Vektorraum: Summe und direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Artikelplanung[Bearbeiten]

Einführung/Motivation[Bearbeiten]

Grundfrage: Wie kann man aus Untervektorräumen neue Untervektorräume konstruieren, kann man aus zwei gegebenen Untervektorräumen verschiedene neue Vektorräume konstruieren?

Vorüberlegung: Vektorräume sind eine Menge von Vektoren mit bestimmten Verknüpfungen. Wenn wir UVR haben, haben wir Menge mit gleichen Verknüpfungen (nur eingeschränkt). Wir können aus UVR einen neuen VR konstruieren. Wir kennen bereits Schnitt und Vereinigung von UVR. Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum. Wenn wir UVR vereinigen, erhalten wir aber nicht zwangsläufig wieder einen VR (hier evtl. Beispiel). Nun stellt sich die Frage: Um welche Elemente müssen wir diese Vereinigung im Allgemeinen mindestens ergänzen, um einen UVR zu erhalten? Aus dieser Überlegung ergibt sich das Konzept der Summe. Ist das einzige Element, das im Schnitt der vereinigten Vektorräume liegt, die Null, nennen wir ihre Summe direkt.

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition Summe von Vektorräumen

Zeigen: Die Summe zweier Vektorräume ist immer ebenfalls ein Vektorraum.

Beispiele: Summe eines UVR mit sich selbst ergibt den Untervektorraum, Summe zweier verschiedener Geraden ergibt Ebene, Summe dreier paarweiser verschiedener Geraden im R^3 ergibt den R^3 und Summe einer Ebene mit einer nicht in der Ebene liegenden Gerade im R^3 ergibt ebenfalls R°3.

Bemerkung: Man erhält nicht zwangsläufig bei Summe von UVR einen größeren Raum, z.B. span((1,2,1)) + span((e1, e2, e3)). Die Summe von zwei Vektorräumen ist der "kleinste" (intuitive Vorstellung, Dimensionsbegriff wird später eingeführt) Vektorraum, der die beiden Vektorräume enthält. Man kann nur Untervektorräume des gleichen Vektorraums aufsummieren! Summe von (x-1)(R[x]) , (x+1)(R[x]) als Untervektorräume des \R-Vetorraums R[x] (Polynomring über \R) ergibt den ganzen Vektorraum R[x] Verallgemeinerung auf unendlich viele Summanden

Innere direkte Summe[Bearbeiten]

Wenn zwei Vektorräume den Schnitt haben, so nennt man ihre Summe direkt. (Eventuell Analogie zur Vereinigung disjunkter Mengen) Da die innere direkte Summe Spezialfall der Summe, ergibt das Ergebnis stets einen Vektorraum Jeder Vektor aus der (direkten) Summe der beden Vektorräume lässt sich eindeutig als Summe von zwei Vektoren aus den zwei versciedenen Untervektorräumen darstellen. Beweis muss ohne lineare Abhängigkeit auskommen, in etwa so: Für einen Vektor des Vektorraums gelte mit und in U_2. Dann gilt (Dabei ist das zu additiv-Inverse) und liegt in U_2t. Zudem gilt , also liegen und im Schnitt von mit U_2, also gilt , also und .

Beispiele:

Direkte Summe von zwei Geraden im R^3,

direkte Summe von Gerade und Ebene im R^3, direkte Summe von \R mit x\cdot \R[x] im \R-Vektorraum \R[x].

Summe aus u und 0 ist immer direkt.

Aus alten Inhalten übernehmen: Satz über die direkte Summe von Vektorräumen (dabei Aussage 3 umformulieren zu die Summe aus U1 und U2 ist direkt, das heißt der Schnitt ist {0}).


Verallgemeinerung der direkten Summe auf (unendlich) viele Summanden, kann (mit entsprechender Überarbeitun, siehe To-Do) aus bisherigen Inhalten übernommen werden Äquivalente Charaterisierungen der verallgemeinerten direkten Summe (siehe To-Do Definition der verallgemeinerten direten Summe!) Weiteres Beispiel: Summe über n \in \N_0 Span(x^n ) (als Untervektorraum des Polynomrings über \R und ergibt \R[x]).

Aufgaben: Man prüfe, ob die folgenden Summen direkt sind...

Bemerkung: Die direkte Summe ist nur für Untervektorräume definiert, aber man kann zwei beliebige K-Untervektorräume U,V als Untervektorräume eines Vektorraums UxV auffassen (genau erklären!) daher erfolgt hieraus keine Einschränkung!

Komplement[Bearbeiten]

Motivation Wir haben UVR U_1 in einem VR gegeben. Wir wollen einen zweiten Untervektorraum U_2 finden, sodass die direkte Summe der beiden Untervektorräume den gesamten Vektorraum ergibt. (Motivation: Wenn die Summe direkt ist, lässt sich jede Vektor eindeutig in zwei Summanden aus den beiden Untervektorräumen zerlegen.)

Beispiel: Normalenvektor plus Ebene bildet \R^3.

Einen solchen Vektorraum gibt es immer ! Beweis... Definition Komplementärraum


Bemerkung: Komplementärraum ist

1. abhängig vom VR und (Beispiel: Komplement von (1,0) in C als R-Vektorraum und Komplement von (1,0) in R^2 als R-Vektorraum. Komplement von <1> in R als R-Vektorraum und in <R> als Q-Vektorraum. (Span muss explizit beschrieben werden, da hier noch nicht eingeführt!)

2. im VR nicht eindeutig bestimmt Beispiel:(1,1) und (0,1) als Komplement zu (1,0) in \R^2.

Satz: Jeder Vektor aus dem Vektorraum lässt sich eindeutig als Summe von einem Vektor aus dem Unterraum und einem Vektor aus dem Komplement schreiben: Beweis mittels Verweis auf den entsprechenden Satz zur direkten Summe

Aufgaben: Man finde zwei verschiedene Komplemente...

...zu <(1,1,1),(1,2,1)> in \R^3 (als R-Vektorraum)

... zu <(1,1,1)> in \R^3 (als \R-Vetorraum),

... zu \R in R[x] als \R-VR

... zu <i,0> in C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum

und bestimme den Schnitt der beiden (in Teilaufgabe i,ii,iii))

Optionaler Inhalt: *Orthogonales Komplement: Hinführung über Geraden im Raum. Problem: Orthogonalität nicht definiert, u.U. Definition über Skalarprodukt im \R^n als Spezialfall

Alte Inhalte[Bearbeiten]

Intuitive Veranschaulichung der inneren und äußeren direkten Summe[Bearbeiten]

In der linearen Algebra unterscheidet man das Konzept der inneren direkten Summe von dem dazu verwandten Konzept der äußeren direkten Summe. Um zunächst einen Zugang zur inneren direkten Summe zu erhalten, betrachten wir als erstes anschaulich die Lage zweier Untervektorräume und des dreidimensionalen Raums zueinander, also die Fälle

sind jeweils Geraden; und

ist eine Gerade und ist eine Ebene

sind jeweils Ebenen; und

Wir wollen nun diese drei Fälle etwas näher untersuchen.

  • Sind und zwei Geraden im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich im Ursprung, d.h. im Punkt , und damit ist .
  • Ist dagegen eine Gerade und eine Ebene im (die beide den Ursprung enthalten), dann liegt entweder in , also oder und schneiden sich im Ursprung, und damit ist .
  • Sind zum Schluss und zwei Ebenen im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich in einer Geraden .
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To-Do:

füge in jedem der Fälle Bilder ein!

  1. ein Bild zwei Geraden im durch den Nullpunkt und die sich dort schneiden.
  2. ein Bild einer Ebene in der eine Gerade liegt und eine andere Gerade schneidet die Ebene.
  3. eine Bild zwei sich schneidende Ebenen

Stelle dir nun vor, dass die Untervektorräume und zufällig im positioniert werden. Welche der oben beschriebenen Lagen von und zueinander treten dann „in der Regel“ (also generisch) auf?

  • Zwei zufällig gewählte Geraden oder zwei zufällig gewählte Ebenen werden in der Regel nicht zusammenfallen.
  • Ebenso wird eine zufällig gewählte Gerade im allgemeinen nicht auf einer zufällig gewählten Ebene liegen.

Folglich ist der Schnitt im generischen Fall möglichst klein:

  • im Fall zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene ist nur ein Punkt (der Ursprung),
  • im Fall zweier Ebenen ist eine Gerade.

Umgekehrt ist die Summe im generischen Fall möglichst groß:

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir machen zunächst einen kleinen Einschub zur Summe von Vektorräumen.

Definition (Summe von Vektorräumen)

Sei ein K-Vektorraum und seien Unterräume von , so ist

nennt man die Summe von und

Du kannst leicht einsehen, dass ist, denn du musst einfach zeigen, dass und umgekehrt

Lösung (Summe von Vektorräumen)

Ist , dann existieren und mit und damit ist

Ist umgekehrt , dann ist eine Linearkombination von Vektoren aus . Diese Linearkombination kann in der Form

geschrieben werden, wobei und

jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus bzw. aus sind.

Da Teilräume von sind, gilt und .

Also gilt und damit ist . Damit haben wir insgesamt .

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Im Fall von zwei Geraden ist eine Ebene,
  • in den anderen Fällen von oben gilt .

Dimensionsformel[Bearbeiten]

In voller Allgemeinheit wird der Zusammenhang zwischen den Dimensionen von , , und zweier Untervektorräume und eines festen endlichdimensionalen -Vektorraums durch die Dimensionsformel geregelt. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums berechnen lässt.[1]

Satz (Dimensionsformel)

Seien endlich dimensionale -Vektorräume. Dann gilt:

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Wie wir schon im Kapitel Durchschnitt und Vereinigung von Vektorräumen gesehen haben, ist ein Teilvektorraum von und von .

Wir zeigen zunächst dass es eine Basis von gibt derart, dass eine Basis von und eine Basis von und eine Basis von ist. ist dann eine Basis von . Es gilt dann , damit gilt: denn .

Beweis (Dimensionsformel)

Sei und sei eine Basis von . Da Teilraum von und Teilraum von , existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist, dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.

Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist,

also

und eine Linearkombination der Basis von ist,

also ,

und damit gilt:

.

Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von , dazu sei

Wir setzen jetzt

.

Dann gilt und wegen obiger Voraussetzung

.

Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass

.

Nun gilt weiter

.

Weil eine Basis von ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Damit gilt

.

Also ist

.

Da eine Bais von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

.

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig.

Es gilt nun , also ist:

denn .

Bemerkung[Bearbeiten]

Für den liegt ein besonderer Fall vor, wenn und gleichzeitig erfüllt sind. Von den obigen Beispielen kann dies nur in dem Fall gelten, dass eine Gerade und eine Ebene im (jeweils durch den Ursprung) ist. Dies führt uns zu folgender

Definition (Innere direkte Summe zweier Untervektorräume)

Sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Dann heißt die innere direkte Summe von und , falls gilt:

und

Die innere direkte Summe wird geschrieben als

Aufgabe (Innere direkte Summe und Dimensionsformel)

Wie in der obigen Definition sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Folgere aus der Dimensionsformel: Ist die innere direkte Summe von und , , dann gilt:

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To-Do:

Lösung zeigen

Aus den vorhergegangenen Überlegungen lässt sich nun auch der Begriff der äußeren direkten Summe motivieren. Stell dir vor, es sind ganz abstrakt zwei -Vektorräume und gegeben, von denen nicht bekannt ist, dass sie Untervektorräume desselben größeren Vektorraums sind. Man hätte in diesem Fall gerne die Möglichkeit, einen neuen -Vektorraum zu konstruieren, der und (bis auf Isomorphie) als Untervektorräume enthält, sodass gilt, wobei hier „“ wieder die bereits definierte innere direkte Summe bezeichnet. Den gewünschten Vektorraum erhält man mit dem folgenden

Satz (Äußere direkte Summe zweier Vektorräume)

Seien und zwei -Vektorräume. Dann ist die äußere direkte Summe (bei endlich dimensionalen Vektorräumen identisch mit dem äußeren direkten Produkt von und , gegeben durch

ein -Vektorraum, bei dem Vektoraddition und Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt werden.

Hinweis

Beachte den folgenden prinzipiellen Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die innere direkte Summe ist eine Eigenschaft, die ein bereits vorhandener Vektorraum in Bezug auf gegebene Untervektorräume haben kann (aber nicht muss). Im Unterschied dazu ist das äußere direkte Produkt eine Konstruktion, also eine Möglichkeit, aus zwei abstrakt vorgegebenen Vektorräumen einen dritten mit gewünschten Eigenschaften zu erzeugen.

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir bestimmen nun noch in allgemeinerer Form die direkte innere und die direkte äußere Summe von Vektorräumen.

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Seien Unterräume des K-Vektorraums mit

Definition (Direkte Summe von Vektorräumen)

Die innere Summe der Vektorräume heißt direkt, wenn ist. Wir notieren die direkte Summe mit

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume sind die folgenden Aussagen äquivalent[2].

Satz (Satz über direkte Summen von Vektorräumen)

Seien Teilräume eines K-Vektorraums , und sei , dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist für dann ist

2. Für jedes ist die Darstellung eindeutig

3.

Beweis (Bedingungen direkte Summe von Vektorräumen)

Beweisschritt:

Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von , also mit

Wir müssen also zeigen:

Wegen ,

da aber muss nach Bedingung 1 gelten:

, damit ist aber

und

Beweisschritt:

Sei , wir müssen zeigen, dass dann gilt. Es ist

mit und mit

Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von eindeutig und damit folgt

Beweisschritt:

Sei mit ; wir müssen nun zeigen .

Da und damit ist auch

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe die direkte (innere) Summe und schreibt dafür
  • Seien zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: , wobei die Addition und die Skalar Multiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Definition der allgemeinen inneren direkten Summe[Bearbeiten]

In der obigen Motivation haben wir uns bereits eine Definition für die innere direkte Summe zweier Untervektorräume abgeleitet. Es folgt nun die Definition der inneren direkten Summe von Untervektorräumen in der allgemeinsten Form, in der nicht notwendig endliche Indexmengen zugelassen sind:

Definition (Innere direkte Summe)

Seien ein -Vektorraum und eine durch eine beliebige Indexmenge indizierte Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die innere direkte Summe der ist und schreibt

falls sich jeder Vektor aus in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der liegen, darstellen lässt, d.h.

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To-Do:

Ersetze diese Definition durch: Schnitt jedes Paars an verschiedenen UVR ist Null-VR; behandle den jetzigen Inhalt ausgehend von der neuen Definition als äquivalente Charakterisierung

  1. Für jeden Vektor existiert eine endliche Teilmenge und für jedes ein Vektor , sodass

  2. Für jede endliche Teilmenge und je zwei Darstellungen

    mit für alle gilt bereits für alle .

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass die Summe der ist. Dafür schreibt man auch Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge übergehen.