Der Körper als Vektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Sei ein Körper. Wir betrachten nun als Vektorraum über sich selbst.

Motivation[Bearbeiten]

Wir versuchen nun, Beispiele für Vektorräume zu finden. Dazu brauchen wir eine abelsche Gruppe, deren Addition Kompatibel mit der Multiplikation in ist. Dafür bietet sich der Körper selbst an.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Besser machen Ideen:

  • Wir schauen in der Mathematik oft, was die Definitionen so an "Extrembeispielen" hergeben. Im Fall von Vektorräumen wären das z.B. der Nullraum und eben K selbst.
  • Geometrisch am 1-dimensionalen reellen Raum (aka Zahlengerade)
  • Siehe oben: Vektorräume benötigen einen Körper und eine abelsche Gruppe. Der Körper selbst ist eine abelsche Gruppe. Win-Win!

Definition der Vektorraumstruktur[Bearbeiten]

Sei ein Körper. Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.

Definition (Vektorraumstruktur auf )

Wir definieren eine Addition auf durch

Ähnlich definieren wir eine Skalarmultiplikation durch

Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbst[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element bezüglich gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, das Nullelement des Körpers als neutrales Element zu verwenden.

Sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist. Im Folgenden werden wir deshalb einfach nur für das neutrale Element schreiben.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Es liegt nahe, für das Inverse in bezüglich zu wählen, also

Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei .

Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.