Mathematik: Topologie: Basen topologischer Räume

Topologien bestehen meist aus sehr vielen, möglicherweise kompliziert aussehenden offenen Mengen. Dies liegt daran, dass beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen sein müssen. So gibt es beispielsweise in $\mathbb {R} ^{2}$ komplizierte offene Mengen, doch alle lassen sich als Vereinigung von Bällen darstellen. Dies führt uns zum Konzept der Basis eines topologischen Raums. Später werden wir sehen, dass es für gewisse Eigenschaften ausreicht, sie auf einer Basis nachzuweisen.

Definition: Basis

Sei ${\mathcal {O}}$ eine Topologie. Eine Basis von ${\mathcal {O}}$ ist eine Menge ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {O}}$, so dass jede offene Menge Vereinigung von Mengen in ${\mathcal {B}}$ ist. Die Mengen in ${\mathcal {B}}$ heissen basisoffen.

Beispiele

Beispiel: Metrische Räume

Die Menge der $\varepsilon$-Bälle bildet eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie. Es geht sogar noch besser: Die Menge der $\varepsilon$-Bälle mit $\varepsilon \in \mathbb {Q}$ bilden eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie. Das heißt insbesondere, dass abzählbare metrische Räume eine abzählbare Basis ihrer Topologie besitzen.

Beispiel: Alexandroff-Topologie

Die Abschlüsse von Singleton-Mengen nach oben bilden eine Basis der Topologie, das heisst die Mengen der Form $\uparrow x=\{y\in P\ |\ y\geq x\}$.

Der Begriff der Basis lässt sich auch anders charakterisieren:

Proposition: Basischarakterisierung

Die Menge ${\mathcal {B}}$ ist genau dann eine Basis einer Topologie auf einer Menge X, wenn die folgenden zwei Eigenschaften erfüllt sind: $X=\bigcup _{\mathcal {B}}B$ Für $B,C\in {\mathcal {B}}$ ist $B\cap C$ eine Vereinigung von Mengen in ${\mathcal {B}}$

Beweis

Subbasen

Jedes Mengensystem, auch wenn es keine Basis ist, erzeugt eine minimale Topologie, die das Mengensystem erhält. Man erhält eine Basis dieser Topologie, indem man alle möglichen endlichen Schnitte von Mengen des Mengensystems bildet. Betrachte das Mengensystem $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$. Durch bilden aller Durchschnitte erhält man $\{\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ (die Menge $\{1,2,3\}$ erhält man als Schnitt über die leere (also endliche) Familie von Mengen). Dies ist bereits eine Topologie.