Vektorraum: Summe und direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Artikelplanung[Bearbeiten]

Einführung/Motivation[Bearbeiten]

Grundfrage: Wie kann man aus Untervektorräumen neue Untervektorräume konstruieren, kann man aus zwei gegebenen Untervektorräumen verschiedene neue Vektorräume konstruieren?

Vorüberlegung: Vektorräume sind eine Menge von Vektoren mit bestimmten Verknüpfungen. Wenn wir UVR haben, haben wir Menge mit gleichen Verknüpfungen (nur eingeschränkt). Wir können aus UVRäumen einen neuen VR konstruieren. Wir kennen bereits Schnitt und Vereinigung von UVR. Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum. Wenn wir UVR vereinigen, erhalten wir aber nicht zwangsläufig wieder einen VR (hier evtl. Beispiel). Nun stellt sich die Frage: Um welche Elemente müssen wir diese Vereinigung im Allgemeinen mindestens ergänzen, um einen UVR zu erhalten? Aus dieser Überlegung ergibt sich das Konzept der Summe. Ist das einzige Element, das im Schnitt der vereinigten Vektorräume liegt, die Null, nennen wir ihre Summe direkt. Grundvorstellungen:

  • Die Summation von zwei Unterräumen erhöht den Freiheitsgrad,setzt mehr Informationen frei,

Beispiele: Farbmischung, Die von den einzelnen Saiten einer Gitarre erzeugbaren Tonarten als Unterräume der Gesamtheit (aller von der Gittare erzeugbaren) Tonarten. In der Summe können auch Überlagerungen der Ausgangszustände vorkommen. Idee: Stukturerhaltende Vereinigung,Überlagerung der Grundzustände.

  • Zur direkten Summe:Die Summe zweier Vektorräume ist direkt, falls jeder Vektor der Summe in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren aus den Ausgangsräumen dargestellt werden kann. Man kann also feststellen, welche Elemente einen überlagerten Zustand "erzeugen". Beispiel: Mische Grundfarben,jede errzeugte Farbe kann eindeutig in die Grundfarben zerlegt werden. Direkte Summe von R^2 mit R, etc.
  • Zum Komplement: Kleinster Unterraum,der gegebenen Untervektorraum zu Gesamtraum vervollständigt.

Wenn ein Komplement gegeben ist, so lässt sich jeder Vektor des Gesamtraums in eindeutige Weise auf beide Räume zerlegen, aber das Komplement ist nicht eindeutig bestimmt. }}

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition (Summe von Vektorräumen)

Seien und zwei Untervektorräume eines Vektoraums . Die Summe ist der kleinste Vektorraum,der beide Untevektorräume enthält.

Satz (Zur Summe von Vektorräumen)

Die Summe zweier Untervektorräume des selben Vektorraums kann man immer bilden und es gilt .

Beweis (Zur Summe von Vektorräumen)

Sei

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To-Do:

bessere Notation für\overline{U_1+U_2} finden.

. Da ist und ebenso gilt . ist ein K-Untervektorraum, denn:
*Für  gilt: 
*Für  und  gilt:  

Verbleibt nur noch,zu zeigen, dass der kleinste Untervektorraum ist, der und enthält. Sei ein beliebiger Untervektorraum von , der und enthält.Dann gilt für alle und , dass , . ist also die Summe aus und .

Beispiele[Bearbeiten]

Die Summe eines Untervektorraums mit sich selbst ergibt wieder diesen Untervektorraum.

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To-Do:

Summe zweier verschiedener Geraden ergibt Ebene, Summe dreier paarweiser verschiedener Geraden im R^3 ergibt eine Ebene oder den R^3 und Summe einer Ebene mit einer nicht in der Ebene liegenden Gerade im R^3 ergibt ebenfalls R^3. Schwierigkeit:Erzeugendensystem kann dabei nicht verwendet werden.

Auch wenn man die Summe aus zwei verschiedenen Untervektorräumen bildet,erhält man nicht immer einen neuen Vektorraum. Zum Beispiel sind und Untervektorräume des , aber es gilt .

Hinweis

Man kann die Summe zweier Untevektorräume nur dann bilden, wenn sie Unterräume des selben Vektorraums (über dem gleichen Körper K) sind.

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To-Do:

Obiges beweisen -Entscheiden,ob folgendesnoch ergänzt werden soll, und gegebenenfalls ergänzen: Die Summe von (x-1)(R[x]) , (x+1)(R[x]) als Untervektorräume des \R-Vetorraums R[x] (Polynomring über \R) ergibt den ganzen Vektorraum R[x] Verallgemeinerung auf unendlich viele Summanden

  • Verallgemeinerung auf unendlich viele Summanden motivieren und herleiten. (z.B. mit Polynomen)

Innere direkte Summe [Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation finden

Wenn zwei Vektorräume den Schnitt haben, so nennt man ihre Summe direkt. (Eventuell Analogie zur Vereinigung disjunkter Mengen) Da die innere direkte Summe Spezialfall der Summe, ergibt das Ergebnis stets einen Vektorraum Jeder Vektor aus der (direkten) Summe der beden Vektorräume lässt sich eindeutig als Summe von zwei Vektoren aus den zwei versciedenen Untervektorräumen darstellen. Beweis muss ohne lineare Abhängigkeit auskommen, in etwa so: Für einen Vektor des Vektorraums gelte mit und in U_2. Dann gilt (Dabei ist das zu additiv-Inverse) und liegt in U_2t. Zudem gilt , also liegen und im Schnitt von mit U_2, also gilt , also und .

Beispiele:

Direkte Summe von zwei Geraden im R^3,

direkte Summe von Gerade und Ebene im R^3, direkte Summe von \R mit x\cdot \R[x] im \R-Vektorraum \R[x].

Summe aus u und 0 ist immer direkt.

Aus alten Inhalten übernehmen: Satz über die direkte Summe von Vektorräumen (dabei Aussage 3 umformulieren zu die Summe aus U1 und U2 ist direkt, das heißt der Schnitt ist {0}).

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To-Do:

Motivation für direkte Summe von unendlich vielen Summanden finden. Motivation sollte für Definition und die äquivalente Charakterisierung funktionieren.

Verallgemeinerung der direkten Summe auf (unendlich) viele Summanden, kann (mit entsprechender Überarbeitun, siehe To-Do) aus bisherigen Inhalten übernommen werden Äquivalente Charaterisierungen der verallgemeinerten direkten Summe (siehe To-Do Definition der verallgemeinerten direten Summe!) Weiteres Beispiel: Summe über n \in \N_0 Span(x^n ) (als Untervektorraum des Polynomrings über \R und ergibt \R[x]).

Aufgaben: Man prüfe, ob die folgenden Summen direkt sind...

Hinweis: Die Definition geht nur für Untervektorräume eines Vektorraums. Diese Summe heißt innere direkte Summe. Erklären und verlinken, dass es auch eine äußere direkte Summe gibt.

Komplement[Bearbeiten]

Motivation Wir haben UVR U_1 in einem VR gegeben. Wir wollen einen zweiten Untervektorraum U_2 finden, sodass die direkte Summe der beiden Untervektorräume den gesamten Vektorraum ergibt. (Motivation: Wenn die Summe direkt ist, lässt sich jede Vektor eindeutig in zwei Summanden aus den beiden Untervektorräumen zerlegen.)

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To-Do:

Motivation noch konkreter machen. Warum möchten wir überhaupt den Vektorraum zerlegen? Vielleicht mit einem Beispiel wie hier, dann wäre U_1 die schiefe Ebene und wir wollen den Vektor F_G zerlegen in einen Anteil aus U_1 und einen Anteil senkrecht dazu

Dieses Beispiel ist anschaulicher als Beispiel: Normalenvektor plus Ebene bildet \R^3.

Definition Komplementärraum Einen solchen Vektorraum gibt es immer ! Beweis...

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To-Do:

Wie soll dieser Beweis aussehen? (Geht es ohne Basisergänzungssatz?)

Bemerkungen/Eigenschaften:[Bearbeiten]

Komplementärraum ist

1. abhängig vom VR (Beispiel: Komplement von (1,0) in C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum. Komplement von <1> in R als R-Vektorraum und in R als Q-Vektorraum. (Span muss explizit beschrieben werden, da hier noch nicht eingeführt!)

2. im VR nicht eindeutig bestimmt Beispiel:(1,1) und (0,1) als Komplement zu (1,0) in \R^2.

Satz: Jeder Vektor aus dem Vektorraum lässt sich eindeutig als Summe von einem Vektor aus dem Unterraum und einem Vektor aus dem Komplement schreiben: Beweis mittels Verweis auf den entsprechenden Satz zur direkten Summe

Aufgaben: Man finde zwei verschiedene Komplemente...

...zu <(1,1,1),(1,2,1)> in \R^3 (als R-Vektorraum)

... zu <(1,1,1)> in \R^3 (als \R-Vetorraum),

... zu \R in R[x] als \R-VR

... zu in C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum

und bestimme den Schnitt der beiden (in Teilaufgabe i,ii,iii))

Alte Inhalte[Bearbeiten]

Intuitive Veranschaulichung der inneren und äußeren direkten Summe[Bearbeiten]

In der linearen Algebra unterscheidet man das Konzept der inneren direkten Summe von dem dazu verwandten Konzept der äußeren direkten Summe. Um zunächst einen Zugang zur inneren direkten Summe zu erhalten, betrachten wir als erstes anschaulich die Lage zweier Untervektorräume und des dreidimensionalen Raums zueinander, also die Fälle

sind jeweils Geraden; und

ist eine Gerade und ist eine Ebene

sind jeweils Ebenen; und

Wir wollen nun diese drei Fälle etwas näher untersuchen.

  • Sind und zwei Geraden im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich im Ursprung, d.h. im Punkt , und damit ist .
  • Ist dagegen eine Gerade und eine Ebene im (die beide den Ursprung enthalten), dann liegt entweder in , also oder und schneiden sich im Ursprung, und damit ist .
  • Sind zum Schluss und zwei Ebenen im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich in einer Geraden .
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To-Do:

füge in jedem der Fälle Bilder ein!

  1. ein Bild zwei Geraden im durch den Nullpunkt und die sich dort schneiden.
  2. ein Bild einer Ebene in der eine Gerade liegt und eine andere Gerade schneidet die Ebene.
  3. eine Bild zwei sich schneidende Ebenen

Stelle dir nun vor, dass die Untervektorräume und zufällig im positioniert werden. Welche der oben beschriebenen Lagen von und zueinander treten dann „in der Regel“ (also generisch) auf?

  • Zwei zufällig gewählte Geraden oder zwei zufällig gewählte Ebenen werden in der Regel nicht zusammenfallen.
  • Ebenso wird eine zufällig gewählte Gerade im allgemeinen nicht auf einer zufällig gewählten Ebene liegen.

Folglich ist der Schnitt im generischen Fall möglichst klein:

  • im Fall zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene ist nur ein Punkt (der Ursprung),
  • im Fall zweier Ebenen ist eine Gerade.

Umgekehrt ist die Summe im generischen Fall möglichst groß:

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir machen zunächst einen kleinen Einschub zur Summe von Vektorräumen.

Definition (Summe von Vektorräumen)

Sei ein K-Vektorraum und seien Unterräume von , so ist

nennt man die Summe von und

Du kannst leicht einsehen, dass ist, denn du musst einfach zeigen, dass und umgekehrt

Lösung (Summe von Vektorräumen)

Ist , dann existieren und mit und damit ist

Ist umgekehrt , dann ist eine Linearkombination von Vektoren aus . Diese Linearkombination kann in der Form

geschrieben werden, wobei und

jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus bzw. aus sind.

Da Teilräume von sind, gilt und .

Also gilt und damit ist . Damit haben wir insgesamt .

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Im Fall von zwei Geraden ist eine Ebene,
  • in den anderen Fällen von oben gilt .

Bemerkung[Bearbeiten]

Für den liegt ein besonderer Fall vor, wenn und gleichzeitig erfüllt sind. Von den obigen Beispielen kann dies nur in dem Fall gelten, dass eine Gerade und eine Ebene im (jeweils durch den Ursprung) ist. Dies führt uns zu folgender

Definition (Innere direkte Summe zweier Untervektorräume)

Sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Dann heißt die innere direkte Summe von und , falls gilt:

und

Die innere direkte Summe wird geschrieben als

Aufgabe (Innere direkte Summe und Dimensionsformel)

Wie in der obigen Definition sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Folgere aus der Dimensionsformel: Ist die innere direkte Summe von und , , dann gilt:

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To-Do:

Lösung zeigen

Aus den vorhergegangenen Überlegungen lässt sich nun auch der Begriff der äußeren direkten Summe motivieren. Stell dir vor, es sind ganz abstrakt zwei -Vektorräume und gegeben, von denen nicht bekannt ist, dass sie Untervektorräume desselben größeren Vektorraums sind. Man hätte in diesem Fall gerne die Möglichkeit, einen neuen -Vektorraum zu konstruieren, der und (bis auf Isomorphie) als Untervektorräume enthält, sodass gilt, wobei hier „“ wieder die bereits definierte innere direkte Summe bezeichnet. Den gewünschten Vektorraum erhält man mit dem folgenden

Satz (Äußere direkte Summe zweier Vektorräume)

Seien und zwei -Vektorräume. Dann ist die äußere direkte Summe (bei endlich dimensionalen Vektorräumen identisch mit dem äußeren direkten Produkt von und , gegeben durch

ein -Vektorraum, bei dem Vektoraddition und Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt werden.

Hinweis

Beachte den folgenden prinzipiellen Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die innere direkte Summe ist eine Eigenschaft, die ein bereits vorhandener Vektorraum in Bezug auf gegebene Untervektorräume haben kann (aber nicht muss). Im Unterschied dazu ist das äußere direkte Produkt eine Konstruktion, also eine Möglichkeit, aus zwei abstrakt vorgegebenen Vektorräumen einen dritten mit gewünschten Eigenschaften zu erzeugen.

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir bestimmen nun noch in allgemeinerer Form die direkte innere und die direkte äußere Summe von Vektorräumen.

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Seien Unterräume des K-Vektorraums mit

Definition (Direkte Summe von Vektorräumen)

Die innere Summe der Vektorräume heißt direkt, wenn ist. Wir notieren die direkte Summe mit

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume sind die folgenden Aussagen äquivalent[1].

Satz (Satz über direkte Summen von Vektorräumen)

Seien Teilräume eines K-Vektorraums , und sei , dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist für dann ist

2. Für jedes ist die Darstellung eindeutig

3.

Beweis (Bedingungen direkte Summe von Vektorräumen)

Beweisschritt:

Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von , also mit

Wir müssen also zeigen:

Wegen ,

da aber muss nach Bedingung 1 gelten:

, damit ist aber

und

Beweisschritt:

Sei , wir müssen zeigen, dass dann gilt. Es ist

mit und mit

Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von eindeutig und damit folgt

Beweisschritt:

Sei mit ; wir müssen nun zeigen .

Da und damit ist auch

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe die direkte (innere) Summe und schreibt dafür
  • Seien zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: , wobei die Addition und die Skalar Multiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Definition der allgemeinen inneren direkten Summe[Bearbeiten]

In der obigen Motivation haben wir uns bereits eine Definition für die innere direkte Summe zweier Untervektorräume abgeleitet. Es folgt nun die Definition der inneren direkten Summe von Untervektorräumen in der allgemeinsten Form, in der nicht notwendig endliche Indexmengen zugelassen sind:

Definition (Innere direkte Summe)

Seien ein -Vektorraum und eine durch eine beliebige Indexmenge indizierte Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die innere direkte Summe der ist und schreibt

falls sich jeder Vektor aus in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der liegen, darstellen lässt, d.h.

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To-Do:

Ersetze diese Definition durch: Schnitt jedes Paars an verschiedenen UVR ist Null-VR; behandle den jetzigen Inhalt ausgehend von der neuen Definition als äquivalente Charakterisierung

  1. Für jeden Vektor existiert eine endliche Teilmenge und für jedes ein Vektor , sodass

  2. Für jede endliche Teilmenge und je zwei Darstellungen

    mit für alle gilt bereits für alle .

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass die Summe der ist. Dafür schreibt man auch Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge übergehen.