Mathematik: Schulmathematik: Negative Zahlen

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Während die rationalen und sogar die reellen Zahlen als Ergebnis der Division im Stellenwertsystem einfach da sind, muten die negativen Zahlen und das Rechnen mit ihnen am Anfang seltsam an.

Vorstellung

Die negativen Zahlen entstehen wenn man von einer Zahl eine größere subtrahiert.

Beispiel: Ein Schüler möchte aus einer Schachtel 5 Kekse nehmen. In der Schachtel sind aber nur vier. Dann ist jedem klar, dass ein Keks fehlt. Dieser fehlende Keks ist mathematisch ein negativer Keks. Es ist der Keks, den man dazulegen müßte, damit man 5 Kekse aus der Schachtel nehmen kann. Mathematisch ausgedrückt: 4 - 5 = -1.

Dabei kann man sich die negativen Zahlen ganz einfach vorstellen:

Zum Beispiel sieht man sie auf einem Thermometer: Dort gibt es Zahlen über Null, das sind die normalen positiven Zahlen, und es gibt Zahlen unter Null, das sind die negativen Zahlen.

So wie man normalerweise vorwärts zählt, kann man auch rückwärts zählen. Wenn man dabei bei 1 angekommen ist, zählt man einfach rückwärts weiter mit:

 0, -1, -2, -3,...

Insbesondere ist das Negative einer negativen Zahl eine positive Zahl. Das heißt man stellt sich die Negation als Spiegelung des Zahlenstrahls am Nullpunkt vor.

Definition

Die Zahlen bestehen jetzt aus zwei Teilen, dem Betrag und dem Vorzeichen.

Der Betrag sind die "normalen" Zahlen.

Das Vorzeichen ist entweder + (Plus, und wird normalerweise nicht mitgeschrieben) oder - (Minus).


Beim Rechnen muss man nun aber aufpassen:

Beispiel: Berechne 3 - 5.

Da 5 größer als 3 ist, geht das eigentlich nicht. Daher drehen wir die Zahlen zunächst um:

Das heißt wir berechnen 5 -3, das ergibt 2 und ist der Betrag.

Vor den Betrag schreiben wir jetzt das Vorzeichen: -2 ist das Ergebnis von 3 - 5:

 3 - 5 = -( 5 - 3 ) = -2.

Addition

Addition von negativen Zahlen:

Beide Zahlen sind negativ:

Beispiel: -5 + -6 = -11 Die Beträge beider Zahlen werden addiert, das Ergebnis erhält wieder das negative Vorzeichen.

Eine Zahl ist negativ, die andere positiv:

Beispiel

(-5) + 6 = 1
(+5) + (-6) = -1



Erklärung: Bilde die Differenz der Beträge. Ist die positive Zahl vom Betrag her größer als die negative Zahl, ist das Ergebnis positiv. Ist sie kleiner, ist das Ergebnis negativ.

Subtraktion

a+ (- b) = a-b

Anders ausgedrückt ist die Subtraktion die Addition einer negativen Zahl.

a- (-b) = a+b

Achtung: wenn man eine negative Zahl abzieht, muss man sie addieren.

Beispiel: 6 -(-5)= 6+5=11


Multiplikation

Das Produkt einer negativen Zahl mit einer positiven (oder einer positiven mit einer negativen) ist negativ.

(-3) ⋅ (+2) = -6

(+3) ⋅ (-2) = -6

Achtung: Sind beide Zahlen negativ, so ist das Produkt positiv.

(-3) ⋅ (-2) = +6


Merke:

     - ⋅ - = + 
     + ⋅ + = +
     + ⋅ - = -
     - ⋅ + = -

Division

Teilt man eine positive Zahl durch eine negative oder eine negative Zahl durch eine positive, so ist das Ergebnis negativ

+14/-2 = -7

-14/+2 = -7

(Achtung: Teilt man eine negative Zahl durch eine negative Zahl so ist das Ergebnis positiv.)


z.B.:
(-6)/(-2)=+3

(-30)/(-5)=+6

Rechentabellen für Vorzeichen

Man kann all dies so verstehen, dass die Vorzeichen andere Darstellungen der Zahlen (-1) und (+1) sind. Dann gelten für die Zahlen (-1) und (+1) folgende Rechentabellen:

+ (+1) (-1)
(+1) +2 0
(-1) 0 -2


- (+1) (-1)
(+1) 0 +2
(-1) -2 0


* (+1) (-1)
(+1) 1 -1
(-1) -1 +1


: (+1) (-1)
(+1) 1 -1
(-1) -1 +1

Inverses Element der Addition

Eine andere Definition ist:

Wenn a eine Zahl ist, dann ist -a die eindeutig bestimmte Zahl, die die Gleichung

a + x = 0

löst.