Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Innere direkte Summe[Bearbeiten]

Herleitung und Definition[Bearbeiten]

Wir haben schon die Summe von zwei Untervektorräumen kennengelernt. Seien und zwei Untervektorräume, dann bildet die Summe von und wieder einen Untervektorraum . Also finden wir für jeden Vektor zwei Vektoren und , sodass gilt. Nun stellt sich die Frage: Gibt es mehrere Möglichkeiten, als solche Kombination zu schreiben?

Die Antwort ist ja. Als Beispiel schauen wir uns den Vektorraum an. Dieser Raum kann als die Summe der -Ebene und der -Ebene betrachtet werden. Das heißt, sei , dann gibt es tatsächlich mehrere Möglichkeiten, um als Summe von Vektoren aus der -Ebene und der -Ebene darzustellen. Für den Vektor haben wir z.B. .

Solche Darstellungen sind also im Allgemeinen nicht eindeutig. Wir wollen nun ein Kriterium für die Eindeutigkeit finden.

Angenommen wir haben zwei verschiedene Darstellungen von , d.h. und mit und (wenn eins davon gleich ist, dann auch das andere), also haben wir . Insbesondere wissen wir und . Stellen wir nun die Gleichung um, erhalten wir . Weil die linke Seite in und die rechte Seite in liegt, ist das ein Element in , das gleichzeitig kein Nullvektor ist. Also ist nicht nur . (Der Nullvektor liegt im Schnitt, weil und beide Untervektorräume sind.) Das heißt, wenn die Darstellung nicht eindeutig ist, dann enthält der Schnitt nicht nur den Nullvektor.

Umgekehrt gilt: Wenn der Schnitt nicht ist, haben wir keine eindeutige Darstellung. Sei also mit . Dann gibt es zwei Darstellungen von , nämlich (einerseits mit und und andererseits mit und ). Wegen sind diese Darstellungen voneinander verschieden.

Also können wir eine Äquivalenz schließen: Der Schnitt ist genau dann , wenn die Darstellung aller Vektoren in eindeutig ist.

Somit interessiert uns der Fall . In diesem Fall geben wir der Summe einen speziellen Namen: Wir nennen die Summe von und , im Fall , die direkte Summe von und und schreiben .

Definition (Direkte Summe)

Seien und zwei Untervektorräume eines Vektorraums . Wir nennen die Summe direkt, wenn gilt. Der Untervektorraum heißt direkte Summe von und und wir schreiben .

Beispiele[Bearbeiten]

andere Beispiele als in der Herleitung

  • zwei Geraden im \R^2
  • Gerade und Ebene im \R^3
  • im Polynomraum: U=von x,x^3,x^5,... erzeugter UVR und W=von 1, x^2,x^4,... erzeugter UVR
  • Vektorraum K^5 mit K=F_3; U=\span{(1,0,2,0,0), (1,1,0,1,0)} , W=\span{(0,1,1,0,0), (0,1,0,0,2)}

evtl. Gegenbeispiele

  • zwei Ebenen im \R^3
  • irgendwas mit Polynomen
  • Polynome bis gewissen Grad? und dann überbestimmen des Raumes?

Eindeutige Zerlegung von Vektoren[Bearbeiten]

Bereits in der Herleitung haben wir uns überlegt, dass bei der direkten Summe die Zerlegung von Vektoren eindeutig ist. Das beweisen wir hier noch einmal konkret.

Satz (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Seien Unterräume von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Summe von und ist direkt
    (d.h. ).
  2. und haben trivialen Schnitt
    (d.h. ist der triviale Untervektorraum).
  3. Die Darstellung aller Elemente von ist eindeutig
    (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits und ).
  4. Die Darstellung der Null ist eindeutig
    (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits ).

Beweis (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Die Definition der inneren direkten Summe ist gerade . Wir zeigen nun die Implikationen . Dann folgt die Behauptung durch einen Ringschluss.

Beweisschritt:

Sei . Wir müssen zeigen, dass sich auf eindeutige Weise als Summe von Elementen von und schreiben lässt.

Seien dazu und mit der Eigenschaft, dass . Wir haben also zwei Darstellungen von und müssen zeigen, dass sie gleich sind. "Gleich" bedeutet dabei, dass und .

Es gilt . Dieses Element liegt in (wegen der Darstellung links von "") und in (wegen der Darstellung rechts von ""). Also liegt es im Schnitt . Nach Voraussetzung ist . Damit folgt . Also gilt und . Das ist genau, was wir zeigen wollten.

Beweisschritt:

Sei und mit . Dies ist eine Darstellung von .

Andererseits ist auch eine Darstellung von .

Da Darstellungen nach Voraussetzung eindeutig sind, folgt und .

Beweisschritt:

Sei . Dann ist natürlich auch und . Da ein Untervektorraum ist, muss für jedes Element auch sein inverses Element bezüglich der Addition sein. Deshalb ist .

Damit erhalten wir . Aus der Eindeutigkeit der Darstellung der Null folgt damit , also ist der Schnitt trivial.

Innere direkte Summe und disjunkte Vereinigung von Mengen[Bearbeiten]

  • Wir haben die Summe von zwei Untervektorräumen als strukturerhaltende Vereinigung kennengelernt
  • Stukturerhaltend heißt, dass das Ergebnis wieder ein Untervektorraum ist (also beim Vereinigen die Vektorraumstruktur erhalten bleibt); Vereinigung, weil es beide UVR enthält, also die UVRe Teilmengen der Summe sind und es der kleinste UVR ist, der die beiden UVRe enthält
  • die direkte Summe ist ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen
  • jede direkte Summe ist eine Summe und damit auch intuitiv eine strukturerhaltende Vereinigung
  • Wie lässt sich die Eigenschaft "direkt zu sein" auf die Vorstellung mit der Vereinigung übertragen?
  • direkte Summen sind dadurch charakterisiert, dass die Zerlegung der Vektoren in der Summe eindeutig ist
  • was bei Mengenvereinigungen; Elemente liegen in einem oder in beidem;
  • wir wissen i.A. nicht eindeutig wo sie liegen (können auch in beiden Mengen sein);
  • wann ist es eindeutig, wo ein Element liegt? wenn der Schnitt leer ist; dann ist die Vereinigung disjunkt


  • Die direkte Summe ist also intuitiv eine strukturerhaltende disjunkte Vereinigung von Untervektorräumen

((Kommentar zu: Abbildungen auf den einzelnen Teilen zu was Größerem zusammenfügen <-- sollen wir das wirklich hier noch reinbringen?))

Basis und Dimension[Bearbeiten]

Wir haben gesehen, dass die direkte Summe ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen ist. Also können wir alles, was wir schon über die Summe wissen, auf die direkte Summe übertragen.

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To-Do:

Abschnitt/Satz im Summenartikel verlinken, sobald dieser da ist

Wir haben schon gesehen, dass die Vereinigung von den Basen von und ein Erzeugendensystem von ist. Das bedeutet, wenn eine Basis von und eine Basis von ist, dann ist ein Erzeugendensystem von . Wenn und endlich dimensional sind, gilt die Dimensionsformel

Wissen wir noch mehr, wenn die Summe direkt ist, also wenn gilt? Dann ist . Da , gilt im endlich dimensionalen Fall

Also ist die Dimension der Summe die Summe der Dimensionen und . Wenn nun eine Basis von und eine Basis von ist, dann können wir folgern

Weil , ist die Vereinigung der Basen von und disjunkt, d.h. . Deshalb gilt . Weil ein Erzeugendensystem von ist und die ist, muss auch eine Basis der Summe sein.

Wir haben also gesehen, dass im endlich dimensionalen die Vereinigung der Basen von und eine Basis von ist. Gilt das auch allgemein? Ja, das werden wir in folgendem Satz beweisen

Satz (Basis der direkten Summe)

Seien und zwei Untervektorräume eines -Vektorraums . Angenommen, die Summe von und ist direkt . Sei eine Basis von und eine Basis von . Dann ist die Vereinigung von und disjunkt und ist eine Basis von .

Beweis (Basis der direkten Summe)

Wir haben schon gesehen, dass ein Erzeugendensystem von ist. Wir müssen also noch zeigen, dass die Vereinigung disjunkt und linear unabhängig ist.

Beweisschritt:

Angenommen, es gibt . Dann gilt , also . Das ist aber ein Widerspruch zu und , da eine Basis nicht den Nullvektor enthalten kann. Also kann es kein geben, d.h. .

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Sei für beliebige , , sowie . Wir zeigen, dass dann alle und gleich sein müssen, was genau der Definition der linearen Unabhängigkeit von entspricht.

Aus folgt . Dieser Term ist sowohl in (als Linearkombination von Elementen in ) als auch in (als Linearkombination von Elementen in ). Da eine direkte Summe ist, folgt . Aus der linearen Unabhängigkeit von folgt für alle und aus der linearen Unabhängigkeit von folgt für alle .

Wir können auch aus dem Satz folgern, dass

Aufgaben[Bearbeiten]

  • evtl. noch ein konkrete Aufgabe
  • zwei konkrete UVR gegeben und Vektor w; Gib die Zerlegung von w an

Aufgabe

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To-Do:

Lösung ergänzen

Sei und sei . Betrachte die beiden Unterräume und . Zeige, dass gilt und bestimme und , sodass gilt.

Lösung

...Lösung...

Für die folgenden beiden Aufgaben solltest du wissen, was eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe (Selbstinverse lineare Abbildungen und Unterräume)

Sei ein -Vektorraum und eine lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass die Teilmengen und Unterräume von sind.
  2. Es gelte zusätzlich , wobei die Identität auf bezeichnet. (Eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt selbstinvers.) Zeige, dass dann für die beiden Unterräume aus dem ersten Teil der Aufgabe gilt.

Lösung (Selbstinverse lineare Abbildungen und Unterräume)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir nutzen das Untervektorraumkriterium und zeigen, dass und nichtleere Teilmengen von sind, die abgeschlossen unter der Bildung von Linearkombinationen sind. Wir führen den Beweis nur für . Der Beweis für geht genauso, man muss nur alle Gleichungen der Form "" durch "" ersetzen.

Beweisschritt:

Das gilt per Definition von .

Beweisschritt: ist nichtleer.

Wegen gilt . Also ist nichtleer.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Bildung von Linearkombinationen.

Seien und beliebig. Dann gilt

also liegt die Linearkombination ebenfalls in .

Lösung Teilaufgabe 2:

Um zu zeigen, müssen wir zwei Dinge beweisen: Erstens, dass die Summe von und direkt ist, d.h. . Zweitens müssen wir zeigen, dass die Summe von und ganz ergibt, d.h. dass sich jeder Vektor als Summe eines Vektors und eines Vektors schreiben lässt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume den Nullvektor enthalten, ist klar. Für den Beweis der umgekehrten Inklusion sei beliebig. Dann gilt

also , also . Weil beliebig war, ist damit gezeigt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume Teilmengen von sind, ist klar. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Dann gilt

Weil ist, folgt aus der Linearität von

Also ist . Genauso zeigt man : Es ist

Also ist eine Summe eines Vektors aus und eines Vektors aus . Da beliebig war, ist damit gezeigt.

Für diese Aufgabe brauchst du zusätzlich die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung.

Aufgabe (Idempotente Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung mit . (Eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt idempotent oder Projektion.) Zeige: .

Lösung (Idempotente Abbildungen)

Wir zeigen, dass und gilt. Nach der Definition der direkten Summe ist die Summe somit direkt.

Beweisschritt:

Da sowohl der Kern als auch das Bild von Untervektorräume von sind, gilt . Wir zeigen nun die umgekehrte Inklusion .

Sei beliebig. Wegen der Voraussetzung gilt , oder in anderen Worten . Wegen der Linearität von folgt . Also liegt das Element im Kern von . Außerdem liegt das Element per Definition im Bild von . Somit ist

die Summe eines Elementes aus und eines Elementes aus . Also liegt in . Weil beliebig war, haben wir gezeigt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume den Nullvektor enthalten, ist klar. Für den Beweis der umgekehrten Inklusion sei beliebig. Dann ist ein Element des Kerns von und es gilt . Weil außerdem im Bild von liegt, existiert ein , sodass ist. Weil gilt, folgt

Weil beliebig war, haben wir damit gezeigt.

Im können wir die Aussage aus der vorherigen Aufgabe gut veranschaulichen:

Beispiel (Projektion im )

Sei mit . Dann ist linear. Außerdem gilt : Für jeden Vektor gilt

Die Abbildung ist also eine Projektion. Anschaulich projiziert Vektoren im entlang der -Achse auf die erste Winkelhalbierende . Insbesondere gilt . Außerdem bildet die -Achse auf den Nullvektor ab, d.h. . Wir sehen, dass tatsächlich gilt wie in der Aufgabe gezeigt.

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To-Do:

Bild einfügen, wo gezeigt ist, was macht und für einen Beispielvektor die Aufteilung in f(v) und v-f(v) eintragen

Komplement[Bearbeiten]

Zerlegung eines Vektorraums in Untervektorräume[Bearbeiten]

Die innere direkte Summe ist eine Möglichkeit, Vektorräume in Unterräume zu „zerlegen“. So ist zum Beispiel . Das bedeutet lässt sich in den Untervektorraum der ,-Ebene und den Untervektorraum der -Achse zerlegen. So eine Zerlegung ist nicht eindeutig: Wir können auch in die -Achse und die ,-Ebene zerlegen, oder in die Untervektorräume und .

In all diesen Beispielen sehen wir: Die Summe ist der gesamte und es gibt keine „Überlappung“, d.h. der Schnitt der Untervektorräume ist . Dass die einzelnen Summanden keine „Überlappung“ haben, bedeutet, dass die Summe der Untervektorräume eine direkte Summe ist. Mit „Zerlegung“ eines Vektorraums meinen wir dann die Darstellung des gesamten Vektorraums als direkte Summe von Untervektorräumen.

Der lässt sich auf verschiedene Weisen in zwei Untervektorräume zerlegen. Entweder trivial, d.h. , oder in eine Ebene und eine Gerade, die nicht in der Ebene liegt. „Ebene+Ebene“, „Gerade+Gerade“ oder „Ebene+darin liegende Gerade“ wären hingegen keine Zerlegungen von .

Man kann auch Zerlegungen von Vektorräumen in mehr als zwei Untervektorräume betrachten. In dem Fall fordert man, dass der Schnitt von je zwei verschiedenen Summanden gleich ist, und dass die Summe den gesamten Raum ergibt. Das heißt mit für alle .

Herleitung des Komplements / Ergänzen eines Untervektorraums zu einer Zerlegung[Bearbeiten]

Nehmen wir jetzt an wir haben einen Vektorraum und einen Untervektorraum von gegeben, können wir dann einen Untervektorraum finden, sodass ? Das heißt, ist Teil einer Zerlegung von ?

Um es etwas konkreter zu machen, betrachten wir wieder das Beispiel und sei . Dann ist eine Ebene in . Können wir einen Untervektoraum finden, sodass ?

In diesem Fall können wir das: Wir definieren uns . Für gilt wegen und wegen folgt . Da und Untervektorräume sind, gilt und . Also ist und damit ist die Summe direkt. Des Weiteren lässt sich jeder Vektor darstellen als . Damit ist .

Diese Ergänzung ist nicht eindeutig. Definieren wir und sei . Dann ist wegen einerseits und andererseits . Also gilt auch hier, dass . Außerdem gilt für jedes , dass . Damit ist dann .

Um wieder zum allgemeinen Setting mit einem abstrakten Vektorraum und einem Untervektorraum zurückzukehren. Wir nennen einen solchen Untervektorraum mit , ein Komplement von in . Wie wir in dem obigen Beispiel gesehen haben, hat ein Untervektorraum nicht zwangsläufig ein eindeutiges Komplement. Wir werden allerdings weiter unten noch sehen, dass jeder Unterraum ein Komplement besitzt.

Definition[Bearbeiten]

  • Allgemeine Definition: Komplement eines URs U in V

Definition (Komplement eines Untervektorraums)

Sei ein Vektorraum und ein Unterraum. Ein Unterraum heißt Komplement von in , falls gilt.

Existenz von Komplementen [Bearbeiten]

  • In \R^3 existieren die (haben wir intuitiv erklärt), wie ist das in allgemeinen (endlichdimensionalen) VR?
  • Was haben wir oben gemacht: Haben den UR U (Ebene) genommen und dann eine “fehlende” “unabhängige” Richtung ergänzt. Deren Spann war dann das ein Komplement
  • unabhängig = linear unabhängig.
  • Wollen also zu den Vektoren in U linear unabhängige Vektoren ergänzen, bis (im Spann) ganz V rauskommt. Die ergänzten Vektoren spannen dann das ein Komplement W auf
  • M.a.W.: Basisergänzungssatz
  • Satz: Existenz von Komplementen
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To-Do:

Beweis überarbeiten + "Wie kommt man auf den Beweis" ergänzen

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Unterraum sodass , d.h. ist ein Komplement von in .

Beweis (Komplemente existieren immer)

In diesem Beweis werden wir Basen verwenden. Diese werden erst später definiert, sind hier aber unumgänglich. Es treten keine Zirkelschlüsse auf.

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To-Do:

Verlinken

Sei ein Untervektorraum. Wir wählen eine Basis von .

Nach dem Basisergänzungssatz
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To-Do:

link

können wir zu einer Basis von ergänzen.

Sei dann . Dies ist per Definition ein Untervektorraum von .

Es gilt , da bereits die Basis von enthält.

Es bleibt zu zeigen, dass . Sei . Dann hat Darstellungen als Linearkombination von Vektoren in einerseits, und von Vektoren in andererseits. Da aber eine Basis von bildet und somit linear unabängig ist, kann nur gelten.

Warnung

In unserem Setting existieren immer Komplemente. Jedoch kann es dir im weiteren Studium passieren, dass der Begriff "Komplement" etwas anders definiert wird, z.B in der Funktionalanalysis. Dann gibt es Beispiele von Untervektorräumen, die kein Komplement haben.

  • Bemerkung: Das geht auch im Unendlichdimensionalen (evtl.: Hinweis auf den unendlichdim. Basisergänzungssatz)

Komplemente sind nicht eindeutig[Bearbeiten]

  • ...
  • ...

Beispiel (Komplemente sind nicht eindeutig)

Wir betrachten den -Vektorraum . Sei . Dies ist ein Unterraum von .

Wir werden jetzt zwei verschiedene Komplemente von in finden.

Sei dazu und . Dies sind Unterräume von .

Außerdem sind beides Komplemente von .

Aufgabe (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweise, dass und wie im Beispiel oben Komplemente von in sind, aber .

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To-Do:

Vielleicht das Beispiel weglassen und stattdessen direkt in die AUfgabenstellung schreiben - sonst fragt man sich beim Lesen des Beispiels, ob diese Aussagen ofensichtlich sind.

Wie kommt man auf den Beweis? (Beweis des Gegenbeispiels)

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To-Do:

lösungsweg

Lösung (Beweis des Gegenbeispiels)

Beweisschritt:

Das gilt, denn , aber .

Beweisschritt:

Sei dazu . Dann können wir schreiben . Also gilt . Sei nun . Nach Definition von muss gelten. Nach Definition von muss gelten. Also ist . Insgesamt folgt: ist ein Komplement von in .

Beweisschritt:

Sei dazu . Dann können wir schreiben . Also gilt . Sei nun . Nach Definition von muss gelten. Nach Definition von muss gelten. Also ist . Insgesamt folgt: ist ein Komplement von in .

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To-Do:

Lösungsweg der Aufgabe

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Ein Unterrraum ist ein Komplement zu einem Komplement)

Sei ein -Vektorraum und ein Unterraum. Sei ein Komplement zu in . Das bedeutet .

Dann ist ein Komplement zu in , denn . Dies gilt, da die (direkte) Summe kommutativ ist.

Beispiel (Triviale Komplemente)

Sei ein Vektorraum. Es gilt . Also ist ein Komplement zu in .

Hier ist das Komplement sogar eindeutig: Wenn ein Komplement zu in ist, dann gilt . Nach der alternativen Charaktersisierung von direkten Summen gilt dann: . Da aber gilt, ist . Also ist .

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To-Do:

Hieraus könnte man auch eine schöne Aufgabe machen.

Aufgabe ( erzeugt )

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von , so dass . Dann erzeugt ganz den ganzen Vektorraum , anders ausgedrückt

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To-Do:

Ist diese Aufgabe hier relevant? --> ggf. noch mehr Kontext bereitstellen (Analogie "Komplement -- \setminus")

Lösung ( erzeugt )

Wir wollen zeigen, dass wir jeden Vektor als Linearkombination von Vektoren in ausdrücken können. Sei dafür ein beliebiger Vektor in . Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

In diesem Fall folgt sofort .

Fall 2:

Weil gilt, gibt es ein . Es gilt . Angenommen der Vektor liegt in . Dann gilt , da und ein Untervektorraum ist. Das ist ein Widerspruch zu . Also liegt in . Damit lässt sich als die Linearkombination der Vektoren und aus schreiben.

In beiden Fällen gilt . Also ist .

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To-Do:

Weitere Aufgaben