Vektorraum: Körper – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Körper als Vektorraum über sich selbst[Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation finden

Der Körper kann selbst auch als Vektorraum über betrachtet werden. Naheliegend ist es, als Vektoraddition die Körper-Addition "" und als Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation "" zu definieren. Wenn wir zwei Körperelemente als Vektoren addieren, schreiben wir für die Vektoradition . Fassen wir nun als Vektor und als Skalar auf, dann schreiben wir die Skalarmultiplikation .

Mit dieser Schreibweise sehen die Axiome der Vektoraddition folgendermaßen aus:

  • Für alle gilt:
, da die Addition in K kommutativ ist.
  • Für alle gilt:
, da die Addition in K assoziativ ist.
  • Wir setzen auch als Nullvektor. Damit gilt für alle :
    , da im Körper das neutrale Element der Addition ist.
  • Zu jedem gibt es ein Element , so dass gilt:
, da im Körper das inverse Element der Addition ist.

Axiome der skalaren Multiplikation :

  • Für alle und alle gilt:
, da in das Distributivgesetz gilt.
  • Für alle und alle gilt:
, da in das Distributivgesetz gilt.
  • Für alle und alle gilt:
, da in das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt.
  • Für alle und für das Element gilt:
, da im Körper das neutrale Element der Multiplikation ist.