Dreieck aus drei Höhen

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Dreieckskonstruktion: Dreieck aus drei Höhen)

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Dreieckskonstruktion 1. Möglichkeit[Bearbeiten]

Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)  

und damit

(2)  

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von aus auf der Seite die Höhe und auf der Seite die Höhe antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)     und   (3a)  

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie parallel zu laufen.

Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)  

(4a)  

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)  

Damit sind für das Hilfsdreieck die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck aus den Seiten , und . Auf die Seite fällt man ein Lot zu Punkt und verlängert dieses auf die Länge . Durch den Endpunkt der Höhe zieht man eine Parallele zur Linie deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von und die Punkte und ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. Möglichkeit[Bearbeiten]

DreieckHHH-1.svg

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz[Bearbeiten]

  1. Zeichne eine Gerade und trage ab.

  2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt in einem Abstand von und .

  3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck .

  4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken ab.

  5. Die Strecke hat die Länge .

Teil 2: Konstruktion des Dreiecks[Bearbeiten]

DreieckHHH-2.svg
  1. Zeichne um ein Ende der Strecke (Punkt ) einen Kreisbogen mit dem Radius und um das andere Ende (Punkt ) einen Kreisbogen mit dem Radius . Es entstehen zwei zur Strecke symmetrische Schnittpunkte ( und ).

  2. Zeichne die Geraden und .

  3. Fälle das Lot von auf durch Verbinden der Punkte und .

  4. Trage auf dieser Lotgerade von aus die Strecke ab (Endpunkt ).

  5. Konstruiere zur Strecke eine parallele Gerade im Abstand .
    1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um mit dem Radius und eines Bogens um Punkt mit dem Radius .
    2. Verfahre mit einem Bogens um mit dem Radius und einem Bogen um mit dem Radius genauso.
    3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.

  6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden und bildet das gesuchte Dreieck .

Durchführbarkeit der Konstruktion[Bearbeiten]

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. Möglichkeit[Bearbeiten]

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB1C1 das gesuchte Dreieck ABC.

Vorüberlegungen[Bearbeiten]

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie gilt

mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt
mit der Bedingung der Flächeninhalt bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie verdoppelt, damit ergibt sich
somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe .

Für das gesuchte Dreieck bedeutet dies:

oder
daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen und sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck

Multipliziert man , bzw. mit dem Proportionalitätsfaktor , so erhält man für die Seitenlängen und des Hilfsdreiecks folgende Werte:

Ist die Seitenlänge , als Strecke , aus den zwei Höhen und mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer horizontalen Geraden konstruiert, werden die Höhen und als Seiten des Hilfsdreiecks eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks das endgültige Dreieck

Konstruktionsplan[Bearbeiten]

Konstruktion mit Hilfsdreieck AB1C1
  1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass nicht länger als ist.
  2. Zeichne eine horizontale Gerade und bestimme darauf den ersten Eckpunkt des späteren Dreiecks.
  3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade im Punkt und übertrage darauf die Höhe als Strecke ab.
  4. Konstruiere eine Parallele zur Gerade durch den Punkt
  5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe er schneidet die Gerade im Punkt
  6. Verbinde den Punkt mit dem Punkt
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke im Punkt sie erzeugt den Schnittpunkt auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe
  9. Zeichne eine Parallele zur Strecke ab dem Punkt bis zur Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt
  10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe es ergibt sich der Schnittpunkt auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks bestimmt.
  11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt durch den Punkt bis auf die Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt Der Punkt ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
  12. Verbinde den Punkt mit dem Punkt
  13. Zeichne eine Parallele zur Strecke ab dem Punkt bis auf die Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt Der Punkt ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
  14. Verbinde den Punkt mit dem Punkt somit ist das Dreieck konstruiert.

Beweis[Bearbeiten]

Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des Hilfsdreiecks[Bearbeiten]

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks ergibt sich:

(Konstruktionsplan, 5.)

(Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke und sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt und weiter

Seitenverhältnisse im Hilfsdreieck[Bearbeiten]

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

Übergang zum Dreieck [Bearbeiten]

Wegen der Parallelität von und (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke und zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck :

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden und gleich ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des Flächeninhalts[Bearbeiten]

Berechnung

1. Dreieck

1.1

2. Dreieck

2.1

3. Hilfsdreieck

3.1 Bezeichnungen:



3.2 Kosinussatz:
3.3 Folgerung:
Durch Erweitern mit ergibt sich daraus
.
3.4



3.5

4. Ähnliche Dreiecke:

4.1

5. Dreieck

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge :


Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2
5.3
5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel :

Dreieckskonstruktion, 4. Möglichkeit[Bearbeiten]

Dreieck-hoehen-4.png

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als gewählte Höhe sollte kleiner als sein.


1. Konstruiere das gleichschenklige nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen (2 mal) und

2. Trage auf den beiden Strecken jeweils die Strecke von Punkt ab. Man erhält die Punkte und

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte und ergibt die Strecke

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt

7. Zeichne eine parallele Strecke zu im Abstand von Punkt

8. Zeichne eine Strecke von über hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von über hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das konstruiert

Weblinks[Bearbeiten]