Vektorraum: Summen und innere direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Notation[Bearbeiten]

In diesem Artikel sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von oft mit und .

Summen von mehr als zwei Unterräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Wir haben definiert, was die Summe von zwei und allgemeiner, von endlich vielen Vektorräumen ist. Nun kann man sich fragen, wie und ob man das Konzept der Summe von Vektorräumen auf undendlich (abzählbar oder überabzählbar) viele Summanden verallgemeinern kann. Wir haben bereits bewiesen, dass die Summe von Vektorräumen assoziativ und kommutativ ist, genauso wie die Addition von (beispielweise rationalen) Zahlen. Dies erlaubt uns die Schreibweise für Summen über mehr als zwei Summanden einzuführen und ihr einen eindeutigen Wert zuzuweisen. Zum Beispiel gilt

Dabei spielt es keine Rolle, ob wir zum Beispiel oder berechnen. Mit der selben Begründung könnten wir die Summe von endlichen vielen Vektorräumen definieren.

Aber was ist mit der Summe von unendlich vielen Vektorräumen? Schrittweise weitere Vektorräume hinzuzufügen (zu addieren) ist nicht sinnvoll, da man so in jedem Schritt nur die Summe von endlich vielen Vektorräumen erhält und der Prozess nie enden würde.

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To-Do:

Beispiel, dass man durch rekursives Summieren von unendlich vielen Vektorräumen u.U. verschiedene Vektorräume erhält.

Allerdings können wir die Definition der Summe modifizieren.

In der Definition der Summe von zwei Vektorräumen und kommen Vektorräume vor, die sowohl als auch enthalten. An dieser Stelle können wir die Definition verallgemeinern. Wir können nämlich einfach fordern, dass unendlich viele vorgegebene Vektorräume enthält. Wir haben also folgende Definition:

Definition[Bearbeiten]

Definition (Summe von unendlich vielen Vektorräumen)

Sei eine Indexmenge und sei für jedes ein Untervektorraum von gegeben. Die Summe ist definiert als der Schnitt aller Unterräume mit für alle . In Formeln bedeutet dies:

Hinweis

Wie bei der Summe von zwei Vektorräumen ist klar, dass eine Teilemenge von und sogar ein Untervektorraum ist.

Hinweis

Wir sehen, dass sich im Fall die Definition der Summe von zwei Vektorräumen ergibt. Weiter stimmt die Definition für endliche Indexmengen (also ) mit der Definition der Summe von Untervektorräumen überein.

Hinweis

Im Falle wird der Schnitt über alle Untervektorräume von genommen. Insbesondere also auch über den Nullraum. Daher gilt , in Analogie zur leeren Summe über (rationalen) Zahlen.

Äquivalente Charakterisierungen[Bearbeiten]

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen)

Sei eine Indexmenge und sei für jedes ein Untervektorraum von gegeben. Dann gilt:

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To-Do:

Beweis

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen (II))

Sei eine Indexmenge und sei für jedes ein Untervektorraum von gegeben. Dann gilt:

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To-Do:

Beweis

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Beispiel: K^n direkte Summe der Einheitsvektoren
  • irgendein beispiel wo tatsächlich alle unendlich vielen summanden benötigt werden (z.B. Folgenraum, Einheitsvektoren -> Folgen mit endlichen Träger)
  • Aufgaben

Direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation

Definition[Bearbeiten]

Definition (Innere direkte Summe)

Seien ein -Vektorraum und eine durch eine beliebige Indexmenge indizierte Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die innere direkte Summe der ist und schreibt

falls sich jeder Vektor aus in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der liegen, darstellen lässt, d.h.

  1. Für jeden Vektor existiert eine endliche Teilmenge und für jedes ein Vektor , sodass
  2. Für jede endliche Teilmenge und je zwei Darstellungen

    mit für alle gilt bereits für alle .

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass die Summe der ist. Dafür schreibt man auch Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge übergehen.

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To-Do:

Den Hinweis in die Definition packen/die Definition anders machen/etc.

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To-Do:

Für ist das das selbe

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten]

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To-Do:

Verallgemeinerte Schnittbedingung: Summe direkt für jedes gilt: .

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To-Do:

Satz: Summe direkt für alle endlichen gilt .

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

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To-Do:

Beispiele/Aufgaben

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