwei Ebenen im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich in einer Geraden .
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

füge in jedem der Fälle Bilder ein!

  1. ein Bild zwei Geraden im durch den Nullpunkt und die sich dort schneiden.
  2. ein Bild einer Ebene in der eine Gerade liegt und eine andere Gerade schneidet die Ebene.
  3. eine Bild zwei sich schneidende Ebenen

Stelle dir nun vor, dass die Untervektorräume und zufällig im positioniert werden. Welche der oben beschriebenen Lagen von und zueinander treten dann „in der Regel“ (also generisch) auf?

  • Zwei zufällig gewählte Geraden oder zwei zufällig gewählte Ebenen werden in der Regel nicht zusammenfallen.
  • Ebenso wird eine zufällig gewählte Gerade im allgemeinen nicht auf einer zufällig gewählten Ebene liegen.

Folglich ist der Schnitt im generischen Fall möglichst klein:

  • im Fall zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene ist nur ein Punkt (der Ursprung),
  • im Fall zweier Ebenen ist eine Gerade.

Umgekehrt ist die Summe im generischen Fall möglichst groß: