Vektorraum: Summe und direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Notation[Bearbeiten]

In diesem Artikel sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von oft mit und .

Summe von Untervektorräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum. Wir wissen bereits, dass der Schnitt beliebiger Untervektorräume von wieder ein Untervektorraum ist.

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To-Do:

Link

. Wir haben aber auch gesehen, dass Vereinigungen von Untervektorräumen nicht zwingend wieder Untervektorräume ergeben.

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To-Do:

Link

. Das sehen wir auch in folgendem Beispiel:

Beispiel (Vereinigung von Unterräumen ist kein Unterraum)

Sei .

Dann finden wir zwei Unterräume und .

Aber ist kein Untervektorraum: Um dies zu sehen, nehmen wir die Vektoren und . Insbesondere sind . Aber .

Wir sehen also, dass in der Vereinigung einige Vektoren "fehlen", um wieder einen Unterraum zu bilden. Daher können wir uns die Frage stellen, welche Vektoren wir zu der Vereinigung hinzufügen müssen, um wieder einen Unterraum zu erhalten.

Eine erste Überlegung wäre, einfach den kleinsten Unterraum zu nehmen, der die Vereinigung enthält. Doch was bedeutet "der kleinste" in diesem Kontext? Unterräume sind insbesondere Teilmengen von , können somit mittels der Inklusion partiell verglichen werden. Der kleinste Unterraum, der enthält, sollte also darüber definiert sein, dass er Teilmenge von jedem anderen Unterraum mit dieser Eigenschaft ist.

Es stellen sich die Fragen:

  • Existiert ein solcher Unterraum?
  • Falls ja, ist er eindeutig? Dann macht es Sinn, von dem kleinsten Unterraum zu reden.

Für die erste Frage können wir uns überlegen, welche Unterräume überhaupt enthalten. Da Teilmengen sind, ist selbst ein solcher Unterraum. Angenommen, wir haben noch mehr solcher Unterräume, dann enthält auch ihr Schnitt wieder .

Daher könnten wir als Kandidaten einfach den Schnitt aller solcher Unterräume verwenden. Wir haben bereits gesehen, dass dies wieder einen Unterraum ergibt

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To-Do:

LINK

. Außerdem enthält er immer noch .

Dieser Schnitt macht immer Sinn, da mit ja zumindest ein solcher Unterraum gegeben ist. Offenbar ist der kleinste Unterraum, der enthält: Wenn nun ein weitere solcher Unterraum ist, dann schneiden wir insbesondere auch üner . Also gilt .

Die Antwort auf die erste Frage liefert auch sofort die Antwort auf die zweite: Ein anderer Kandidat ist automatisch eine Obermenge von . Wenn aber eine echte Obermenge von wäre, dann wäre er nicht der kleinste. Also gilt .

Diese Motivation führt uns zur folgenden Definition:

Definition und Existenz der Summe[Bearbeiten]

Definition (Direkte Summe von zwei Unterräumen)

Seien zwei Unterräume. Die Summe ist definiert als der Schnitt aller Unterräume mit . In Formeln bedeutet dies:

Es ist klar, dass die Summe als Menge immer existiert und eine Teilmenge von ist.

Wir wissen auch aus dem letzten Artikel, dass als Schnitt von Unterräumen wieder einen Unterraum bildet.

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To-Do:

Link

Eigenschaften der Summe[Bearbeiten]

Wir wollen im Folgenden einige Eigenschaften der Summe von Unterräumen untersuchen.

Satz (Die Summe enthält und )

Es gilt und .

Beweis (Die Summe enthält und )

Nach Konstruktion gilt . Insbesondere ist also .

Satz (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Seien Untervektorräume von mit und . Dann gilt .

Beweis (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Wir wollen verwenden, dass der kleinste Untervektorraum von ist, der und enthält. Da ein Unterraum von ist, reicht es also zu zeigen, dass die beiden Unterräume und enthält. Es gilt aber und . Die jeweils erste Inklusion gilt nach Voraussetzung, die jeweils zweite wurde oben gezeigt.

Satz (Absorption)

Falls , so gilt .

Beweis (Absorption)

Wir haben oben ganz allgemein gezeigt, dass . Andererseits ist ein Untervektorraum von , der sowohl als auch enthält. Da die Summe der kleinste Unterraum ist, der und enthält (siehe oben), gilt .

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten]

Unsere Definition der Summe ist zwar anschaulich und gut motiviert, leider lässt sich damit aber meistens sehr schwer arbeiten. Der Grund dafür ist, dass wir im Allgemeinen über unendlich viele Unterräume schneiden, die selbst nur schwer zu bestimmen sind. Daher wollen wir uns nun eine praktischere Charakterisierung der Summe überlegen.

Wir haben oben gesehen, dass die Vereinigung von Untervektorräumen

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To-Do:

Link

im Allgemeinen kein Untervektorraum ist.

Das liegt daran, dass Summen von Elementen der beiden Untervektorräume und nicht unbedingt in der Vereinigung enthalten sind. Wir wissen aber, dass zumindest alle Summen der Form mit und in der Summe enthalten sein müssen. Wir können uns die Frage stellen, ob die Menge dieser Elemente schon ein Untervektorraum ist. Dann wäre sie gleich der Summe. Das liegt daran, dass die Summe ja per Definition der kleinste Untervektorraum ist, der und enthält. Tatsächlich ist die Menge der Summen der Form ein Untervektorraum. Das wollen wir nun beweisen.

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Die Summe von ist die Menge aller Vektoren der Form mit und . In Formeln bedeutet dies:

Beweis (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Im Folgenden sei .

Beweisschritt:

Wir müssen zeigen, dass ein Unterraum ist, der enthält. Dann folgt bereits aus der Definition, dass Teilmenge der rechten Seite ist.

Wir zeigen zunächst, dass in enthalten ist. Dass in enthalten ist, folgt analog. Sei also . Da ein Untervektorraum ist, liegt . Also ist .

Beweisschritt:

Da und Untervektorräume sind, gilt und . Also gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass und . Dann gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation

Seien und . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass . Dann gilt .

Beweisschritt:

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To-Do:

todo

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Achsen und Ebenen im )

Sei und . Wir betrachten als Untervektorräume und die x- und die z-Achse. Genauer gilt also und . Wir wollen zeigen, dass dann die Summe die xz-Ebene ist.

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To-Do:

Fertig machen

Aufgabe (Die Summe ist kommutativ)

Zeige, dass .

Lösung (Die Summe ist kommutativ)

Wir zeigen, dass . Die andere Inklusion folgt indem man die Rollen von und vertauscht.

Sei dazu . Daher existieren sodass . Da die Addition in kommutativ ist, folgt .

Alternativ können wir die obige Charakterisierung von als Schnitt der Unterräume von , die und enthalten, verwenden. Die Bedingung an die Unterräume ist unabhängig von der Reihenfolge von und . Somit ist .

Direkte Summe von Untervektorräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

  • Motivation mit Beispielen

Definition der direkten Summe[Bearbeiten]

Definition (Direkte Summe)

Sei ein Vektorraum und zwei Unterräume.

Wir sagen, dass die Summe direkt ist, falls sich jedes auf eindeutige Weise als mit schreiben lässt.

Wir schreiben dann .

Hinweis

"Auf eindeutige Weise" bedeutet hierbei: Wenn mit und , dann gilt bereits und .

Eigenschaften der direkten Summe[Bearbeiten]

  • Eigenschaften der Summe gelten
  • Eindeutigkeit von Zerlegungen in der Summe

Äquivalente Charakterisierungen[Bearbeiten]

  • Summe direkt <=> Schnitt trivial

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Summen und direkte Summen mit mehr als zwei Unterräumen[Bearbeiten]

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To-Do:

Was soll hier rein?

Komplemente von Untervektorräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Definition und Existenz von Komplementen[Bearbeiten]

Nichteindeutigkeit von Komplementen[Bearbeiten]

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Artikelplanung[Bearbeiten]

Einführung/Motivation[Bearbeiten]

Grundfrage: Wie kann man aus Untervektorräumen neue Untervektorräume konstruieren, kann man aus zwei gegebenen Untervektorräumen verschiedene neue Vektorräume konstruieren?


Vorüberlegung: Vektorräume sind eine Menge von Vektoren mit bestimmten Verknüpfungen. Wenn wir UVR haben, haben wir Menge mit gleichen Verknüpfungen (nur eingeschränkt). Wir können aus UVRäumen einen neuen VR konstruieren. Wir kennen bereits Schnitt und Vereinigung von UVR. Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum. Wenn wir UVR vereinigen, erhalten wir aber nicht zwangsläufig wieder einen VR (hier evtl. Beispiel). Nun stellt sich die Frage: Um welche Elemente müssen wir diese Vereinigung im Allgemeinen mindestens ergänzen, um einen UVR zu erhalten? Aus dieser Überlegung ergibt sich das Konzept der Summe.


Wir vereinigen den Span von zwei Vektoren im R^3. Die Vereinigung ist nicht abgeschlossen unter Addition, also kein Vektorraum. Wir suchen den kleinsten Unterraum des R^3 der die Vereinigung enthält.

Definition Summe von Untervektorräumen

Die Summe von UR existiert immer, denn: Der gesamte Raum ist ein Vektorraum, der beide UVR enthält. Man kann daher auch einen, bezüglich Inklusion kleinsten Vektorraum finden, der beide UVRäume enthält.


Summe ist strukturrerhaltende Vereinigung, Zusammenführung von Information, Erhöhung des Freiheitsgrades

Beispiele: Farbmischung, Die von den einzelnen Saiten einer Gitarre erzeugbaren Tonarten als Unterräume der Gesamtheit (aller von der Gittare erzeugbaren) Tonarten. In der Summe können auch Überlagerungen der Ausgangszustände vorkommen. Idee: Stukturerhaltende Vereinigung,Überlagerung der Grundzustände.

Wie sieht die Summe von zwei UVR aus, welche Vektoren/Informationen/Zustände sind darin enthalten?

Die Summe besteht genau aus den Vektoren

Beispiele für Summen, auch Beispiele für direkte Summen, ohne explizit auf Direktheit einzugehen.


Bei einigen Beispielen kann man eindeutig zurückverfolgen, aus welchen Informationen/Vektoren der Ausgangsräume die Elemente der Summe erzeugt werden.


Summen mit dieser Eigenschaft heißen direkt.

Beispiele für direkte Summen

Charakterisierung der direkten Summe: Eine Summe von zwei VR ist genau dann direkt, falls der Schnitt der VR trivial ist.

Aufgabe: Prüfe, ob die folgenden Summen [...] direkt sind.


Verallgemeinerung der Konzepte Summe/ Direkte Summe auf mehrere Summanden.

Welche Elemente enthält die Summe aus unendlich vielen Summanden?


Wann ist die Summe aus mehreren Summanden direkt?

Zum Komplement: Kleinster Unterraum,der gegebenen Untervektorraum zu Gesamtraum vervollständigt.

Wenn ein Komplement gegeben ist, so lässt sich jeder Vektor des Gesamtraums in eindeutige Weise auf beide Räume zerlegen, aber das Komplement ist nicht eindeutig bestimmt. }}

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Definition (Summe von Vektorräumen)

Seien und zwei Untervektorräume eines Vektorraums . Die Summe ist der kleinste Vektorraum,der beide Untervektorräume enthält.

Satz (Zur Summe von Vektorräumen)

Die Summe zweier Untervektorräume des selben Vektorraums kann man immer bilden und es gilt .

Beweis (Zur Summe von Vektorräumen)

Sei

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To-Do:

bessere Notation für\overline{U_1+U_2} finden.

. Da ist und ebenso gilt . ist ein K-Untervektorraum, denn:
*Für  gilt: 
*Für  und  gilt:  

Verbleibt nur noch,zu zeigen, dass der kleinste Untervektorraum ist, der und enthält. Sei ein beliebiger Untervektorraum von , der und enthält.Dann gilt für alle und , dass , . ist also die Summe aus und .

Beispiele[Bearbeiten]

Die Summe eines Untervektorraums mit sich selbst ergibt wieder diesen Untervektorraum.

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To-Do:

Summe zweier verschiedener Geraden ergibt Ebene, Summe dreier paarweiser verschiedener Geraden im R^3 ergibt eine Ebene oder den R^3 und Summe einer Ebene mit einer nicht in der Ebene liegenden Gerade im R^3 ergibt ebenfalls R^3. Schwierigkeit:Erzeugendensystem kann dabei nicht verwendet werden.

Auch wenn man die Summe aus zwei verschiedenen Untervektorräumen bildet,erhält man nicht immer einen neuen Vektorraum. Zum Beispiel sind und Untervektorräume des , aber es gilt .

Hinweis

Man kann die Summe zweier Untevektorräume nur dann bilden, wenn sie Unterräume des selben Vektorraums (über dem gleichen Körper K) sind.

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To-Do:

Obiges beweisen -Entscheiden,ob folgendesnoch ergänzt werden soll, und gegebenenfalls ergänzen: Die Summe von (x-1)(R[x]) , (x+1)(R[x]) als Untervektorräume des \R-Vetorraums R[x] (Polynomring über \R) ergibt den ganzen Vektorraum R[x] Verallgemeinerung auf unendlich viele Summanden

  • Verallgemeinerung auf unendlich viele Summanden motivieren und herleiten. (z.B. mit Polynomen)

Innere direkte Summe [Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation finden

Wenn zwei Vektorräume den Schnitt haben, so nennt man ihre Summe direkt. (Eventuell Analogie zur Vereinigung disjunkter Mengen) Da die innere direkte Summe Spezialfall der Summe, ergibt das Ergebnis stets einen Vektorraum Jeder Vektor aus der (direkten) Summe der beden Vektorräume lässt sich eindeutig als Summe von zwei Vektoren aus den zwei versciedenen Untervektorräumen darstellen. Beweis muss ohne lineare Abhängigkeit auskommen, in etwa so: Für einen Vektor des Vektorraums gelte mit und in U_2. Dann gilt (Dabei ist das zu additiv-Inverse) und liegt in U_2t. Zudem gilt , also liegen und im Schnitt von mit U_2, also gilt , also und .

Beispiele:

Direkte Summe von zwei Geraden im R^3,

direkte Summe von Gerade und Ebene im R^3, direkte Summe von \R mit x\cdot \R[x] im \R-Vektorraum \R[x].

Summe aus u und 0 ist immer direkt.

Aus alten Inhalten übernehmen: Satz über die direkte Summe von Vektorräumen (dabei Aussage 3 umformulieren zu die Summe aus U1 und U2 ist direkt, das heißt der Schnitt ist {0}).

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To-Do:

Motivation für direkte Summe von unendlich vielen Summanden finden. Motivation sollte für Definition und die äquivalente Charakterisierung funktionieren.

Verallgemeinerung der direkten Summe auf (unendlich) viele Summanden, kann (mit entsprechender Überarbeitun, siehe To-Do) aus bisherigen Inhalten übernommen werden Äquivalente Charaterisierungen der verallgemeinerten direkten Summe (siehe To-Do Definition der verallgemeinerten direten Summe!) Weiteres Beispiel: Summe über n \in \N_0 Span(x^n ) (als Untervektorraum des Polynomrings über \R und ergibt \R[x]).

Aufgaben: Man prüfe, ob die folgenden Summen direkt sind...

Hinweis: Die Definition geht nur für Untervektorräume eines Vektorraums. Diese Summe heißt innere direkte Summe. Erklären und verlinken, dass es auch eine äußere direkte Summe gibt.

Komplement[Bearbeiten]

Motivation Wir haben UVR U_1 in einem VR gegeben. Wir wollen einen zweiten Untervektorraum U_2 finden, sodass die direkte Summe der beiden Untervektorräume den gesamten Vektorraum ergibt. (Motivation: Wenn die Summe direkt ist, lässt sich jede Vektor eindeutig in zwei Summanden aus den beiden Untervektorräumen zerlegen.)

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To-Do:

Motivation noch konkreter machen. Warum möchten wir überhaupt den Vektorraum zerlegen? Vielleicht mit einem Beispiel wie hier, dann wäre U_1 die schiefe Ebene und wir wollen den Vektor F_G zerlegen in einen Anteil aus U_1 und einen Anteil senkrecht dazu

Dieses Beispiel ist anschaulicher als Beispiel: Normalenvektor plus Ebene bildet \R^3.

Definition (Komplement)

Sei ein -Vektorraum, und ein Unterraum. Sei ein weiterer Unterraum. Dann heißt 'Komplement' zu in , falls

Hinweis

Wenn ein Komplement zu in ist, dann ist auch ein Komplement zu in Komplemente sind im Allgemeinen nicht eindeutig!

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei ein -Vektorraum, und ein Unterraum. Dann gibt es sodass ein Komplement zu in ist.

Beweis (Komplemente existieren immer)

Sei eine Basis von .

Nach dem Basisergänzungssatz können wir zu einer Basis von erweitern.

Dann definiere , und .

Dies ist ein Untervektorraum von , und es gilt

Zudem haben wir

Insgesamt folgt also , d.h. ist ein Komplement zu in

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To-Do:

Wie soll dieser Beweis aussehen? (Geht es ohne Basisergänzungssatz? Nein, die Aussage braucht AC, d.h. im unendlich dimensionalen braucht man den Basisergänzungssatz)

Bemerkungen/Eigenschaften:[Bearbeiten]

Komplementärraum ist

1. abhängig vom VR (Beispiel: Komplement von (1,0) in C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum. Komplement von <1> in R als R-Vektorraum und in R als Q-Vektorraum. (Span muss explizit beschrieben werden, da hier noch nicht eingeführt!)

2. im VR nicht eindeutig bestimmt Beispiel:(1,1) und (0,1) als Komplement zu (1,0) in \R^2.

Satz: Jeder Vektor aus dem Vektorraum lässt sich eindeutig als Summe von einem Vektor aus dem Unterraum und einem Vektor aus dem Komplement schreiben: Beweis mittels Verweis auf den entsprechenden Satz zur direkten Summe

Aufgaben: Man finde zwei verschiedene Komplemente...

...zu <(1,1,1),(1,2,1)> in \R^3 (als R-Vektorraum)

... zu <(1,1,1)> in \R^3 (als \R-Vetorraum),

... zu \R in R[x] als \R-VR

... zu in C als C-Vektorraum und als R-Vektorraum

und bestimme den Schnitt der beiden (in Teilaufgabe i,ii,iii))

Alte Inhalte[Bearbeiten]

Intuitive Veranschaulichung der inneren und äußeren direkten Summe[Bearbeiten]

In der linearen Algebra unterscheidet man das Konzept der inneren direkten Summe von dem dazu verwandten Konzept der äußeren direkten Summe. Um zunächst einen Zugang zur inneren direkten Summe zu erhalten, betrachten wir als erstes anschaulich die Lage zweier Untervektorräume und des dreidimensionalen Raums zueinander, also die Fälle

sind jeweils Geraden; und

ist eine Gerade und ist eine Ebene

sind jeweils Ebenen; und

Wir wollen nun diese drei Fälle etwas näher untersuchen.

  • Sind und zwei Geraden im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich im Ursprung, d.h. im Punkt , und damit ist .
  • Ist dagegen eine Gerade und eine Ebene im (die beide den Ursprung enthalten), dann liegt entweder in , also oder und schneiden sich im Ursprung, und damit ist .
  • Sind zum Schluss und zwei Ebenen im (die beide den Ursprung enthalten), dann sind und entweder identisch, also , oder sie schneiden sich in einer Geraden .
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To-Do:

füge in jedem der Fälle Bilder ein!

  1. ein Bild zwei Geraden im durch den Nullpunkt und die sich dort schneiden.
  2. ein Bild einer Ebene in der eine Gerade liegt und eine andere Gerade schneidet die Ebene.
  3. eine Bild zwei sich schneidende Ebenen

Stelle dir nun vor, dass die Untervektorräume und zufällig im positioniert werden. Welche der oben beschriebenen Lagen von und zueinander treten dann „in der Regel“ (also generisch) auf?

  • Zwei zufällig gewählte Geraden oder zwei zufällig gewählte Ebenen werden in der Regel nicht zusammenfallen.
  • Ebenso wird eine zufällig gewählte Gerade im allgemeinen nicht auf einer zufällig gewählten Ebene liegen.

Folglich ist der Schnitt im generischen Fall möglichst klein:

  • im Fall zweier Geraden oder einer Gerade und einer Ebene ist nur ein Punkt (der Ursprung),
  • im Fall zweier Ebenen ist eine Gerade.

Umgekehrt ist die Summe im generischen Fall möglichst groß:

Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir machen zunächst einen kleinen Einschub zur Summe von Vektorräumen.

Definition (Summe von Vektorräumen)

Sei ein K-Vektorraum und seien Unterräume von , so ist

nennt man die Summe von und

Du kannst leicht einsehen, dass ist, denn du musst einfach zeigen, dass und umgekehrt

Lösung (Summe von Vektorräumen)

Ist , dann existieren und mit und damit ist

Ist umgekehrt , dann ist eine Linearkombination von Vektoren aus . Diese Linearkombination kann in der Form

geschrieben werden, wobei und

jeweils wieder Linearkombinationen von Vektoren aus bzw. aus sind.

Da Teilräume von sind, gilt und .

Also gilt und damit ist . Damit haben wir insgesamt .

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Im Fall von zwei Geraden ist eine Ebene,
  • in den anderen Fällen von oben gilt .

Bemerkung[Bearbeiten]

Für den liegt ein besonderer Fall vor, wenn und gleichzeitig erfüllt sind. Von den obigen Beispielen kann dies nur in dem Fall gelten, dass eine Gerade und eine Ebene im (jeweils durch den Ursprung) ist. Dies führt uns zu folgender

Definition (Innere direkte Summe zweier Untervektorräume)

Sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Dann heißt die innere direkte Summe von und , falls gilt:

und

Die innere direkte Summe wird geschrieben als

Aufgabe (Innere direkte Summe und Dimensionsformel)

Wie in der obigen Definition sei ein -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Folgere aus der Dimensionsformel: Ist die innere direkte Summe von und , , dann gilt:

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To-Do:

Lösung zeigen

Aus den vorhergegangenen Überlegungen lässt sich nun auch der Begriff der äußeren direkten Summe motivieren. Stell dir vor, es sind ganz abstrakt zwei -Vektorräume und gegeben, von denen nicht bekannt ist, dass sie Untervektorräume desselben größeren Vektorraums sind. Man hätte in diesem Fall gerne die Möglichkeit, einen neuen -Vektorraum zu konstruieren, der und (bis auf Isomorphie) als Untervektorräume enthält, sodass gilt, wobei hier „“ wieder die bereits definierte innere direkte Summe bezeichnet. Den gewünschten Vektorraum erhält man mit dem folgenden

Satz (Äußere direkte Summe zweier Vektorräume)

Seien und zwei -Vektorräume. Dann ist die äußere direkte Summe (bei endlich dimensionalen Vektorräumen identisch mit dem äußeren direkten Produkt von und , gegeben durch

ein -Vektorraum, bei dem Vektoraddition und Skalarmultiplikation komponentenweise durchgeführt werden.

Hinweis

Beachte den folgenden prinzipiellen Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die innere direkte Summe ist eine Eigenschaft, die ein bereits vorhandener Vektorraum in Bezug auf gegebene Untervektorräume haben kann (aber nicht muss). Im Unterschied dazu ist das äußere direkte Produkt eine Konstruktion, also eine Möglichkeit, aus zwei abstrakt vorgegebenen Vektorräumen einen dritten mit gewünschten Eigenschaften zu erzeugen.

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir bestimmen nun noch in allgemeinerer Form die direkte innere und die direkte äußere Summe von Vektorräumen.

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To-Do:

Äußere Summe artikel hier verlinken

Direkte Summe von Vektorräumen[Bearbeiten]

Seien Unterräume des K-Vektorraums mit

Definition (Direkte Summe von Vektorräumen)

Die innere Summe der Vektorräume heißt direkt, wenn ist. Wir notieren die direkte Summe mit

Für die direkte Summe der beiden Vektorräume sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Satz (Satz über direkte Summen von Vektorräumen)

Seien Teilräume eines K-Vektorraums , und sei , dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Ist für dann ist

2. Für jedes ist die Darstellung eindeutig

3.

Beweis (Bedingungen direkte Summe von Vektorräumen)

Beweisschritt:

Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen von , also mit

Wir müssen also zeigen, dass

Wegen ,

da aber muss nach Bedingung 1 gelten:

,

damit ist aber

Beweisschritt:

Sei , wir müssen zeigen, dass dann gilt. Es ist mit und mit

Nach Bedingung 2 ist die Darstellung von eindeutig und damit folgt

Beweisschritt:

Sei mit ; wir müssen nun zeigen .

Da und damit ist auch

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Erfüllen zwei Unterräume eines Vektorraums eine der obigen Bedingungen (und damit alle), dann nennt man die Summe die direkte (innere) Summe und schreibt dafür
  • Seien zwei beliebige K-Vektorräume, dann definieren wir als direkte (äußere) Summe: , wobei die Addition und die Skalar Multiplikation komponentenweise durchgeführt wird.

Definition der allgemeinen inneren direkten Summe[Bearbeiten]

In der obigen Motivation haben wir uns bereits eine Definition für die innere direkte Summe zweier Untervektorräume abgeleitet. Es folgt nun die Definition der inneren direkten Summe von Untervektorräumen in der allgemeinsten Form, in der nicht notwendig endliche Indexmengen zugelassen sind:

Definition (Innere direkte Summe)

Seien ein -Vektorraum und eine durch eine beliebige Indexmenge indizierte Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die innere direkte Summe der ist und schreibt

falls sich jeder Vektor aus in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der liegen, darstellen lässt, d.h.

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To-Do:

Ersetze diese Definition durch: Schnitt jedes Paars an verschiedenen UVR ist Null-VR; behandle den jetzigen Inhalt ausgehend von der neuen Definition als äquivalente Charakterisierung

  1. Für jeden Vektor existiert eine endliche Teilmenge und für jedes ein Vektor , sodass
  2. Für jede endliche Teilmenge und je zwei Darstellungen

    mit für alle gilt bereits für alle .

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass die Summe der ist. Dafür schreibt man auch Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge übergehen.